Bac ES/L – Amérique du Nord – juin 2017

Amérique du Nord – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici : spécialité et obligatoire

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+\dfrac{x}{x}-1 \\
    &=\ln(x)+x-1\\
    &=\ln(x)
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} 6\times 0,95^n-1 \pp 2 &\ssi 6 \times 0,95^n \pp 3 \\
    &\ssi 0,95^n \pp 0,5 \\
    &\ssi n\ln(0,95) \pp \ln(0,5) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,95)}
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. $n=1~000 \pg 30$ et $f=\dfrac{954}{1~000}$
    Donc $nf=954 \pg 5$ et $n(1-f)=46 \pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,954-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,954+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,922;0,986]
    \end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’archer touche la cible.
    L’expérience est répétée $6$ fois. Les lances sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque tir il y a deux issues : il touche la cible, avec une probabilité de $0,8$, ou il ne la touche pas.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,8$.
    On veut détermine $P(X=3)=\displaystyle \binom{6}{3}0,8^3\times 0,2^3 = 0,081~92$
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. En juin 2017, on peut estimer qu’il y aura $27~500-150=27~350$ étudiants dans cette université.
    $\quad$
    b. En septembre 2017, l’université devrait donc avoir $1,04\times 27~350=28~444$ étudiants.
    $\quad$
  2. En juin de l’année $n$ il reste $u_n-150$ étudiants.
    En septembre de l’année suivante on a donc :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=1,04\left(u_n-150\right) \\
    &=1,04u_n-156\end{align*}$
    $\quad$
  3. L5 : Tant que $U \pp 33~000$ faire
    L6: $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    L7 : $\qquad$ $n$ prend la valeur $1,04\times U-156$
    L9 : Afficher $2016+n$
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Initialisation}&\text{Etape }1&\text{Etape }2&\text{Etape }3&\text{Etape }4&\text{Etape }5&\text{Etape }6 \\
    \hline
    \text{Valeur de }n&0&1&2&3&4&5&6\\
    \hline
    \text{Valeur de }U&27~500&28~444&29~426&30~447&31~509&32~613&33~762\\
    \hline
    \end{array}$
    b. L’algorithme affichera donc $6$.
    $\quad$
  5. a. On a $u_n=v_n+3~900$
    $\begin{align*} v_{n+1} &=u_{n+1}-3~900 \\
    &=1,04u_n-156-3~900\\
    &=1,04u_n-4~056\\
    &=1,04\left(v_n+3~900\right)-4~056 \\
    &=1,04v_n+4~056-4~056\\
    &=1,04v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=27~500-3~900=23~600$.
    $\quad$
    b. On a donc $v_n=23~600\times 1,04^n$
    Ainsi $u_n=v_n+3~900=23~600\times 1,04^n+3~900$.
    $\quad$
    c. $1,04>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,04^n =+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =+\infty$.
    Cela signifie donc que le nombre d’étudiants de cette université dépassera toutes les limites de capacité qu’on pourra se fixer.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. $\quad$
  2. On veut calculer $p\left(I\cap \conj{T}\right)=0,01\times 0,8=0,008$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(T\cap I)+p\left(T\cap \conj{I}\right) \\
    &=0,01\times 0,2+0\\
    &=0,002
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $P(9\pp X\pp 13)\approx 0,383$ d’après la calculatrice.
    $\quad$
  2. $P(X \pp 6)=0,5-P(6\pp X \pp 11)\approx 0,106$
    $\quad$
  3. A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que $a\approx 15$ pour que $P(X \pp a)=0,84$
    Cela signifie donc que $84\%$ des personnes atteintes de la maladie cœliaque ont attendu au plus $15$ pour être diagnostiqué après l’apparition des premiers symptômes.
    $\quad$
  4. On a $\mu=11$ : cela exclut la courbe 1.
    On sait que $P(9\pp X\pp 13)\approx 0,383$
    Chaque petit rectangle possède une aire de $0,02$ u.a.
    L’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe 3 et les droites d’équation $x=9$ et$x=13$ est inférieure à $12\times 0,02=0,24$. Cela exclut donc la courbe 3.
    La courbe 2 représente donc la fonction de densité de cette loi normale.
    $\quad$

 

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Le graphe possède $9$ sommets, il est donc d’ordre $9$.
    $\quad$
    b. La chaîne $D-M-H-R-B-V-G-L-J$ permet de passer par tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
    c. Les sommets $H$ et $G$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est pas complet.
    $\quad$
  2. Déterminons le degré de chacun des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&B&D&G&H&J&L&M&R&V\\
    \hline
    \text{Degré}&2&1&3&2&3&4&5&3&5\\
    \hline
    \end{array}$
    Plus de deux sommets ont un degré impair.
    Le graphe ne possède pas de chaîne eulérienne.
    Sarah ne pourra pas emprunter toutes les routes une et une seule fois.
    $\quad$
  3. a. Les coefficients manquants sont $\begin{matrix}0&1&0\\
    1&0&1\\
    1&0&1
    \end{matrix}$
    $\quad$
    b. Le nombre de chemins de longueur $4$ permettant d’aller de $B$ à $D$ est ${M_{(1,2)}}^4=3$
    Il s’agit des chemins : $B-R-H-M-D$, $B-V-L-M-D$ et $B-V-J-M-D$.
    $\quad$
  4. A l’aide de l’algorithme de Dijkstra on obtient :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    B&D&G&H&J&L&M&R&V&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&&&B\\
    \hline
    &&&&&&&50(B)&220(B)&R\\
    \hline
    &&150(R)&272(R)&&&&&220(B)&G\\
    \hline
    &&&272(R)&&291(G)&&&220(B)&V\\
    \hline
    &&&272(R)&412(V)&291(G)&670(V)&&&H\\
    \hline
    &&&&412(V)&291(G)&567(H)&&&L\\
    \hline
    &&&&412(V)&&567(H)&&&J\\
    \hline
    &&&&&&567(H)&&&M\\
    \hline
    &617(M)&&&&&&&&D\\
    \hline
    \end{array}$
    Le plus court chemin permettant d’aller de $B$ à $D$ est le chemin $B-R-H-M-D$. Il faut parcourir $617$ km.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : Étude graphique

  1. $f'(3)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
    Donc $f'(3)=\dfrac{0-4}{4-3}=-4$.
    $\quad$
  2. D’après le graphique on a :

Partie B : Étude théorique

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,7;6]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-2)\e^{-2x+6}-2(x^2-2x+1)\e^{-2x+6} \\
    &=\left(2x-2-2x^2+4x-2\right)\e^{-2x+6} \\
    &=\left(-2x^2+6x-4\right)\e^{-2x+6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+6x-4$.
    $\Delta = 6^2-4\times (-2)\times (-4)=4>0$
    Il y a donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{4}}{-4}=2$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{4}}{-4}=1$.
    On a $a=-2<0$. $f'(x)$ est donc positif sur l’intervalle $[1;2]$ et négatif en dehors de cet intervalle.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est concave si, et seulement si, $f^{\prime\prime}(x)<0$.
    D’après les lignes L3 et L4 du logiciel on a
    $f^{\prime\prime}(x)<0 \ssi x\in\left]\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2};\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}\right[$
    $\quad$
    b. $f$ admet des points d’inflexion si $f^{\prime\prime}(x)$ change de signe en s’annulant.
    D’après la ligne L4 du logiciel, la fonction $f$ possède deux points d’inflexion dont les abscisses sont $\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} \displaystyle I&=\int_3^5 f(x)\dx \\
    &=F(5)-F(3)
    &=\dfrac{1}{4}(-50+10-1)\e^{-4}-\dfrac{1}{4}(-18+6-1)\e^{0} \\
    &=\dfrac{-41\e^{-4}+13}{4} \\
    &\approx 3,1
    \end{align*}$

Énoncé obl

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Énoncé spé

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