Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2017

Antilles Guyane – Septembre 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $n=1~050 \pg 30$ et $f=\dfrac{504}{1~050}=0,48$ donc $nf=504 \pg 5$ et $n(1-f)=546 \pg 5$.
    Un intervalle de confiance au seuil de confiance de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{1~050}&=\left[0,48-\dfrac{1}{\sqrt{1~050}};0,48+\dfrac{1}{\sqrt{1~050}}\right] \\
    &\approx [0,449~1;0,510~9]
    \end{align*}$
    Affirmation 4 : La probabilité que le candidat A obtienne entre $44,91\%$ et $51,09\%$ des votes est d’environ $0,95$.
    $\quad$
  2. a. Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    $a=\dfrac{6,8-5}{4-2}=0,9$ donc $y=0,9x+b$.
    Le point $A(2;5)$ appartient à la droite $(AB)$ donc $5=0,9\times 2+b$ et $b=3,2$.
    Affirmation 3 : $y=0,9x+3,2$.
    $\quad$
    b. Une unité d’aire correspond à l’aire d’un carreau.
    En comptant le nombre de carreaux situés entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$ et $x=7$ on obtient :
    Affirmation 4 : $25 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 31$
    $\quad$
  3. a. L’algorithme 1 affiche le plus petit entier naturel $N$ tel que la somme des $N+1$ termes de la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0=10$ et de raison $q=1,05$ soit inférieur à $50$.
    Affirmation 4 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $4$.
    $\quad$
    b. L’algorithme 2 affiche la somme des $5$ premiers termes de la suite géométrique définie dans la question précédente.
    Donc $S=10\times \dfrac{1-1,05^5}{1,05}\approx 55,26$
    Affirmation 2 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $55$ et $56$.
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. a. Chaque année $20\%$ des vélos sont devenus inutilisables. Cela signifie donc que $80\%$ des vélos de l’année précédente sont toujours utilisables, soit $0,8u_n$.
    $\quad$
    b. $u_1=200\times 0,8+30 = 190$
    Donc au $1\ier$ janvier 2018, $190$ vélos seront utilisables.
  2. a. Soit $n$ un entier naturel. $v_n=u_n-150 \ssi u_n=v_n+150$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-150 \\
    &=0,8u_n+30-150 \\
    &=0,8\left(v_n+150\right)-120\\
    &=0,8v_n+120-120\\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_o=200-150=50$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=50 \times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_n=v_n+150=50\times 0,8^n+150$.
    $\quad$
    d. On cherche le plus entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pp 160 &\ssi 50 \times 0,8^n + 150 \pp 160 \\
    &\ssi 50 \times 0,8^n \pp 10 \\
    &\ssi 0,8^n \pp 0,2 \\
    &\ssi n \ln(0,8) \pp \ln(0,2) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \\
    &\ssi n \pg 8
    \end{align*}$
    C’est donc en 2025 que le service de location s’arrêtera.
    $\quad$
  3. a. La première année, la subvention est de $200 \times 20 = 4~000$ euros.
    La deuxième année, la subvention est de $190 \times 20 = 3~800$ euros.
    La somme des subventions reçues pour les deux premières années s’élève donc bien à $7~800$ euros.
    $\quad$
    b. Voici le tableau des sommes perçues chaque année.
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Année}&\text{Nombre de vélos}&\text{Subvention}\\
    \hline
    2017&200&4~000\\
    \hline
    2018&190&3~800\\
    \hline
    2019&182&3~640\\
    \hline
    2020&176&3~520\\
    \hline
    2021&170&3~400\\
    \hline
    2022&166&3~320\\
    \hline
    2023&163&3~260\\
    \hline
    2024&160&3~200\\
    \hline
    2025&153&3~060\\
    \hline
    \end{array}$
    La somme totale perçue grâce à cette subvention est donc de $31~200$ euros.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

  1. Voici le graphe probabiliste représentant la situation.
  2. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1}=0,93a_n+0,01b_n\\b_{n+1}=0,07a_n+0,99b_n\end{cases}$.
    La matrice de transition est donc $T=\begin{pmatrix}0,93&0,01\\0,07&0,99\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. $R_1=R_0\times T=\begin{pmatrix}0,056&0,944\end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. En 2021, on calcule $R_4$.
    $R_4=R_0\times T^4\approx \begin{pmatrix}0,071&0,929\end{pmatrix}$
    $\quad$
  5. a. L’état stable vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1\\0,93x+0,01y=x\\0,07x+0,99y=y\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y=1 \\-0,07x+0,01y=0\\0,07x-0,01y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x+y=1\\-7x+y=0\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1\\-7x+y=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-y\\-7(1-y)+y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\-7+7y+y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\8y=7\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{7}{8} \\ x=\dfrac{1}{8} \end{cases}
    \end{align*}$
    L’état stable est donc $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{8}&\dfrac{7}{8}\end{pmatrix}$.
    $\quad$

Partie B

  1. Les sommets $A$, $B$, $D$ et $E$ sont de degré $3$.
    Plus de $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degré impair.
    Il n’existe donc pas de chaîne eulérienne.
    Le responsable ne peut pas planifier de parcours partant de son bureau jusqu’à la mairie en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin.
    $\quad$
  2. Utilisons l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    &6(A)&5(A)&2(A)&&&&D\\
    \hline
    &6(A)&4(D)&&11(D)&&&C\\
    \hline
    &6(A)&&&11(D)&&8(C)&B\\
    \hline
    &&&&11(D)&&8(C)&G\\
    \hline
    &&&&10(G)&15(F)&&E\\
    \hline
    &&&&&14(E)&&F\\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin le plus rapide est donc $A-D-C-G-E-F$ ($14$ minutes).
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. voir arbre en fin de partie.
    $\quad$
  2. $P(V\cap A)=0,5 \times 0,02 = 0,01$.
    Cela signifie donc que la probabilité que le coureur choisi ait choisi le parcours vert et ait abandonné est de $1\%$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(V)&=\dfrac{P(V\cap A)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,01}{0,032}\\
    &=0,312~5
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(A)=P(V\cap A)+P(B\cap A)+P(R\cap A)&\ssi 0,032=0,01+P(B\cap A)+0,2\times 0,05 \\
    &\ssi 0,032=P(B\cap A)+0,02\\
    &\ssi P(B\cap A)=0,012
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Ainsi :
    $\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(B\cap A)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{0,012}{0,2} \\
    &=0,04
    \end{align*}$

Partie B

  1. On sait que $P(\mu-\sigma \pp X\pp \mu+\sigma)\approx 0,68$.
    Donc $P(4\pp X\pp 8) \approx 0,68$.
    Sur le graphique 1, il semblerait que $P(4\pp X\pp 8) \approx 1$.
    Donc le graphique 2 représente la fonction de densité de la loi normale de paramètre $\mu=6$ et $\sigma=2$.
    $\quad$
  2. a. D’après la calculatrice $P(5 \pp X \pp 7)\approx 0,383$.
    $\quad$
    b. $P(X\pp 4) = 0,5-P(4\pp X \pp 6) \approx 0,159$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{0,2\e^{0,2x+1}\times x-\e^{0,2x+1}}{x^2} \\
    &-\dfrac{\e^{0,2x+1}(0,2x-1)}{x^2} \\
    &\dfrac{\e^{0,2x+1}(1-0,2x)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[1;25]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-0,2x$.
    $1-0,2x=0 \ssi 1=0,2x \ssi x=5$
    $1-0,2x>0 \ssi 1>0,2x \ssi 5>x$
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :

    Les valeurs étant arrondies au millième dans le tableau.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ admet environ $6,680$ comme minimum sur l’intervalle $[1;5]$.
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est continue et décroissante sur l’intervalle $[5;25]$.
    $f(5)\approx 8,522$ et $f(25) \approx -6,137$ donc $0\in \left[f(25);f(5)\right]$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[5;25]$.
    $\quad$
    c. À l’aide de la calculatrice, on obtient $21,95 < \alpha < 21,96$.
    $\quad$
    d. Sur l’intervalle $[1;25]$ le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ ne dépend que de celui de $-x^2+10x-50$ puisque la fonction exponentielle et la fonction cube sont positive sur cet intervalle.
    $\Delta = 10^2-4\times (-1)\times (-50) = -100<0$.
    Par conséquent $f^{\prime\prime}(x)<0$ sur l’intervalle $[1;25]$.
    Ainsi la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après le tableau de variation précédent, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=5$ et $f(5) \approx 8,522$.
    Le bénéfice maximal de cette société est donc de $8~522$ euros pour une production de $50$ tonnes.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[1;\alpha]$.
    Pour réaliser un bénéfice la société doit fabriquer au plus $212$ tonnes d’aliments.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier l’affirmation choisie.

  1. Des élections doivent se dérouler dans un certain pays. Deux candidats se présentent, le candidats A et le candidat B.
    Avant les élections, un organisme de sondage veut estimer la proportion d’électeurs qui voteront pour le candidat A. Pour cela il réalise un sondage auprès d’un échantillon de $1~050$ électeurs. Parmi eux, $504$ annoncent vouloir voter pour le candidat A et tous les autres pour le candidat B.
    Affirmation 1 : c’est certain, le candidat A va perdre l’élection.
    Affirmation 2 : le candidat A aura $48\%$ des voix le jour de l’élection.
    Affirmation 3 : la probabilité que le candidat A obtienne entre $44,91\%$ et $51,09\%$ des votes est d’environ $0,48$.
    Affirmation 4 : la probabilité que le candidat A obtienne entre $44,91\%$ et $51,09\%$ des votes est d’environ $0,95$.
    $\quad$
  2.  Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}_f$ d’ une fonction $f$ définie et continue sur l’intervalle $[0;7]$. Les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(2;5)$ et $B(4;6,8)$. La droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

    a.
    La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ admet pour équation :
    Affirmation 1 : $y=-0,9x+3,2$
    Affirmation 2 : $y=0,9x+3,5$
    Affirmation 3 : $y=0,9x+3,2$
    Affirmation 4 : $y=1,8x+3,2$
    $\quad$
    b. Affirmation 1 : $\ds f(0) \pp \int_0^5 f(x)\dx \pp f(5)$
    Affirmation 2 : $\ds 2 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 7$
    Affirmation 3 : $\ds 18 \pp \int_0^5 f(x)\dx \pp 19$
    Affirmation 4 : $\ds 25 \pp \int_2^7 f(x)\dx \pp 31$
    $\quad$
  3. On écrit les deux algorithmes suivants :
    $\begin{array}{ll}
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{Variables :}\\
    V \text{ est un nombre réel}\\
    S \text{ est un nombre réel}\\
    N \text{ est un entier naturel}\\
    \textbf{Traitement :}\\
    \text{Affecter la valeur }10\text{ à }V\\
    \text{Affecter la valeur }10\text{ à }S\\
    \text{Affecter la valeur }0\text{ à }N\\
    \text{Tant que }S\pp 50\\
    \hspace{0.5cm} V \text{ prend la valeur }1,05\times V\\
    \hspace{0.5cm} S \text{ prend la valeur }S+V\\
    \hspace{0.5cm} N \text{ prend la valeur }N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \textbf{Sortie :}\\
    \text{Afficher }N\\
    \hline
    \end{array}
    &
    \begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{Variables :}\\
    V \text{ est un nombre réel}\\
    S \text{ est un nombre réel}\\
    K \text{ est un entier naturel}\\
    \textbf{Traitement :}\\
    \text{Affecter la valeur }10\text{ à }V\\
    \text{Affecter la valeur }10\text{ à }S\\
    \text{Affecter la valeur }0\text{ à }N\\
    \text{Pour }K \text{ allant de }1\text{ à }4\\
    \hspace{0.5cm} V \text{ prend la valeur }1,05\times V\\
    \hspace{0.5cm} S \text{ prend la valeur }S+V\\
    \text{Fin Pour}\\
    \textbf{Sortie :}\\
    \text{Afficher }S\\
    \hline
    \end{array} \\
    \textbf{algorithme }1&\textbf{algorithme }2
    \end{array}$
    $\quad$
    a. Affirmation 1 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre $43$ et $44$.
    Affirmation 2 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre $53$ et $56$.
    Affirmation 3 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $3$
    Affirmation 4 : l’algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à $4$
    $\quad$
    b. Affirmation 1 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $43$ et $44$.
    Affirmation 2 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre $53$ et $56$.
    Affirmation 3 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à $3$
    Affirmation 4 : l’algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à $4$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Une petite ville dispose d’un service municipal de location de vélos. La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, $20\%$ des vélos sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui permet de racheter $30$ vélos par an.
Le $1\ier$ janvier 2017, le parc contient $200$ vélos utilisables.
On modélise l’évolution du nombre de vélos utilisables par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, un est le nombre de vélos le $1\ier$ janvier de l’année 2017+n.
Ainsi $u_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8\times u_n +30$.

  1. a. Justifier le coefficient $0,8$ dans l’expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    $\quad$
    b. Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au $1\ier$ janvier 2018?
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-150$ pour tout entier naturel $n$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=50\times 0,8n+150$.
    $\quad$
    d. La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à $160$.
    En quelle année le service de location s’arrêtera-t-il?
    $\quad$
  3. Pour l’aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu’elle est versée pour chaque année le $1\ier$ janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
    Cette subvention s’élève à $20$ euros par vélo disponible à la location.
    a. Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s’élève à $7~800$ euros.
    $\quad$
    b. Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du $1\ier$ janvier 2017 au $1\ier$ janvier 2025.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes

Partie A

Une petite ville dispose d’un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants.
Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.
Le $1\ier$ janvier 2017, la ville compte $5\%$ d’abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :

  • $93\%$ des abonnements sont renouvelés;
  • $1\%$ des habitants qui n’étaient pas abonnés l’année précédente souscrivent un abonnement.

On note $A$ l’état : “un habitant est abonné” et $P$ l’état : “un habitant n’est pas abonné”.
Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_n$ la probabilité qu’un habitant soit abonné l’année 2017$+n$ et $p_n$ la probabilité qu’un habitant ne soit pas abonné l’année 2017$+n$.
La matrice ligne $R_n =\begin{pmatrix}a_n& p_n\end{pmatrix}$ donne l’état probabiliste du nombre d’abonnés l’année 2017$+n$. Ainsi $R_0 = \begin{pmatrix}a_0 & p_0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0,05& 0,95\end{pmatrix}$.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $P$ où le sommet $A$ représente l’état “un habitant est abonné” et $P$ l’état “un habitant n’est pas abonné”.
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice de transition $T$ de ce graphe en respectant l’ordre $A$ puis $P$ des sommets.
    $\quad$
  3. Déterminer $R_1$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’état probabiliste en 2021.
    Les résultats seront arrondis au millième.
    $\quad$
  5. On admet qu’il existe un état stable $\begin{pmatrix} x&y\end{pmatrix}$.
    a. Justifier que $x$ et $y$ sont solutions du système : $\begin{cases} -7x+y=0\\x+y=1\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’état stable de ce graphe.
    $\quad$

Partie B

Le responsable du service de location souhaite vérifier l’état des pistes cyclables reliant les parkings à vélo de location disposés dans la ville. On modélise la disposition des lieux parle graphe étiqueté ci-dessous dont les sommets représentent les parkings à vélo. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, pour se rendre d’un parking à l’autre en suivant la piste cyclable.

  1. Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en $A$ jusqu’à la mairie située en $F$ en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin?
    $\quad$
  2. Le responsable est pressé. Déterminer le parcours le plus rapide possible permettant d’aller de $A$ à $F$.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Chaque année, les organisateurs d’une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.
Les organisateurs ont constaté que $50\%$ des coureurs choisissent le parcours vert, $30\%$ choisissent
le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.
Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que :

  • $3,2\%$ de l’ensemble des coureurs abandonnent la course;
  • $2\%$ des coureurs du parcours vert abandonnent la course;
  • $5\%$ des coureurs du parcours rouge abandonnent la course.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

Partie A

À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d’être choisis. On note :

  • $V$ l’événement “Le coureur a choisi le parcours vert”;
  • $B$ l’événement “Le coureur a choisi le parcours bleu”;
  • $R$ l’événement “Le coureur a choisi le parcours rouge”;
  • $A$ l’événement “Le coureur a abandonné la course”.
  1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré que l’on complétera au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité de l’événement $V\cap A$. Interpréter ce résultat dans le contexte de
    l’exercice.
    $\quad$
  3. Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi le parcours vert?
    $\quad$
  4. Démontrer que $P(B\cap A)=0,012$.
    $\quad$
  5. En déduire la probabilité $P_B(A)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

Le temps hebdomadaire d’entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale dont l’espérance est de $6$ heures et l’écart type est de $2$ heures.

  1. Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres $\mu=6$ et $\sigma =2$? Justifier la réponse.
  2. Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats au millième.
    a. Quelle est la probabilité d’interroger un coureur dont la durée d’entraînement est comprise entre $5$ h et $7$ h?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité d’interroger un coureur dont la durée d’entraînement est inférieure à $4$ h?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[1;25]$ par $f(x)=10-\dfrac{\e^{0,2x+1}}{x}$.
Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l’on pourra utiliser :
$\begin{array}{|lr|}
\hline
f(x):10-\e\wedge(0.2x+1)/x&\\
\hline
&x\to 10-\dfrac{\exp(0.2x+1)}{x}\\
\hline
\text{factoriser(deriver(}f(x)\text{))}&\\
\hline
&\dfrac{\exp(0.2x+1)*(1-0.2x)}{x^2}\\
\hline
\text{factoriser(deriver(deriver(}f(x)\text{)))}&\\
\hline
&\dfrac{\exp(0.2x+1)*\left(-x^2+10x-50\right)}{25x^3}\\
\hline
\end{array}$

  1. Retrouver par le calcul l’expression factorisée de $f'(x)$ ou $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur l’intervalle $[1;25]$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[1;25]$. On arrondira les valeurs au millième.
    $\quad$
  3. On s’intéresse à l’équation $f(x)=0$.
    a. Montrer que l’équation $f(x)=0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
    b. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[5;25]$.
    $\quad$
    c. Déterminer un encadrement d’amplitude $10^{-2}$ de la solution $\alpha$.
    $\quad$
    d. En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[1;25]$.
    $\quad$

Partie B

Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s’intéresse au bénéfice réalisé, en millier d’euros, correspondant à la production d’une quantité de $x$ dizaines de tonnes d’aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la partie A ci-dessus.
La production minimale est de $10$ tonnes, ainsi $x \pg 1$.
Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.

  1. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ?
    Pour quelle quantité d’aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
  2. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d’aliments qu’il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.
    $\quad$