Exercice 1

1. $\quad$
   $\begin{align*} \dfrac{7}{4}+\dfrac{2}{3}&=\dfrac{21}{12}+\dfrac{8}{12} \\
   &=\dfrac{21+8}{12}\\
   &=\dfrac{29}{12}
   \end{align*}$
   Réponse B
   $\quad$
2. $5x+12=3$
   revient à $5x=3-12$ : on soustrait $12$ dans les deux membres.
   soit $5x=-9$
   C’est-à-dire $x=-\dfrac{9}{5}$ : on divise les deux membres par $5$.
   Donc $x=-1,8$
   Réponse C
   $\quad$
3. D’après la calculatrice : $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1,618$
   Une valeur approchée, au dixième près, de ce nombre est donc $1,6$.
   Réponse B
   $\quad$

Exercice 2

1. $\quad$
   
2. a. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2 \\
   &=10^2+10^2\\
   &=100+100\\
   &=200
   \end{align*}$
   Donc $AC=\sqrt{200}$
   $\quad$
   b. Le point $E$ appartient au cercle de centre $A$ passant par $C$. Par conséquent $[AC]$ et $[AE]$ sont des rayons de cercle.
   Donc $AE=AC=\sqrt{200}$.
   $\quad$
   c. Aire du carré $ABCD$ : $\mathscr{A}_1=AB^2=100$ cm$^2$.
   Pour calculer l’aire du carré $DEFG$ on a besoin de calculer $DE$.
   Dans le triangle $ADE$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} DE^2&=AD^2+AE^2\\
   &=10^2+\sqrt{200}^2\\
   &=100+200\\
   &=300
   \end{align*}$
   Ainsi $DE=\sqrt{300}$.
   L’aire du carré $DEFG$ est $\mathscr{A}_2=DE^2=300$ cm$^2$.
   L’aire du carré $DEFG$ est bien le triple de l’aire du carré $ABCD$.
   $\quad$
3. Si l’aire du carré $DEFG$ est de $48$ cm$^2$ alors l’aire du carré $ABCD$ est de $\dfrac{48}{3}=16$ cm$^2$.
   Ainsi $AB=\sqrt{16}=4$ cm.
   $\quad$

Exercice 3

1. Les numéros pairs sont : $2,4,6,8,10,12$ soit $6$ possibilités.
   Les multiples de $3$ sont : $3,6,9,12$ soit $4$ possibilités.
   Il est donc plus probable d’obtenir un numéro pair.
   $\quad$
2. Toutes les boules ont un numéro inférieur à $20$.
   La probabilité d’obtenir un numéro inférieur à $20$ est donc $1$.
   $\quad$
3. Les diviseurs de $6$ sont $1,2,3$ et $6$.
   Il nous reste donc les boules : $4,5,7,8,9,10,11,12$ soit $8$ possibilités
   Les nombres premiers inférieurs à $12$ sont $2,3,5,7$ et $11$.
   Les nombres premiers qu’on peut obtenir sont donc : $5,7$ et $11$ soit $3$ possibilités.
   La probabilité d’obtenir un nombre premier est alors $\dfrac{3}{8}=0,375$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie I

1. La France comptait environ $64$ millions d’habitants en 2015.
   $4,7\%$ de cette population souffrait alors d’allergies alimentaires soit $\dfrac{4,7}{100}\times 64=3,008$ millions d’individus.
   En 2010 ils étaient deux fois moins nombreux soit $\dfrac{3,008}{2}=1,504\approx 1,5$ millions de personnes.
   $\quad$
2. En 1970, la France comptait environ $53$ millions d’habitants.
   Parmi eux $1\%$ était souffrait d’allergies alimentaires soit $0,53$ million de personnes.
   $0,53\times 6=3,18$ qui est relativement proche des $3,008$ trouvé à la question précédente.
   Il y avait donc bien environ $6$ fois plus de personnes concernées par des allergies alimentaires en 2015 qu’en 1970.

Partie II

1. $\dfrac{32}{681}\approx 4,7\%$
   La proportion des élèves de ce collège souffrant d’allergies alimentaires est approximativement la même que celle de la population française en 2015.
   $\quad$
2. Certains élèves souffrent de plusieurs allergies alimentaires et sont donc comptabilisés dans plusieurs catégories.
   $\quad$
3. a. Le caractère étudié est qualitatif. On va donc utiliser le diagramme de Lucas.
   $\quad$
   b.
   

Exercice 5

1. Le centre de la balle a pour coordonnées $(4\times 40;3\times 40)$ soit $(160;120)$.
   $\quad$
2. a. Le chat ne se déplace du même nombre d’unité vers la gauche $(-40)$ que vers la droite $(80)$.
   Il ne reviendra donc pas à sa position de départ si le joueur appuie sur la touche $\rightarrow$ puis sur la touche $\leftarrow$.
   $\quad$
   b. Voici l’évolution des coordonnées du chat :
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   \text{touche}&\text{coordonnées}\\
   \hline
   \text{départ}&(-120;-80)\\
   \hline
   \rightarrow&(-40;-80)\\
   \hline
   \rightarrow&(40;-80)\\
   \hline
   \uparrow&(40;0)\\
   \hline
   \leftarrow&(0;0)\\
   \hline
   \downarrow&(0;-40)\\
   \hline
   \end{array}$
   Les coordonnées du chat après cette séquence de déplacement sont $(0;-40)$.
   $\quad$
   c. La séquence $\rightarrow\rightarrow\rightarrow\uparrow\uparrow\uparrow\rightarrow\downarrow\leftarrow$ permet au chat d’atteindre la balle.
   En effet il se déplace $3$ fois vers la droite et une fois vers la gauche : son abscisse devient $-120+3\times 80-40=160$.
   Il se déplace également $3$ fois vers le haut et unefois vers le bas : son ordonnée devient $-80+3\times 80-40=120$.
   $\quad$
3. Quand le chat atteint la balle le texte “Je t’ai attrapé” s’affiche pendant $2$ secondes.
   $\quad$

Exercice 6

1. a. Le point $B$ appartient au segment $[BC ]$
   Donc $OC=OB+BC=6+5=11$ m
   Le point $F$ appartient au segment $[OE]$
   Donc $OE=OF+FE=4+15=19$ m
   Le périmètre du rectangle $OCDE$ est donc
   $\begin{align*} P&=2(OC+OE) \\
   &=2(11+19) \\
   &=60
   \end{align*}$
   Elle ne met pas de grillage sur les segments $[OB]$ et $[OF]$.
   La longueur de grillage utilisée est donc :
   $\begin{align*} L&=P-OB-OF\\
   &=60-6-4\\
   &=50
   \end{align*}$
   Elle utilise donc les $50$ m de grillage.
   $\quad$
   b. L’aire de l’enclos $OCDE$ est donc :
   $A=OC\times OE=11\times 19= 209$ m$^2$.
   $\quad$
2. Si $x=5$ alors
   $\begin{align*} A(5)&=-5^2+18\times 5+144 \\
   &=-25+90+144\\
   &=209
   \end {align*}$
   La formule de la voisine est bien cohérente avec le résultat de la question 1.
   $\quad$
3. a. Dans la cellule F2 on a $=-F1*F1+18*F1+144$
   $\quad$
   b. Dans le tableau l’aire est maximale quand $BC=9$.
   $\quad$
   c. On a alors $ED=9+6=15$ m
   Elle utilise les $50$ mètres de grillage.
   Par conséquent $50=BC+CD+ED+FE$
   Soit $50=9+CD+CD-4+15$
   Donc $50=2CD+20$
   Par conséquent $30=2CD$
   Et $CD=\dfrac{30}{2}=15$
   L’enclos est donc un carré dont les côtés mesure $15$ m.

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