Bac ES/L – Asie – juin 2017

Asie – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1

La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$F'(x)=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1=f(x)$
La fonction $F$ est donc bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
Affirmation 1 vraie

$\quad$

Affirmation 2

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
$f'(x)=\dfrac{1}{x} > 0$ sur $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
Affirmation 2 vraie

$\quad$

Affirmation 3

La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
$f(1)=1+\ln(1)=1<2$ et $f(10)=1+\ln(10)\approx 3,3>2$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=2$ possède une unique solution dans l’intervalle $[1;10]$.
Affirmation 3 vraie

$\quad$

Affirmation 4

La fonction inverse étant dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$, la fonction $f’$ est dérivable sur cet intervalle.
$f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ sur $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc concave.
Il n’existe donc pas de point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe $\mathcal{C}$.
Affirmation 4 fausse

Ex 2

Exercice 2

 Partie A

  1. $p(D\cap M)=0,57$ d’après le graphique.
    On a également $p(D)=0,57+0,28=0,85$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M(D)&=\dfrac{p(D\cap M)}{p(M)} \\
    &=\dfrac{0,57}{0,85} \\
    &=\dfrac{57}{85}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On appelle $I$ l’événement “la personne dispose d’une connexion internet”.
    D’après le graphique on a $p(I)=1-0,12=0,88$.
    $\quad$
  4. On a $p(M)=0,03+0,57=0,6$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{M}}\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{D}\cap \conj{D}\right)}{p\left(\conj{M}\right)}\\
    &=\dfrac{p\left( \conj{I}\right)}{p\left(\conj{M}\right)}\\
    &=\dfrac{0,12}{1-0,6}\\
    &=0,3
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. La population française est suffisamment importante pour qu’on considère qu’on  effectue $100$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    A chaque tirage, on a deux issues : $I$ et $\conj{I}$. De plus $p(I)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,85$.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice $p(X\pp 75)=0,006$
    Cela signifie qu’on est presque certain que plus de $75\%$ de la population française dispose d’un accès à internet fixe au domicile.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=100\pg 35$ et $p=0,85$ donc $np=85\pg 5$ et $n(1-p)=15\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{100}&=\left[0,85-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{100}};0,85+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{100}}\right] \\
    &\approx [0,780;0,920]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{76}{100}=0,76 \notin I_{100}$.
    On peut donc en déduire que ce village est “sous-équipé” en connexion internet fixe au domicile”.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est horizontale donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble être décroissante sur l’intervalle $[-3;-0,5]$ donc $f'(-2)<0$.
    $\quad$
  3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $\Delta$. Donc $f'(0)=0,5$.
    $\quad$
  4. Les tangentes à la courbe $C_f$ sur l’intervalle $[-0,5;0,5]$ semblent être sous la courbe(fonction convexe). Le point $A$ n’est donc pas un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
    $\quad$
  5. $\displaystyle \int_0^1 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    Ce domaine contient un rectangle de dimensions $1\times 3$ et est contenu dans un rectangle de dimensions $1\times 4$.
    Donc $\displaystyle  3\pp \int_0^1 f(x)\dx \pp 4$.
    $\quad$

Partie B

  1. On sait que $f(0)=3$
    Or $f(0)=c+5$
    Donc $c+5=3\ssi c=-2$
    $\quad$
  2. On sait que $f'(0)=0,5$
    Or $f'(0)=(-2+b)$
    Donc $-2+b=0,5 \ssi b=2,5$.
    On sait également que $f'(1)=0$
    Or $f'(1)=(a+2a+b-2+b)\e^1=(3a+2b-2)\e$
    Par conséquent $3a+2\times 2,5-2=0 \ssi 3a-3=0 \ssi a=1$
    $\quad$

Partie C

  1. $\begin{align*} f'(x)&=(-2x+2,5)\e^x+(-x^2+2,5x-2)\e^x \\
    &=(-2x+2,5-x^2+2,5x-2)\e^x \\
    &=(-x^2+0,5x+0,5)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+0,5x+0,5$.
    C’est un polynôme du second degré avec $a=-1$, $b=0,5$ et $c=0,5$
    $\Delta = b^2-4ac=2,25>0$
    Ce polynôme possède donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-0,5-\sqrt{2,25}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{-0,5+\sqrt{2,25}}{-2}=-0,5$
    Puisque $a=-1<0$ on obtient le tableau de signes et de variation suivant :

    Avec $f(-3) = -18,5\e^{-3}+5$
    $f(-0,5)=-3,5\e^{-0,5}+5$
    $f(1)=-0,5\e+5$
    $f(2)=-\e^2+5
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;2]$
    $f(1)=-0,5\e+5\approx 3,6>0$ et $f(2)=-\e^2+5\approx -2,4<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur $[1;2]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx 1,84$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. On obtient l’arbre suivant :
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+p\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,7p_n+0,2\left(1-p_n\right)\\
    &=0,5p_n+0,2
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $i_n=p_n-0,4$ donc $p_n=u_n+0,4$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,2-0,4\\
    &=0,5p_n-0,2\\
    &=0,5\left(u_n+0,4\right)-0,2\\
    &=0,5u_n+0,2-0,2\\
    &=0,5u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_1=0,2-0,4=-0,2$.
    $\quad$
    b. Ainsi $u_n=-0,2\times 0,5^{n-1}$ et $p_n=-0,2\times 0,5^{n-1}+0,4$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    $\quad$
    c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^{n-1}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0,4$.
    Cela signifie donc que sur le long terme, $40\%$ des élèves choisiront “Approfondissement”.
    $\quad$
  4. a. Voici les différents valeurs prises par $P$ au fil du temps.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    I&&2&3&4&5\\
    \hline
    P&0,2&0,3&0,35&0,375&0,387~5\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi l’algorithme affichera $0,387~5$.
    $\quad$
    b. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    Variable :
    $\quad$ $P$ est un nombre réel
    Initialisation :
    $\quad$ $P$ prend la valeur $0,2$
    Traitement :
    $\quad$ $\quad$ Tant que $I\pp 39,9$
    $\qquad$ $P$ prend la valeur $0,5P+0,2$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $P$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
    b.
    La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. a. $M^2=\begin{pmatrix}0,7^2+0,3\times 0,2&0,7\times 0,3+0,3\times 0,8\\0,2\times 0,7+0,2\times 0,8+0,2\times 0,3+0,8^2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0,55&0,45\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.
    Ainsi $P_3=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,35&0,65\end{pmatrix}$
    La probabilité que l’élève ait choisi “Approfondissement” lors de la troisième semaine est donc égale à $0,35$.
    $\quad$
    b. On cherche l’état stable $P=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} PM=P&\ssi \begin{cases} a+b=1\\0,7a+0,2b=a\\0,3a+0,8b=b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,3a+0,2b=0\\0,3a-0,2b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,3-0,3b-0,2b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,3=0,5b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=0,6\\a=0,4\end{cases}
    \end{align*}$
    À long terme, la probabilité qu’un élève choisisse “Approfondissement” est égale à $0,4$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$.
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,7a_n+0,2b_n\\
    &=0,7a_n+0,2\left(1-a_n\right) \\
    &=0,7a_n+0,2-0,2a_n\\
    &=0,5a_n+0,2
    \end{align*}$
  4. On cherche les entiers naturels $n$ tels que :
    $\begin{align*} 0,4-0,4\times 0,5^n>0,399 &\ssi -0,4\times 0,5^n>-0,001 \\
    &\ssi 0,5^n <0,002~5\\
    &\ssi n\ln(0,5)<\ln(0,002~5) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,002~5)}{\ln(0,5)}\\
    &\ssi n\pg 9
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $9$.
    $\quad$
  5. a. Variables
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $A$ est un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $1$
    $\quad$ Affecter à $A$ la valeur $0,2$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $A\pp 0,399$
    $\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $0,5\times A+0,2$
    $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, l’algorithme affiche $9$.
    Cela signifie qu’à partir de la $9^{\text{ème}}$ semaine plus de $39,9\%$ des élèves choisiront “Approfondissement”.
    $\quad$

Énoncé obl

Télécharger (PDF, Inconnu)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.

 

Énoncé spé

Télécharger (PDF, Inconnu)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.