Géométrie dans l’espace – ex 5

Exercice 5

Soit un cône de révolution de hauteur $8$ cm dont la base a un rayon de $6$ cm.

Calculer le volume et l’aire latérale de ce cône.

Correction

cône ex5

Soient $S$ le sommet du cône, $O$ le centre de la base et $A$ un point du cercle de la base.

Son volume est $\dfrac{\pi \times 6^2 \times 8}{3}$ $=96\pi \text{cm}^3$

 

$[SO]$ est donc la hauteur du cône et $SOA$ est triangle rectangle en $O$ dans lequel on peut appliquer le théorème de Pythagore.

$\begin{align} SA^2 & =SO^2 + OA^2 \\\\
&=8^2 + 6^2 \\\\
&= 100 \\\\
SA = 10 \text{cm}
\end{align}$

Le patron de la surface latérale d’un cône est un secteur circulaire de rayon $10$ cm.

cône ex5-2

La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle $\alpha$.

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
angle~(en~°)&360&\alpha\\\\
\hline
longueur~de~l’arc~(en ~cm)&2\pi\times 10&2\pi\times 6\\\\
\hline
\end{array}$

D’où $\alpha = \dfrac{360 \times 2\pi \times 6}{2\pi \times 10}$ $=216°$.

L’aire du secteur angulaire est également proportionnelle à l’angle. On a donc :

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
angle~(en~°)&360&216\\\\
\hline
Aire~du~secteur~angulaire~(en ~cm^2)&\pi \times 10^2&A\\\\
\hline
\end{array}$

Donc $A = \dfrac{216 \times \pi \times 10^2}{360}$ $=60\pi$ $\approx 188,5 \text{cm}^2$