TSTMG – Polynésie – Juin 2014

Polynésie – Juin 2014  – TSTMG

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est ici.

Exercice 1

  1. Le coefficient multiplicateur est $1 – \dfrac{37,5}{100} = 0,625$ Réponse d $~$
  2. Le coefficient multiplicateur est : $$\left(1 + \dfrac{2}{100} \right)\left(1 – \dfrac{10}{100} \right) = 0,918$$ Le taux d’évolution moyen $x$ vérifie donc : $$ \begin{align} &\left( 1 +\dfrac{x}{100} \right)^2 = 0,918 \\\\ \Leftrightarrow & 1+\dfrac{x}{100}= \sqrt{0,918} \\\\ \Leftrightarrow &\dfrac{x}{100} = \sqrt{0,918} – 1 \\\\ \Leftrightarrow & x = 100 \left(\sqrt{0,918} – 1 \right) \\\\ \Leftrightarrow &x \approx -4,19 \end{align}$$ Réponse c $~$
  3. Le plus rapide est de calculer pour les différentes valeurs proposées le prix de l’article grâce à la formule $87 \times 1,02^n$. Réponse c $~$
  4. L’algorithme calcule la valeur de $5\times 0,94^8 \approx 3,05$ Réponse b

$~$

Exercice 2

Partie A

  1. $P_G(A) = 0,45$ $~$
  2. $~$ TSTMG - polynésie-juin2014-ex2
  3. On calcule $P\left( \bar{G} \cap A) \right) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$ $~$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a : $$\begin{align} P(A) &= P(G \cap A) + P\left( \bar{G} \cap A \right) \\\\ &= 0,4 \times 0,45 + 0,24 \\\\ &= 0,42 \end{align}$$
  5. On cherche à calculer : $$\begin{align} P_A\left( \bar{G} \right) &= \dfrac{P\left(\bar{G} \cap A \right)}{P(A)} \\\\ &= \dfrac{0,24}{0,42} \\\\ & \approx 0,57 \end{align}$$

$~$ Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’achats effectués. On a interrogé $15$ visiteurs. Les réponses sont indépendantes et considérée comme aléatoires. Chaque visiteur n’a le choix qu’entre $2$ issues : $A$ et $\bar{A}$. De plus $P(A) = 0,42$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(15;0,42)$. Par conséquent $P(X = 10) \approx 0,03 $ $~$
  2. a. $X$ suit maintenant la loi normale pour laquelle $µ = 42$ et $\sigma = 4$. $P(X \le 46) = 0,5 + $P(42 \le X \le 46) \approx 0,84$ $~$ b. $P(34 \le X \le 50) \approx 0,95$

$~$

Exercice 3

  1. $\dfrac{17,5 – 10,2}{10,2} \approx 0,7157$ Le taux d’évolution global entre $2007$ et $2012$ est donc d’environ $71,57\%$. $~$
  2. On peut écrire $=100*(C3-C2)/C2$ $~$
  3. L’équation de la droite est $y=1,39x+9,35$ $~$
  4. a. $~$ TSTMG - polynésie-juin2014-ex3
    b.
    En $2015$, $x=9$ alors $y= 1,4 \times 9 + 9,4 = 22$. L’entreprise peut donc espérer un bénéfice de $22~000€$ en $2015$.

$~$

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. Il faut fabriquer $225$ ou $560$ (environ) unités pour avoir une recette égale à $140~000€$.
  2. Le bénéfice est positif ou nul quand la courbe des recettes est au-dessus de celle des coûts. Il faut pour cela produire entre $25$ et $575$ unités.

$~$
Partie B : étude du bénéfice

  1. $R(3) = 172,5$. La recette pour $300$ produits fabriqués s’élève à $172~500€$ $C(3) = 70$. Le coût de production pour $300$ unités est de $70~000€$. Le bénéfice est donc de $172~500-70~000=102~500€$.
    $~$
  2. $B(x) = R(x) – C(x) = -2x^3+4,5x^2+42x-10$
    $~$
  3. $B'(x) = -2 \times 3x^2 +4,5 \times 2x + 42 = -6x^2 + 9x+42$
    $~$
  4. $\Delta = 9^2 + 4 \times 6 \times 42 = 1089 > 0$ Le polynôme possède donc $2$ racines : $$x_1 = \dfrac{-9 -\sqrt{1089}}{-12} = 3,5$$ $$x_2 = \dfrac{-9 +\sqrt{1089}}{-12} = -2$$ Le polynôme est du signe de $a=-6 <0$ en dehors des racines. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    TSTMG - polynésie-juin2014-ex4
  5. Le bénéfice maximal est donc de $106~375€$ atteint quand l’entreprise produit $350$ unités.