DNB – Asie – Juin 2014

Asie – DNB – Juin 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

La hauteur au cinquième rebond est : $1 \times \left(\dfrac{3}{4} \right)^5 \approx 0,24$ m
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Exercice 2

  1. $~$
    DNB - asie - juin2014 -ex21 On lit donc que  la tension est d’environ $480$ N
    $~$
  2. $f(220) = 20\sqrt{220} \approx 297$ Hz. On obtient donc la note Ré3.
    $~$
  3. La fréquence maximale est obtenue pour $T = 900$.
    Alors $f(900) = 20\sqrt{900} = 600$
    La fréquence maximale est donc de $600$ Hz

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Exercice 3

Il faut donc que les côtés des alvéoles mesurent $3$ cm. Les angles au centre d’un hexagone régulier sont de $60°$.

DNB - asie - juin2014 -ex31

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Exercice 4

Cas 1 : Si la réduction est de $30\%$ alors on doit payer $70\%$ du tarif plein.
$\dfrac{70}{100} \times 9,5 = 6,65€$
Affirmation 1 vraie

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Cas 2 : Si $a = 3$ et $b = 1$ alors PGCD$(a;b) = 1$ et pourtant $a-b = 2$
Affirmation 2 fausse

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Cas 3 : $A = (x+5)(2x-1) = 2x^2-x+10x-5 = 2x^2+9x-5$
Affirmation vraie

(en cours de correction)

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Exercice 5

Figure 1

Dans les triangles $AOB$ et $DOC$ :
– $O \in [AC]$ et $O \in [DB]$
– $\dfrac{OA}{OC} = 1$ et $\dfrac{OB}{OD} = 1$ puisque $O$ est le milieu des segments $[AC]$ et $[DB]$
D’après la réciproque du théorème de Thalès les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles

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Figure 2

Le triangle $ABE$ est inscrit dans le cercle de diamètre $[AE]$, il est donc rectangle en $B$.
Par conséquent les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires à la droite $(BC)$.
Elle sont donc parallèles entre elles.

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Exercice 6

  1. Déterminons le nombre de tickets vendus :
    $$350+225+400+125+325+475 = 1~900$$
    La recette est donc de $2 \times 1900 = 3~800€$.
    $~$
    Les dépenses s’élèvent à :
    $$300 + 10 \times 25 + 20 \times 5 = 650€$$
    $~$
    Il y a donc un bénéfice de $3~800-650 = 3~150$ qui permet de financer entièrement la sortie.
    $~$
  2. Si le prix d’un ticket est de $10€$ alors la recette est de $19~000€$.
    Le bénéfice est alors de $19~000-650 = 18350~$.
    Le voyage d’une valeur de $10~000€$ peut donc être financé.
    $~$
    Soit $x$ le prix d’un ticker. On doit donc avoir :
    $$\begin{align} & 1~900x-650 \ge 10~000 \\\\
    \Leftrightarrow & 1~900x \ge 10~650 \\\\
    \Leftrightarrow & x \ge \dfrac{10~650}{1~900} \\\\
    \Leftrightarrow &x \ge 5,61
    \end{align}$$
  3. On suppose que le gros lot a été tiré dès le premier ticket.
    Il reste $30$ tickets gagnant sur $1899$.
    La probabilité de tirer un autre ticket gagnant est : $\dfrac{30}{1899} = \dfrac{10}{633}$

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Exercice 7

Le triangle $PCH$ est rectangle en $H$ donc, en appliquant le théorème de Pythagore on a :
$$\begin{align} PC^2 &= PH^2 + HC^2 \\\\
&= 25^2 + 4^2 \\\\
&=641 \\\\
PC & \approx 25,32
\end{align}$$
$~$
On a, de plus, $\tan \widehat{HPC} = \dfrac{4}{25}$ soit $\widehat{HPC} \approx 9,09°$

Le modèle 2 ne convient donc pas (inclinaison trop faible).

Calculons maintenant le temps pour parcourir la distance $PC$ : $\dfrac{PC}{0,5} \approx 50,64$ secondes.

La durée n’excède donc pas $1$ minute. Le modèle 1 convient.