TES/L – Liban mai 2014

Liban – Juin 2014 – TES/L

Mathématiques – Correction

Suivez les liens pour l’énoncé du sujet Obligatoire et Spécialité

Exercice 1

Partie A

  1. $40\%$ des clients sont des familles donc $P(F) = 0,4$.
    $90\%$ des personnes seules laissent un pourboire donc $P_S(R) = 0,9$.
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  2. TES - liban - mai2014-ex1
  3. a. $P(F\cap R) = 0,4 \times 0,7 = 0,28$
    $~$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$P(R) = P(R\cap F) + P(R \cap C) + P(R \cap S)$$
    $$P(R) = 0,28 + 0,35 \times 0,4 + 0,25 \times 0,9 = 0,645$$
    $~$
  4. On cherche donc $P_R(C) = \dfrac{P(R \cap C)}{P(R)} $ $= \dfrac{0,35 \times 0,4}{0,645} $ $\approx 0,218$
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Partie B

  1. a. On veut donc calculer $P(6 \le X \le 24) \approx 0,95$
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    b. $P(X \ge 20) = 1 – P(X < 20) \approx 0,13$
    $~$
  2. On calcule donc $P_{6 \le X \le 24}(X > 20) = \dfrac{P(20 \le X \le 24)}{P(6 \le X \le 24)}$ $\approx 0,12$

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Exercice 2

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fumeurs régulier dans le groupe de $10$ personnes.
    Les $10$ tirages sont indépendants, aléatoires et identiques.
    A chaque tirage, on a $2$ issues : le jeune est ou n’est pas un fumeur régulier.
    Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,236$
    On cherche la valeur de $P(X = 0) = (1 – 0,236)^{10} \approx 0,068$
    Réponse c
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  2. On a $n=500 \ge 30$, $np = 500 \times 0,236 = 118 \ge 5$ et $n(1-p) = 382 \ge 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$I_{500} = \left[ 0,236 – 1,96\dfrac{\sqrt{0,236 \times (1-0,236)}}{\sqrt{500}};0,236 + 1,96\dfrac{\sqrt{0,236 \times (1-0,236)}}{\sqrt{500}}\right] $$
    $$I_{500} \approx [0,198;0,274]$$
    Réponse a
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  3. L’intervalle de fluctuation asymptotique étant centré en $p$ on veut donc que :
    $$ 2 \times 1,96\dfrac{\sqrt{0,236 \times (1-0,236)}}{\sqrt{n}} <0,01$$
    $$ \Leftrightarrow 3,92\dfrac{\sqrt{0,236 \times (1-0,236)}}{\sqrt{n}} < 0,01$$
    $$\Leftrightarrow 3,92 \dfrac{\sqrt{0,236\times (1-0,236)}}{0,01} < \sqrt{n}$$
    $$\Leftrightarrow \left( 3,92 \dfrac{\sqrt{0,236\times (1-0,236)}}{0,01} \right) < n$$
    $$ \Leftrightarrow 27706,23 < n$$
    Réponse d
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  4. La fréquence observée est donc $f = \dfrac{99}{250}$
    $n = 250 \ge 30$ , $nf = 99 \ge 5$ et $n(1-f) = 151 \ge 5$
    Donc un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est :
    $$I_{250} = \left[\dfrac{99}{250} – \dfrac{1}{\sqrt{250}};\dfrac{99}{250} + \dfrac{1}{\sqrt{250}} \right] \approx [0,33;0,46]$$
    Réponse b

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Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. a. On a donc $a_1 = 0,8a_0+400 = 2400$ et $a_2=0,8a_1+400 = 2320$
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    b. $80\%$ des inscrits renouvelleront leur inscription. Cela correspond donc à $0,8a_n$.
    Il y aura $400$ nouveaux adhérents.
    Par conséquent $a_{n+1}=0,8a_n+400$
    $~$
  2. a. $v_{n+1} = a_{n+1}-2000$ $ = 0,8a_n+400-2000$
    $v_{n+1}=0,8a_n-1600$ $=0,8a_n – 0,8\times 2000$ $=0,8(a_n – 2000)$
    $v_{n+1}=0,8v_n$
    $v_0 = a_0-2000 = 500$
    Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=500$.
    $~$
    b. Cela signifie donc que $v_n=500 \times 0,8^n$.
    Par conséquent $a_n = v_n+2000 = 500 \times 0,8^n + 2000$
    $~$
    c. On a $0 < 0,8 <  1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 2000$
    $~$
    d. Cela signifie donc qu’au bout d’un grand nombre d’années la médiathèque aura $2000$ adhérents.
    $~$
  3. a. Cet algorithme fournit le rang de la suite $(a_n)$ à partir duquel $a_n < 2050$
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    b. En utilisant le menu “suite” de la calculatrice on trouve $N=11$.
    Cela signifie donc qu’à partir de $2024$ la médiathèque aura moins de $2050$ adhérents.

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Exercice 3

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Il existe une chaîne entre chacun des sommets par conséquent ce graphe est connexe.
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  2. Étudions le degré de chacun des sommets :
    A : $4$ , B : $2$ , C : $4$ , D : $3$ , E : $4$ , F : $3$ , H : $2$
    $2$ sommets sont de degré impair. Par conséquent ce graphe admet une chaîne eulérien.
    L’agent de service  peut  passer par toutes les salles en utilisant une fois et une seule chaque passage.
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  3. La matrice adjacente est donc :
    $$M = \begin{pmatrix} 0&1&1&0&1&1&0 \\\\1&0&1&0&0&0&0 \\\\1&1&0&1&1&0&0 \\\\0&0&1&0&1&0&01\\\\1&0&1&1&0&1&0 \\\\1&0&0&0&1&0&1 \\\\0&0&0&1&0&1&0 \end{pmatrix} $$
  4. Il existe donc $6$ chemins de longueur $4$ entre les sommets B et H
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  5. On utilise l’algorithme de Dijsktra
    A B C D E F H
    $2$(B) $2$(B)
    $6$(A) $4$(A) $5$(A)
    $6$(C) $3$(C) $4$(C)
    $4$(D) $5$(D)
    $4$(E) $4$(E)
    $5$(F)

    On met donc $5$ minutes au minimum pour aller de B à H.

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Exercice 4

Partie A

  1. a. La dérivée de la fonction $\text{exp }(u)$ est $u’\times \text{exp }(u)$.
    Donc $f'(x) = 1 – \text{e}^{-x+0,5}$
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    b. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 – \text{e}^{-x+0,5} = 0$ $\Leftrightarrow 1 = \text{e}^{-x+0,5}$
    $\Leftrightarrow -x+0,5 = 0$ $\Leftrightarrow x=0,5$
    $~$
    c. $f'(x) > 0 \Leftrightarrow 1 – \text{e}^{-x+0,5} > 0$ $\Leftrightarrow 1 > \text{e}^{-x+0,5}$
    $\Leftrightarrow -x+0,5 < 0$ $\Leftrightarrow x>0,5$
    Donc sur $[0;0,5[$ $f'(x) < 0$ $\quad$ sur $]0,5;5]$ $f'(x) > 0$ $\quad$ Et $f'(0,5) = 0$
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    d. TES - liban - mai2014-ex4
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  2. a. Graphiquement on trouve $2 < \alpha <2,5$
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    b. Graphiquement, on recherche les abscisses des points pour lesquelles la droite $\Delta$ se trouve au-dessus de $\mathcal{C}$. On trouve $]\alpha;5]$
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Partie B : Application

  1. a. D’après la partie précédente, $f$ atteint son minimum pour $x=0,5$. Cela correspond donc à $50$ cartes.
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    b. $B(x) = 1,5x – f(x) = 0,5x – 1 -\text{e}^{-x+0,5}$
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  2. a. Pour étudier les variations de $B$ on détermine sa fonction dérivée.
    $B'(x) = 0,5 + \text{e}^{-x+0,5}$.
    La fonction exponentielle étant toujours positive, on a donc $B'(x) > 0$ pour tout $x$.
    La fonction $B$ est donc bien strictement croissante sur $[0;5]$.
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    b. La fonction $B$ est continue et strictement croissante sur $[0;5]$.
    $B(0) =-1 –  \text{e}^{0,5} < 0$ et $B(5) = 1,5 – \text{e}^{-4,5} > 0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $B(x) = 0$ admet donc une unique solution.
    De plus $B(2,32) \approx -0,002 < 0$ et $B(2,33) \approx 0,005 > 0$
    Par conséquent la solution est bien comprise entre $2,32$ et $2,33$.
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  3. D’après la question précédente il faut donc que l’entreprise vende au moins $233$ cartes pour réaliser un bénéfice.