DNB – Centres étrangers – Juin 2014

Centres étrangers – DNB – Juin 2014

Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver le sujet de ce brevet ici.

Exercice 1

  1. On peut écrire $=A1-B1$.
    $~$
  2. En $A2$ on a écrit $=MAX(B1;C1)$
    Remarque : les tableurs ont besoin d’un point virgule et non d’une virgule.
    $~$
  3. La feuille présentée correspond à l’algorithme des différences successives pour calculer le PGCD de $2$ nombres.
    Par conséquent en $C5$, la dernière différence non nulle, on obtient le PGCD de $216$ et de $126$.
    $~$
  4. Les $2$ nombres $216$ et $126$ ayant un PGCD différent de $1$, ils ne sont pas premiers entre eux et la fraction est simplifiable par $18$.
    $$\dfrac{216}{126} = \dfrac{12 \times 18}{7 \times 18} = \dfrac{12}{7}$$

$~$

 

Exercice 2

On peut représenter la situation de la façon suivante :
DNB - centres étrangers - juin2014 - ex21

où $ABC$ est un triangle rectangle en $C$ avec $AB = 20$ et $AC = 12$

Dans ce triangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore :

$$AB^2 = AC^2+BC^2$$

Par conséquent :

$$\begin{align}
BC^2 &= AB^2-AC^2 \\\\
& = 20^2 – 12^2 \\\\
&= 400 – 144 \\\\
&= 256 \\\\
BC &= \sqrt{256} = 16
\end{align}$$

On en déduit donc que $DB = 20 – 12 = 4$

Cela signifie donc que la lance est descendue de $ 4$ pieds.

$~$

Exercice 3

  1. FAUX
    Seuls les triangles inscrits dans un cercle dont un des côtés est un diamètre de ce cercle sont rectangles.
    $~$
  2. VRAI
    La médiatrice d’un segment est la droite constitués des points équidistants des extrémités de ce segment.
    Par conséquent $AM = BM$ et le triangle $ABM$ est isocèle en $M$.
    $~$
  3. On ne peut pas savoir
    On ne sait pas si le triangle $ABC$ est rectangle. On ne peut donc pas utiliser les formules de trigonométrie.
    $~$
  4. VRAI
    Les $4$ côtés du quadrilatère ont la même longueur. C’est donc un losange. Il possède de plus un angle droit. Il s’agit donc d’un carré.
    $~$

$~$

Exercice 4

Déterminons dans un premier temps le volume du réservoir.
On sait que celui-ci est une réduction de la pyramide du Louvre.
Par conséquent :

$$\begin{align}
V_{reservoir} &= \left(\dfrac{1}{500} \right)^3 V_{pyramide} \\\\
&= \left(\dfrac{1}{500} \right)^3 \dfrac{35 \times 35 \times 22}{3} \\\\
&= \dfrac{26~950}{375~000~000} \\\\
&=\dfrac{539}{7~500~000} \text{ m}^3 \\\\
&=\dfrac{1078}{15} \text{ cm}^3
\end{align}$$

Déterminons combien de temps la lampe restera allumée :

$$ \dfrac{\dfrac{1078}{15}}{4} = \dfrac{539}{30} \approx 18$$

Le réservoir sera vide au bout d’environ $18$ heures.

$~$

 

Exercice 5

  1. $$ (2n+5)(2n-5) = (2n)^2-5^2 = 4n^2-25 $$.
  2. $~$
    $$\begin{align} 205 \times 195 &= (200 + 5)(200-5) \\\\
    &= (2 \times 100 + 5)(2 \times 100 – 5) \\\\
    &= 4 \times 100^2 – 25 \\\\
    &= 39~975
    \end{align}$$

$~$

Exercice 6

  1. $31$ min $= \dfrac{31}{60}$ h $\approx 0,52h$
    La vitesse moyenne du trajet sur autoroute est :
    $$v = \dfrac{993}{8,52} \approx 117 \text{ km/h}$$
  2. Il doit effectuer $4$ pauses d’une durée minimale de $10$ minutes.
    Son trajet sera donc de $8$h $47$min $+ 40$min soit $9$h $27$min.
    $~$
  3. Le coût correspondant au carburant est de $89,44€$.
    Cela correspond donc à : $\dfrac{89,44}{1,42} \approx 63$ L.
    Son réservoir a une capacité de $60$ L. Il ne pourra donc pas faire le trajet avec un seul plein d’essence.

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Exercice 7

  1. Si la température est de $0°$C alors elle est de $0\times 1,8 + 32 = 32°$F.
    $~$
  2. On appelle $x$ la température en °C. On a alors :
    $$ \begin{align} 1,8x + 32 = 212 & \Leftrightarrow 1,8x = 180
    & \Leftrightarrow x = \dfrac{180}{1,8} \\\\
    & \Leftrightarrow x = 100
    \end{align}$$
    Le thermomètre indiquerait alors $100°$C. L’eau bout à cette température.
    $~$
  3. a. On a donc $f(x) = 1,8x+32$.
    $~$
    b. La fonction $f$ est de la forme $f(x)=ax+b$. C’est donc une fonction affine.
    $~$
    c. $f(5) = 1,8 \times 5 + 32 = 41$
    L’image de $5$ par $f$ est $41$.
    $~$
    d. $~$
    $$\begin{align} f(x) & = 5 \\\\
    1,8x + 32 &= 5 \\\\
    1,8x &= -27 \\\\
    x &= -15
    \end{align}$$
    L’antécédent de $5$ par $f$ est donc $-15$.
    $~$
    e. Puisque $f(10) = 50$ cela signifie donc que $10°$C = $50°$F.