Correction Exercice 4

Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-x^2+x+2$.

  1. Déterminer le tableau de variations complet de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ ne possède qu’une unique solution notée $\alpha$.
    $\quad$
  3. Fournir un encadrement au centième de $\alpha$.

Correction

  1. La fonction $f$ est une fonction polynôme définie sur $\R$. Elle est donc dérivable sur $\R$.
    Pour tout $x \in \R$ on a $f'(x) = 3x^2 – 2x + 1$
    Étudions le signe de cette expression : $\Delta = (-2)^2 – 4 \times 3 = -8 <0$
    Par conséquent, $f'(x)$ est du signe de $3$ et $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \R$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    lim_et_continuité-ex4 cor (1) D’après la limite des termes de plus haut degré on a :
    $\quad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et
    $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \to +\infty} x^3= +\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-\infty;+\infty[$.
    De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$
    Par conséquent, d’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x) = 0$ possède une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
  3. A l’aide du mode table de la calculatrice, on obtient : $-0,82 < \alpha < -0,81$.