Pondichery – avril

Pondichery – Avril 2014

DNB – mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé du brevet ici.

Exercice 1

  1. $3003 = 20 \times 150 + 3$ et $3731 = 20 \times 186 + 11$.
    Il lui restera alors $3$ dragées au chocolat et $11$ aux amandes.
  2. a. $90$ est divisible par $2$ mais ni $3003$ ni $3731$ ne le sont.
    La proposition ne conviendra donc pas.
    b. Soit $N$ le nombre de ballotins cherchés.
    Celui-ci doit diviser à la fois $3003$ et $3731$. Il doit, de plus, être le plus grand possible. Cela signifie donc que $N$ est le PGCD des $2$ nombres.
    On utilise l’algorithme d’Euclide pour le déterminer :
    $3731 = 1 \times 3003 + 728$
    $3003 = 4 \times 728 + 91$
    $728 = 8 \times 91 + 0$
    Le PGCD est le dernier reste non nul. C’est donc $91$
    Ils pourront donc faire $91$ ballotins.
    $\dfrac{3003}{91} = 33$ et $\dfrac{3731}{91} = 41$.
    Ils contiendront chacun $33$ dragées au chocolat et $41$ aux amandes.

Exercice 2

  1. Réponse C : $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$
  2. Réponse C : Exemple : un rectangle de longueur $8$ et de largeur $2$ a une aire de $16 $ et un périmètre de $2\times(8 + 2) = 20$.
    Un carré de côté $4$ a une aire de $4^2=16$ et un périmètre de $4\times 4 = 16$.
  3. Réponse A : $f(x) = 3x – (2x+7)+(3x+5) = 3x – 2x – 7 + 3x + 5 = 4x -2$
  4. Réponse C : les résultats d’un tirage n’ont pas d’influence sur les autres.
  5. Réponse A : $(x-1)^2-16 = (x-1)^2-4^2 = \left((x-1)-4\right) \left((x-1)+4\right) = (x – 5)(x+3)$

Exercice 3

On appelle $x$ le nombre choisi.
Le calcul conduit à : $(x+3) \times 7 + 3x – 21 = 7x + 21 + 3x – 21 = 10x$.
C’est bien un multiple de $10$.

Exercice 4

Dans le triangle $ACD$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore :
$AD^2 = AC^2+CD^2 = 1,4^2+1,05^2 = 3,0625$. Donc $AD = 1,75$ km
Ce parcours mesure donc $1,4+1,05+1,75 = 4,2$ km.

Dans les triangles $AEF$ et $AE’F’$ :
– les drotes $(E’F’)$ et $(EF)$ sont parallèles.
– $E’ \in [AE]$ et $F’ \in [AF]$.

D’après le théorème de Thalès on a :
$\dfrac{AE’}{AE} = \dfrac{AF’}{AF} = \dfrac{E’F’}{EF}$
Donc $\dfrac{0,5}{1,3} = \dfrac{AF’}{1,6} = \dfrac{0,4}{EF}$.
Par conséquent $EF = \dfrac{1,3 \times 0,4}{0,5} = 1,04$
Ce parcours mesure donc $1,04+1,3+1,6=3,94$ km

Le parcours $AEFA$ est donc le plus proche des $4$ km souhaités.

Remarque : on ne sait pas si le triangle $AEF$ est rectangle en $E$, on ne peut donc pas utiliser le théorème de Pythagore, ni la trigonométrie.

Exercice 5

  1. Rayon du cylindre : $5$ cm.
    Volume du cylindre : $\mathcal{V}_{cylindre} $ $=  5^2\pi \times 15 = 375\pi \text{ cm}^2$ $\approx 1178 \text{ cm}^3$.
  2. a. Volume du grand cône : $V_1 = \dfrac{\pi \times 5^2 \times 6}{3} = 50\pi \text{ cm}^3$
    b. Le petit cône au sommet est une réduction du grand cône de rapport $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
    Son volume est donc $V_3 = \left(\dfrac{1}{3} \right)^3 V_1 = \dfrac{50\pi}{27} \text{ cm}^3$
    Le volume du tronc est donc :$V_2 = V_1-V_3 = 50\pi – \dfrac{50\pi}{27}$ $V_2=\dfrac{1350\pi}{27}-\dfrac{50\pi}{27} = \dfrac{1300\pi}{27} \text{ cm}^3 \approx 82 \text{ cm}^3$
  3. Ce ne peut pas être le graphique $4$ car la courbe ne passe pas par l’origine de repère : si on ne met pas d’eau dans le bidon, le volume vaut $0$.
    Ce ne peut pas être le graphique $2$ car le volume d’eau diminue entre $15$ et environ $19$.
    Pour une même hauteur et un même rayon de base, le volume d’un cône est plus petit que celui d’un cylindre. Par conséquent le graphique $3$ ne convient pas.
    Le graphique $1$ correspond donc à la situation.

Exercice 6

  1. En O2 on a pu écrire : =somme(B2:N2)
  2. a. moyenne $=\dfrac{1\times 8 + 2 \times 2 + \ldots + 40 \times 1}{26} = \dfrac{205}{26} \approx 8$
    b.$\dfrac{26}{2} = 13$. La médiane est donc la moyenne est la $13^\text{ème}$ valeur et la $14^\text{ème}$
    La $13^\text{ème}$ valeur est $4$, la $14^\text{ème}$ valeur est également $4$.
    La médiane est donc $4$.
    c. Les premières valeurs sont très représentées ce qui explique pourquoi la médiane est basse.
    Les valeurs de la série à partir de $14$ ne sont représentées qu’une seule fois et vont jusqu’à $40$. La moyenne, tenant compte de toutes valeurs de la série, est donc plus grande que la médiane.
  3. $70 \%$ des pays ont obtenu au moins une médaille d’or. Cela représente $26$ pays.
    Par conséquent $\dfrac{30 \times 26}{70} \approx 11$ pays n’ont obtenu que des médailles d’argent et de bronze.