Bac ES/L – Amérique du Sud Novembre 2017

Amérique du Sud – Novembre 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

 

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\dfrac{5}{x}$
    Donc $f'(1)=5$.
    De plus $f(5)=11$.
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de la $f$ au point d’abscisse $1$ est :
    $\begin{align*}y=f'(1)(x-1)+f(1)&\ssi y=5(x-1)+11\\
    &\ssi y=5x-5+11\\
    &\ssi y=5x+6
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi 11+5\ln(x)=0\\
    &\ssi 5\ln(x)=-11\\
    &\ssi \ln(x)=-\dfrac{11}{5}\\
    &\ssi x=\e^{-11/5}
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
    Donc d’après la calculatrice $p(X=1)\approx 0,40$
    Réponse c
    $\quad$
  4. $P_{(T\pg 3)}(T\pp 5)=\dfrac{P(3\pp T\pp 5)}{P(T\pg 3)}=\dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{1}{2}$
    Réponse a
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. a. La suite $\left(a_n\right)$ est géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $a_0=20~000$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=20~000\times 1,04^n$.
    D’où $a_{10}\approx 29~605$.
    Le capital disponible au bout de $10$ ans avec le contrat A est d’environ $29~605$ euros.
    $\quad$
    b. Le pourcentage d’augmentation entre le capital de départ et celui obtenu au bout de $10$ ans est :
    $t=\dfrac{29~605-20~000}{20~000}\approx 48\%$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un entier naturel.
    On a $u_n=13~200+b_n \ssi b_n=u_n-13~200$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=13~200+b_{n+1} \\
    &=13~200+1,025b_n+330\\
    &=13~530+1,025b_n\\
    &=13~530+1,025\left(u_n-13~200\right)\\
    &=13~530+1,025u_n-13~530\\
    &=1,025u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,025$ et de premier terme $u_0=13~200+20~000=33~200$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-6~800\times 1,025^n$.
    $\quad$
    c. On a donc :
    $b_n=u_n-13~200=33~200\times 1,025^n-13~200$.
    $\quad$
    d. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} b_n\pg 40~000&\ssi 33~200\times 1,025^n-13~200 \pg 40~000 \\
    &\ssi 33~200\times 1,025^n \pg 53~200\\
    &\ssi 1,025^n \pg \dfrac{133}{83}\\
    &\ssi n\ln 1,025 \pg \ln \dfrac{133}{83}\\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{133}{83}}{\ln 1,025}\\
    &\ssi n \pg 20
    \end{align*}$
    Le capital disponible devient supérieur à $40~000$ euros au bout de $20$ ans.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de }A&20~000&20~800&21~632&22~497&23~397&24~333&25~306\\
    \hline
    \text{Valeur de }B&20~000&20~830&21~681&22~553&23~447&24~363&25~302\\
    \hline
    \text{Valeur de }N&0&1&2&3&4&5&6\\
    \hline
    \text{Condition }A\pp B&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{vraie}&\text{fausse}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’algorithme affiche la valeur $6$.
    C’est au bout de $6$ ans que le contrat A fournit un capital disponible supérieur à celui du contrat B.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
  2. La matrice de transition est : $T=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,15&0,85\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On note $b_n$ la part des abonnements PassBus et $t_n$ la part des abonnements PassTrain durant l’année 2016$+n$ et on note $R_n=\begin{pmatrix}b_n&t_n\end{pmatrix}$.
    On a donc $R_0=\begin{pmatrix} 0,25&0,75\end{pmatrix}$.
    En 2019, on aura donc $R_3=R_0T^3\approx \begin{pmatrix}0,452&0,548\end{pmatrix}$.
    Les abonnements PassBus représenteront donc environ $45,2\%$ des l’ensemble des abonnements en 2019.
    $\quad$
  4. L’état stable $R=\begin{pmatrix}b&t\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} b+t=1\\R=RT\end{cases} &\ssi \begin{cases}b+t=1\\0,9b+0,15t=b\\0,1b+0,85t=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1-t\\-0,1b+0,15t=0\\0,1b-0,15t=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=1-t\\0,1(1-t)-0,15t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=1-t\\0,1-0,25t=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}b=1-t\\t=0,4\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}b=0,6\\t=0,4\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $R=\begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}$.
    Au bout d’un grand nombre d’années, les abonnements PassBus représenteront $60\%$ de l’ensemble des abonnements et les abonnements PassTrain $40\%$.
    $\quad$

Partie B

L’algorithme de Dijsktra nous donne :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&\text{Sommet}\\
\hline
0&&&&&&&&A\\
\hline
&20(A)&28(A)&&&80(A)&&&B\\
\hline
&&46(B)&102(B)&98(B)&74(B)&&&C\\
\hline
&&&102(B)&98(B)&74(B)&&&F\\
\hline
&&&102(B)&94(F)&&114(F)&&E\\
\hline
&&&102(B)&&&110(E)&&D\\
\hline
&&&&&&110(E)&138(D)&G\\
\hline
&&&&&&&134(G)&H\\
\hline
\end{array}$

Le trajet le plus court est donc $A-B-F-E-G-H$. Il mesure $134$ km.

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $n=1~000\pg 30$ et $f_1=0,05$ donc $nf_1=50\pg 5$ et $n\left(1-f_1\right)=950\pg 50$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ de la proportion $p_1$ est :
    $\begin{align*} I_1&=\left[0,05-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,05+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,018;0,082]
    \end{align*}$
    $\quad$
    On a $n=1~000\pg 30$ et $f_2=0,1$ donc $nf_2=100\pg 5$ et $n\left(1-f_2\right)=900\pg 50$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ de la proportion $p_2$ est :
    $\begin{align*} I_2&=\left[0,1-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,1+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,068;0,132]
    \end{align*}$
  2. L’intersection $I_1\cap I_2$ n’est pas vide.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right)\\
    &=0,6x+0,1(1-x)\\
    &=0,1+0,5x
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $p(T)=0,125$
    Par conséquent $0,125=0,1+0,5x\ssi 0,025=0,5x \ssi x=0,05$
    Le laboratoire va donc proposer une proportion de $5\%$ de poissons infectés pour ce prélèvement.
    $\quad$

Partie C

  1. À l’aide de la calculatrice on trouve $P(14<X<28)\approx 0,838$
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(X>35)=0,5-P(21<X<35)\approx 0,003$
    La probabilité qu’un poisson infecté ne soit pas encore guéri après $5$ semaines de traitement antibiotique est d’environ $0,003$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La définition de $f$ nous donner $f(0)=b\e^0=b$.
    Graphiquement, on a $f(0)=1$.
    La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $B$ est horizontale. Donc $f'(0,25)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=a\e^{-2x}-2(ax+b)\e^{-2x}=(a-2ax-2b)\e^{-2x}$.
    $\quad$
  3. On a donc $b=1$ d’après la question 1.
    $f'(0,25)=(a-0,5a-2)\e^{-0,5}=0 \ssi 0,5a-2=0 \ssi a=4$
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction exponentielle est strictement positive sur $[0;2]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2-8x$.
    $2-8x=0\ssi x=0,25$
    $2-8x>0\ssi -8x>-2 \ssi x<0,25$
    Ainsi :
    – $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;0,25[$
    – $f'(0,25)=0$
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0,25;2]$
    $\quad$
    Par conséquent :
    – la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;0,25]$
    – la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0,25;2]$.
    $\quad$
  2. $f\dsec(x)=0 \ssi 16x-12=0$ car la fonction exponentielle ne s’annule jamais.
    $\ssi x=\dfrac{12}{16}$
    $\ssi x=0,75$
    La courbe $\mathscr{C}_f$ possède donc un unique point d’inflexion dont l’abscisse est $0,75$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} F'(x)&=-2\e^{-2x}-2(-2x-1,5)\e^{-2x}\\
    &=(-2+4x+3)\e^{-2x}\\
    &=(1+4x)\e^{-2x}\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La fonciton $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
    b. Ainsi :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(0) \\
    &=-5,5\e^{-4}+1,5 \text{u.a.}
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;2]$ est :
    $m=\ds \dfrac{1}{2-0}\int_0^2 f(x)\dx=\dfrac{-5,5\e^{-4}+1,5}{2} \approx 0,7$.
    $\quad$

Énoncé

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