Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2015

Amérique du Sud – Novembre 2015

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  6 points

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$, on désigne par $\mathscr{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par :
$$u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}$$
où $a, b$ et $c$ sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_u$ et la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 1$.

bac S - amérique du sud - novembre 2015 - ex 1

On précise que la courbe $\mathscr{C}_u$ passe par les points $A(1;0)$ et $B(4;0)$ et que l’axe des ordonnées et la droite $\mathscr{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathscr{C}_u$.

  1. Donner les valeurs de $u(1)$ et $u(4)$.
    $\quad$
  2. Donner $\lim\limits_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$.
    $\quad$
  3. En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$.
    $\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par :
$$f(x) = x-5\ln x-\dfrac{4}{x}.$$

  1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $\lim\limits_{x \to 0} x \ln x = 0$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = u(x)$.
    En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs particulières.
    $\quad$

Partie C

  1. Déterminer l’aire $\mathscr{A}$, exprimée en unité d’aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $\lambda$ supérieur ou égal à $4$, on note $\mathscr{A}_{\lambda}$ l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine formé par les points $M$ de coordonnées $(x;y)$ telles que
    $$4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).$$
    Existe-t-il une valeur de $\lambda$ pour laquelle $\mathscr{A}_{\lambda} = \mathscr{A}$ ?
    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    $\quad$

Exercice 2  –  4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$. Les points $A$, $B$, $C$ sont définis par leurs coordonnées :
$$A(3;-1;4), B(-1;2;-3), C(4;-1;2).$$
Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $2x-3y + 2z-7 = 0$.
La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x =-1+4t\\y =4-t\\z = -8 + 2t\end{cases}, t \in \R$.

Affirmation 1 : Les droites $\Delta$ et $(AC)$ sont orthogonales.

Affirmation 2 : Les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z-5 = 0$.

Affirmation 3 : Tous les points dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par $\begin{cases} x =1 +s-2s’\\y = 1-2s + s’\\z= 1-4s + 2s’\end{cases}, s \in \R,s’ \in \R$ appartiennent au plan $\mathscr{P}$.

Affirmation 4 : Il existe un plan parallèle au plan $\mathscr{P}$ qui contient la droite $\Delta$.

$\quad$

Exercice 3  –  5 points

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante

Partie A

Le chikungunya est une maladie virale transmise d’un être humain à l’autre par les piqûres de moustiques femelles infectées.
Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

  • la probabilité qu’une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ ;
  • la probabilité qu’une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population “cible”. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

  • $M$ l’événement: “L’individu choisi est atteint du chikungunya”
  • $T$ l’événement: “Le test de l’individu choisi est positif”

 

On notera $\overline{M}$ (respectivement $\overline{T}$) l’événement contraire de l’événement $M$ (respectivement $T$).
On note $p$ $(0 \leqslant p \leqslant 1)$ la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.
    bac S - amérique du sud - novembre 2015 - ex 3
  2. Exprimer $P(M \cap T)$, $P\left(\overline{M} \cap T\right)$ puis $P(T)$ en fonction de $p$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par :
    $$f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}.$$
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à $0,95$.
    En utilisant les résultats de la question 2., à partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ?
    $\quad$

Partie B

En juillet 2014, l’institut de veille sanitaire d’une île, en s’appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que $15\%$ de la population est atteinte par le virus.
Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on pense que la proportion est en réalité plus importante.
Pour s’en assurer, on se propose d’étudier un échantillon de $1~000$ personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer qu’un tel échantillon résulte de tirages avec remise.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $1~000$ personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus et par $F$ la variable aléatoire donnant la fréquence associée.

  1. a. Sous l’hypothèse $p = 0,15$, déterminer la loi de $X$.
    $\quad$
    b. Dans un échantillon de $1~000$ personnes choisies au hasard dans l’île, on dénombre $197$ personnes atteintes par le virus.
    Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation à propos du chiffre de $15\%$ publié par l’institut de veille sanitaire ?
    Justifier. (On pourra s’aider du calcul d’un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$.)
    $\quad$
  2. On considère désormais que la valeur de $p$ est inconnue.
    En utilisant l’échantillon de la question 1. b., proposer un intervalle de confiance de la valeur de $p$, au niveau de confiance de $95\%$.
    $\quad$

Partie C

Le temps d’incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale d’écart type $\sigma = 10$.
On souhaite déterminer sa moyenne $\mu$.
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $T$ est donnée en annexe.

  1. a. Conjecturer, à l’aide du graphique, une valeur approchée de $\mu$.
    $\quad$
    b. On donne $p(T < 110) = 0,18$. Hachurer sur le graphique un domaine dont l’aire correspond à la probabilité donnée.
    $\quad$
  2. On note $T’$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T-\mu}{10}$.
    a. Quelle loi la variable aléatoire $T’$ suit-elle ?
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur approchée à l’unité près de la moyenne $\mu$ de la variable aléatoire $T$ et vérifier la conjecture de la question 1.
    $\quad$

Annexe Exercice 3

bac S - amérique du sud - novembre 2015 - ex 3annexe

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans un pays de population constante égale à $120$ millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

  • en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
  • chaque année, $10\%$ des ruraux émigrent à la ville ;
  • chaque année, $5\%$ des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $u_n$ la population en zone rurale, en l’année $2010 + n$, exprimée en millions d’habitants ;
  • $v_n$ la population en ville, en l’année $2010 + n$, exprimée en millions d’habitants.

On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$.

Partie A

  1. Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$.
    $\quad$
  2. On utilise un tableur pour visualiser l’évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
    Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d’obtenir la feuille de calcul ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &A &B&C\\
    \hline
    1&n &\begin{array}{c}\text{Population en}\\\text{zone rurale}\end{array} &\begin{array}{c} \text{Population} \\ \text{en ville} \end{array} \\
    \hline
    2&0 &90 &30\\
    \hline
    3&1 &82,5 &37,5\\
    \hline
    4&2 &76,125 &43,875\\
    \hline
    5&3 &70,706 &49,294\\
    \hline
    6&4 &66,100 &53,900\\
    \hline
    7&5 &62,185 &57.815\\
    \hline
    8&6 &58,857 &61,143\\
    \hline
    9&7 &56,029 &63,971\\
    \hline
    10&8&53,625 &66,375\\
    \hline
    11&9&51,581 &68,419\\
    \hline
    12&10&49,844 &70,156\\
    \hline
    13&11&48,367 &71,633\\
    \hline
    14&12&47,112 &72,888\\
    \hline
    15&13&46,045 &73,955\\
    \hline
    16&14&45,138 &74,862\\
    \hline
    17&15&44,368 &75,632\\
    \hline
    18&16&43,713 &76,287\\
    \hline
    19&17&43,156 &76,844\\
    \hline
    20&18&42,682 &77,318\\
    \hline
    21&19&42,280 &77,720\\
    \hline
    22&20&41,938 &78,062\\
    \hline
    \ldots& \ldots & \ldots & \ldots\\
    \hline
    59&57 &40,005 &79,995\\
    \hline
    60&58 &40,004 &79,996\\
    \hline
    61&59 &40,003 &79,997\\
    \hline
    62&60 &40,003 &79,997\\
    \hline
    63&61 &40,002 &79,998\\
    \hline
    \end{array}$$
  3. Quelles conjectures peut-on faire concernant l’évolution à long terme de cette population ?
    $\quad$

Partie B

On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,85u_n + 6$.

  1. a. Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$.
    Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n-40$, pour tout $n \geqslant 0$.
    $\quad$
    a. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    Entrée :
    $\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $u$ prend la valeur $90$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $u \geqslant 120-u$ faire
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n + 1$
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $0,85 \times u + 6$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    a. Que fait cet algorithme ?
    $\quad$
    b. Quelle valeur affiche-t-il ?
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un pays de population constante égale à $120$ millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

  • en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ;
  • chaque année, $10\%$ des ruraux émigrent à la ville;
  • chaque année, $5\%$ des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $R_n$ l’effectif de la population rurale, exprimé en millions d’habitants, en l’année $2010 + n$,
  • $C_n$ l’effectif de la population citadine, exprimé en millions d’habitants, en l’année $2010+n$.

On a donc $R_0 = 90$ et $C_0 = 30$.

  1. On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,05\\0,1& 0,95\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n = \begin{pmatrix}R_n\\C_n \end{pmatrix}$.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = MU_n$.
    $\quad$
    b. Calculer $U_1$. En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$.
    $\quad$
  3. Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}$. Montrer que la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $P$ et on la notera $P^{-1}$.
    $\quad$
  4. a. On pose $\Delta = P^{-1}MP$. Calculer $\Delta$ à l’aide de la calculatrice.
    $\quad$
    b. Démontrer que : $M = P\Delta P^{-1}$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul: $$M^n = P\Delta^nP^{-1}.$$
    $\quad$
  5. a. On admet que le calcul matriciel précédent donne :
    $$M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\\dfrac{2}{3} – \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\end{pmatrix}.$$
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $R_n = 50 \times 0,85^n + 40$ et déterminer l’expression de $C_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de $R_n$ et de $C_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
    Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?
    $\quad$
  6. a. On admet que $\left(R_n\right)$ est décroissante et que $\left(C_n\right)$ est croissante.
    Compléter l’algorithme donné en annexe afin qu’il affiche le nombre d’années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.
    $\quad$
    b. En résolvant l’inéquation d’inconnue $n$, $50 \times 0,85^n + 40 < 80-50 \times 0,85^n$, retrouver la valeur affichée par l’algorithme.
    $\quad$

Annexe Exercice 4 spécialité

Entrée :
$\quad$ $n$, $R$ et $C$ sont des nombres
Initialisation :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $R$prend la valeur $90$
$\quad$ $C$ prend la valeur $30$
Traitement :
$\quad$ Tant que \ldots \ldots faire
$\qquad$ $n$ prend la valeur \ldots
$\qquad$ $R$ prend la valeur $50 \times 0,85^n + 40$
$\qquad$ $C$ prend la valeur \ldots
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
Afficher $n$