Bac ES/L – Asie – juin 2017

Asie – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Affirmation 1

La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$F'(x)=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1=f(x)$
La fonction $F$ est donc bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
Affirmation 1 vraie

$\quad$

Affirmation 2

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
$f'(x)=\dfrac{1}{x} > 0$ sur $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
Affirmation 2 vraie

$\quad$

Affirmation 3

La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
$f(1)=1+\ln(1)=1<2$ et $f(10)=1+\ln(10)\approx 3,3>2$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=2$ possède une unique solution dans l’intervalle $[1;10]$.
Affirmation 3 vraie

$\quad$

Affirmation 4

La fonction inverse étant dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$, la fonction $f’$ est dérivable sur cet intervalle.
$f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ sur $]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc concave.
Il n’existe donc pas de point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe $\mathcal{C}$.
Affirmation 4 fausse

Ex 2

Exercice 2

 Partie A

  1. $p(D\cap M)=0,57$ d’après le graphique.
    On a également $p(D)=0,57+0,28=0,85$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M(D)&=\dfrac{p(D\cap M)}{p(M)} \\
    &=\dfrac{0,57}{0,85} \\
    &=\dfrac{57}{85}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On appelle $I$ l’événement “la personne dispose d’une connexion internet”.
    D’après le graphique on a $p(I)=1-0,12=0,88$.
    $\quad$
  4. On a $p(M)=0,03+0,57=0,6$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{M}}\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{D}\cap \conj{D}\right)}{p\left(\conj{M}\right)}\\
    &=\dfrac{p\left( \conj{I}\right)}{p\left(\conj{M}\right)}\\
    &=\dfrac{0,12}{1-0,6}\\
    &=0,3
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. La population française est suffisamment importante pour qu’on considère qu’on  effectue $100$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
    A chaque tirage, on a deux issues : $I$ et $\conj{I}$. De plus $p(I)=0,85$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,85$.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice $p(X\pp 75)=0,006$
    Cela signifie qu’on est presque certain que plus de $75\%$ de la population française dispose d’un accès à internet fixe au domicile.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=100\pg 35$ et $p=0,85$ donc $np=85\pg 5$ et $n(1-p)=15\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{100}&=\left[0,85-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{100}};0,85+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,85\times 0,15}{100}}\right] \\
    &\approx [0,780;0,920]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{76}{100}=0,76 \notin I_{100}$.
    On peut donc en déduire que ce village est “sous-équipé” en connexion internet fixe au domicile”.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est horizontale donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble être décroissante sur l’intervalle $[-3;-0,5]$ donc $f'(-2)<0$.
    $\quad$
  3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $\Delta$. Donc $f'(0)=0,5$.
    $\quad$
  4. Les tangentes à la courbe $C_f$ sur l’intervalle $[-0,5;0,5]$ semblent être sous la courbe(fonction convexe). Le point $A$ n’est donc pas un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
    $\quad$
  5. $\displaystyle \int_0^1 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    Ce domaine contient un rectangle de dimensions $1\times 3$ et est contenu dans un rectangle de dimensions $1\times 4$.
    Donc $\displaystyle  3\pp \int_0^1 f(x)\dx \pp 4$.
    $\quad$

Partie B

  1. On sait que $f(0)=3$
    Or $f(0)=c+5$
    Donc $c+5=3\ssi c=-2$
    $\quad$
  2. On sait que $f'(0)=0,5$
    Or $f'(0)=(-2+b)$
    Donc $-2+b=0,5 \ssi b=2,5$.
    On sait également que $f'(1)=0$
    Or $f'(1)=(a+2a+b-2+b)\e^1=(3a+2b-2)\e$
    Par conséquent $3a+2\times 2,5-2=0 \ssi 3a-3=0 \ssi a=1$
    $\quad$

Partie C

  1. $\begin{align*} f'(x)&=(-2x+2,5)\e^x+(-x^2+2,5x-2)\e^x \\
    &=(-2x+2,5-x^2+2,5x-2)\e^x \\
    &=(-x^2+0,5x+0,5)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+0,5x+0,5$.
    C’est un polynôme du second degré avec $a=-1$, $b=0,5$ et $c=0,5$
    $\Delta = b^2-4ac=2,25>0$
    Ce polynôme possède donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-0,5-\sqrt{2,25}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{-0,5+\sqrt{2,25}}{-2}=-0,5$
    Puisque $a=-1<0$ on obtient le tableau de signes et de variation suivant :

    Avec $f(-3) = -18,5\e^{-3}+5$
    $f(-0,5)=-3,5\e^{-0,5}+5$
    $f(1)=-0,5\e+5$
    $f(2)=-\e^2+5
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;2]$
    $f(1)=-0,5\e+5\approx 3,6>0$ et $f(2)=-\e^2+5\approx -2,4<0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur $[1;2]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx 1,84$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. On obtient l’arbre suivant :
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+p\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,7p_n+0,2\left(1-p_n\right)\\
    &=0,5p_n+0,2
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $i_n=p_n-0,4$ donc $p_n=u_n+0,4$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,4 \\
    &=0,5p_n+0,2-0,4\\
    &=0,5p_n-0,2\\
    &=0,5\left(u_n+0,4\right)-0,2\\
    &=0,5u_n+0,2-0,2\\
    &=0,5u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_1=0,2-0,4=-0,2$.
    $\quad$
    b. Ainsi $u_n=-0,2\times 0,5^{n-1}$ et $p_n=-0,2\times 0,5^{n-1}+0,4$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    $\quad$
    c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^{n-1}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0,4$.
    Cela signifie donc que sur le long terme, $40\%$ des élèves choisiront “Approfondissement”.
    $\quad$
  4. a. Voici les différents valeurs prises par $P$ au fil du temps.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    I&&2&3&4&5\\
    \hline
    P&0,2&0,3&0,35&0,375&0,387~5\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi l’algorithme affichera $0,387~5$.
    $\quad$
    b. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    Variable :
    $\quad$ $P$ est un nombre réel
    Initialisation :
    $\quad$ $P$ prend la valeur $0,2$
    Traitement :
    $\quad$ $\quad$ Tant que $I\pp 39,9$
    $\qquad$ $P$ prend la valeur $0,5P+0,2$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $P$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
    b.
    La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. a. $M^2=\begin{pmatrix}0,7^2+0,3\times 0,2&0,7\times 0,3+0,3\times 0,8\\0,2\times 0,7+0,2\times 0,8+0,2\times 0,3+0,8^2\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0,55&0,45\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.
    Ainsi $P_3=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,35&0,65\end{pmatrix}$
    La probabilité que l’élève ait choisi “Approfondissement” lors de la troisième semaine est donc égale à $0,35$.
    $\quad$
    b. On cherche l’état stable $P=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} PM=P&\ssi \begin{cases} a+b=1\\0,7a+0,2b=a\\0,3a+0,8b=b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,3a+0,2b=0\\0,3a-0,2b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,3-0,3b-0,2b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,3=0,5b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=0,6\\a=0,4\end{cases}
    \end{align*}$
    À long terme, la probabilité qu’un élève choisisse “Approfondissement” est égale à $0,4$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$.
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,7a_n+0,2b_n\\
    &=0,7a_n+0,2\left(1-a_n\right) \\
    &=0,7a_n+0,2-0,2a_n\\
    &=0,5a_n+0,2
    \end{align*}$
  4. On cherche les entiers naturels $n$ tels que :
    $\begin{align*} 0,4-0,4\times 0,5^n>0,399 &\ssi -0,4\times 0,5^n>-0,001 \\
    &\ssi 0,5^n <0,002~5\\
    &\ssi n\ln(0,5)<\ln(0,002~5) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,002~5)}{\ln(0,5)}\\
    &\ssi n\pg 9
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $9$.
    $\quad$
  5. a. Variables
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $A$ est un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $1$
    $\quad$ Affecter à $A$ la valeur $0,2$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $A\pp 0,399$
    $\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $0,5\times A+0,2$
    $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, l’algorithme affiche $9$.
    Cela signifie qu’à partir de la $9^{\text{ème}}$ semaine plus de $39,9\%$ des élèves choisiront “Approfondissement”.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ par : $f(x) = 1 + \ln (x)$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Affirmation 1

On note $F$ la primitive sur $]0;+\infty[$ de la fonction $f$ qui vérifie $F(1) = 0$.
Pour tout réel $x$ strictement positif, $F(x) = x\ln (x)$.
$\quad$

Affirmation 2

La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~;~+\infty[$.
$\quad$

Affirmation 3

L’équation $f(x) = 2$ possède exactement une solution dans l’intervalle $[1;10]$.
$\quad$

Affirmation 4

Il existe au moins un point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe $\mathcal{C}$.
$\quad$

Exercice 2    5 points

Le graphique suivant indique le type de connexion à internet dont disposent les Français âgés de plus de 12 ans en juin 2016.

On choisit au hasard une personne âgée de plus de 12 ans dans la population française.
On note $D$ l’événement “la personne dispose d’une connexion internet fixe au domicile”.
On note $M$ l’événement “la personne dispose d’une connexion internet en mobilité”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ sachant que l’événement $F$ est réalisé. On note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

Partie A

  1. Donner sans justification $p(D \cap M)$, puis justifier que $p(D) = 0,85$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que la personne dispose d’une connexion internet fixe au domicile sachant qu’elle dispose d’une connexion internet en mobilité.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement “la personne dispose d’une connexion internet”.
    $\quad$
  4. Calculer $p_{\conj{M}}\left(\conj{D}\right)$.
    $\quad$

Partie B

On interroge un échantillon aléatoire de 100 personnes dans la population française.
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre de personnes ayant une connexion internet fixe au domicile.

  1. Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(X \pp 75)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie C

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon de taille $100$.
    $\quad$
  2. Une enquête sur les usages du numérique, menée en juin 2016 auprès des habitants d’un petit village de montagne, amène au constat suivant : parmi les $100$ habitants de plus de 12 ans de ce village, $76$ d’entre eux disposent d’une connexion internet fixe au domicile.
    Que peut-on penser de l’équipement en connexion internet fixe au domicile dans ce village ?
    $\quad$

Exercice 3    6 points

Partie A

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-3;2]$. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
$B$ est le point d’abscisse $1$ appartenant à la courbe $\mathcal{C}_f$.

On dispose des informations suivantes :

  • la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-3;-0,5]$ et $[1;2]$ et elle est strictement croissante sur $[-0,5;1]$ ;
  • la droite $\Delta$ d’équation $y = 0,5x+3$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$;
  • la tangente $\Delta’$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ est parallèle à l’axe des abscisses.

Chaque réponse devra être justifiée.

  1. Donner la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  2. Quel est le signe de $f'(- 2)$ ?
    $\quad$
  3. Donner la valeur de $f'(0)$.
    $\quad$
  4. Le point $A$ est-il un point d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
    $\quad$
  5. Déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de $\ds\int_0^1 f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie B

On admet qu’il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ pour lesquels la fonction $f$ représentée dans la partie A est définie, pour tout réel $x$ de $[-3;2]$, par : $$f(x) = \left(ax^2+bx+c\right)\e^x + 5$$

  1. En utilisant l’un des points du graphique, justifier que $c =-2$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction dérivée $f’$ est donnée, pour tout réel $x$ de $[-3;2]$, par : $$f'(x) = \left(ax^2+(2a+b)x-2+b\right)\e^x$$
    En utilisant les résultats de la partie A, justifier que $b = 2,5$ puis que $a = -1$.
    $\quad$

Partie C

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[-3;2]$ par $$f(x) = \left(-x^2+2,5x-2\right)\e^x+5$$

  1. Vérifier que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-3;2]$ $$f'(x) = \left(-x^2+0,5x+0,5\right)\e^x$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-3;2]$.
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;2]$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Pour l’année scolaire, un professeur de mathématiques propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d’accompagnement : “Approfondissement” ou “Ouverture culturelle”.

Chaque semaine, un élève doit s’inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.

La première semaine, $20\%$ des élèves de la classe ont choisi “Approfondissement” et tous les autres ont choisi “Ouverture culturelle”. On admet que

  • $20\%$ des élèves ayant choisi “Ouverture culturelle” une certaine semaine s’inscrivent en “Approfondissement” la semaine suivante ;
  • $30\%$ des élèves ayant choisi “Approfondissement” une certaine semaine s’inscrivent en “Ouverture culturelle” la semaine suivante.

On s’intéresse à l’évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d’accompagnement au fil des semaines. Chaque semaine, on interroge au hasard un élève de la classe.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $A_n$ l’événement “l’élève a choisi “Approfondissement” la $n$-ième semaine” et $p_n$ la probabilité de l’événement $A_n$. On a alors $p_1 = 0,2$.

  1. Recopier l’arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n+0,2$.
    $\quad$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $$u_n = p_n-0,4$$
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de son premier terme $u_1$.
    $\quad$
    b. En déduire pour tout entier naturel $n$ l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis l’expression de $p_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \textbf{Variables} & I \text{ et } N \text{ sont des entiers naturels strictement supérieurs à }1\\
    &P \text{ est un nombre réel}\\
    \hline
    \textbf{Entrée} &\text{Saisir } N\\
    \hline
    \textbf{Initialisation}& P \text{ prend la valeur } 0,2\\
    \hline
    \textbf{Traitement} &\text{Pour } I \text{ allant de } 2 \text{ à  }N :\\
    &\quad P \text{ prend la valeur } 0,5P+0,2\\
    &\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \textbf{Sortie}& \text{Afficher } P\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    a. Écrire ce qu’affiche cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur $N = 5$.
    $\quad$
    b. Modifier l’algorithme afin qu’il affiche le numéro de la première semaine pour laquelle le pourcentage des élèves de la classe ayant choisi “Approfondissement” dépasse $39,9$.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour l’année scolaire, un professeur propose aux élèves de sa classe le choix entre deux types d’accompagnement: “Approfondissement” ou “Ouverture culturelle”.
Chaque semaine, un élève doit s’inscrire dans un et un seul des deux accompagnements proposés.
La première semaine, $20\%$ des élèves de la classe ont choisi “Approfondissement” et tous les autres ont choisi “Ouverture culturelle”. On admet que, chaque semaine,

  • $20\%$ des élèves ayant choisi “Ouverture culturelle” une certaine semaine s’inscrivent en “Approfondissement” la semaine suivante;
  • $30\%$ des élèves ayant choisi “Approfondissement” une certaine semaine s’inscrivent en “Ouverture culturelle” la semaine suivante.

On s’intéresse à l’évolution de la répartition des élèves de cette classe entre les deux types d’accompagnement au fil des semaines.
On interroge au hasard un élève de la classe et on suit son choix d’option au fil des semaines.

  1. On note $A$ l’état “L’élève a choisi Approfondissement” et $B$ l’état “L’élève a choisi Ouverture culturelle”.
    a. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
    $\quad$
    b. Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. On note $P_1$ la matrice traduisant l’état probabiliste de la première semaine. Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}0,2& 0,8\end{pmatrix}$.
    a. Donner la matrice $M^2$ puis déterminer la probabilité que l’élève ait choisi “Approfondissement” lors de la troisième semaine.
    $\quad$
    b. À long terme, quelle est la probabilité qu’un élève choisisse “Approfondissement” ?
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel non nul $n$ on note:
    $\bullet$ $a_n$ la probabilité que l’élève interrogé ait choisi “Approfondissement” lors de la $n$-ième semaine,
    $\bullet$ $b_n$ la probabilité que l’élève interrogé ait choisi “Ouverture culturelle” lors de la $n$-ième semaine.
    Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,2$.
    $\quad$
  4. On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $a_n = 0,4-0,4 \times 0,5^n$.
    Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation suivante : $$0,4-0,4 \times 0,5^n > 0,399$$
    $\quad$
  5. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n > 0,399$.
    $\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \textbf{Variables} &N \text{ est un entier naturel}\\
    &A \text{ est un nombre réel}\\
    \hline
    \textbf{Initialisation}& \text{Affecter à } N \text{ la valeur } 1\\
    &\text{Affecter à } A \text{ la valeur } 0,2\\
    \hline
    \textbf{Traitement} &\ldots\ldots\\
    &\quad \begin{array}{|l}
    \text{Affecter à } A \text{ la valeur } 0,5\times A+0,2\\
    \ldots\ldots\dots  \\
    \end{array}\\
    &\quad~ \ldots \ldots\\
    \hline
    \textbf{Sortie}& \text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme en sortie ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$