Correction : Exercice 6

Exercice 6

La figure ci-dessous représente un récipient en forme de cône tronqué ayant pour dimensions :

  • diamètre de base $5$ cm
  • diamètre d’ouverture $20$ cm
  • hauteur $30$ cm

2nd-fct2-ex6

On verse de l’eau à une hauteur $h$. Nous admettrons que le volume, exprimé en $\text{cm}^3$ de liquide correspondant est donné par la formule suivante :

$$V(h) = \dfrac{\pi}{48}h^3+30h^2+300h$$

  1. Calculer le volume total de ce récipient.
    $\quad$
  2. Quel est le volume rempli lorsque le niveau de l’eau est à mi-hauteur? Ce volume est-il la moitié du volume total?
    $\quad$
  3. Construire un tableau de valeurs et la courbe à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
  4. Utiliser la calculatrice pour déterminer le niveau de liquide correspondant à un volume égal à la moitié du volume total.

Correction

  1. $V(30) = \dfrac{\pi}{48} \times 30^3 + 30 \times 30^2 + 300 \times 30 $ $= \dfrac{1~125\pi}{2} + 36~000 $$\text{ cm}^3 \approx 37~767$
    $\quad$
  2. On veut calculer $V(15)$.
    $V(15) = \dfrac{\pi}{48} \times 15^3 + 30 \times 15^2 + 300 \times 15 $ $=\dfrac{1~125\pi}{16} + 11~250$ $\approx 11~471 \text{ cm}^3$
    On a donc rempli moins de la moitié du récipient.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&0&2&4&6&8&10&12&14 \\\\
    \hline
    V(x) & 0~~~&721~&1684&2894&4354&6065&8033&10260 \\\\
    \hline
    x&16&18&20&22&24&26&28&30 \\\\
    \hline
    V(x)&12748&15502&18524&21817&25385&29230&33357&37767 \\\\
    \hline
    \end{array}$
  4. $\quad$
    2nd-fct2-ex6cor
  5. Graphiquement on constate qu’il faut que la hauteur d’eau soit environ de $20$ cm pour remplir la moitié du récipient.