Bac ES/L – Centres étrangers – juin 2017

Centres étrangers – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[1;9]$.
    Alors :
    $p(1<X<9)=1$
    $p(5<X<9)=\dfrac{9-5}{9-1}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
    $p(1<X<3)=\dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
    $p(1<X<2)=\dfrac{2-1}{9-1}=\dfrac{1}{8}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est du type $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    L’amplitude de cet intervalle est :
    $\begin{align*} A&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
    \end{align*}$
    On veut donc :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,01 &\ssi \dfrac{2}{0,01}=\sqrt{n} \\
    &\ssi \sqrt{n}=200 \\
    &\ssi n=40~000
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. $4^{23} \approx 7,04 \times 10^{13}$
    $1,2^{23} \approx 66,25$
    $\left(\e^{\frac{\ln(92)}{23}}\right)^{23}=\e^{\ln(92)}=92$
    $\left(\e^{\frac{\ln(23)}{92}}\right)^{23}=\approx 2,19$
    Réponse c
    $\quad$
  4. $I$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-5$ et $x=3$.
    Ce domaine contient donc un rectangle dont les dimensions sont $2$ et $3-(-5)=8$ (et l’aire est $2\times 8=16$).
    Ce même domaine est contenu dans un rectangle dont les dimensions sont $4$ et $3-(-5)=8$ (et l’aire est $4\times 8=32$).
    Par conséquent $16 \pp I \pp 32$.
    réponse c
    $\quad$

 

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-20;20]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\e^{0,2x-3}+(-2x+30)\times 0,2\e^{0,2x-3} \\
    &=\left(-2+0,2(-2x+30)\right)\e^{0,2x-3} \\
    &=(-2-0,4x+6)\e^{0,2x-3}\\
    &=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-0,4x+4)$.
    $-0,4x+4=0 \ssi -0,4x=-4 \ssi x=10$
    $-0,4x+4 \pg 0 \ssi -0,4x \pg -4 \ssi x \pp 10$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(-20)=70\e^{-7}$
    $f(10)=10\e^{-1}$
    $f(20)=-10\e$
    $\quad$
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est donc $10\e^{-1}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(-20)=70\e^{-7}>0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-20;10]$. Par conséquent $f(x)\pg f(-20)>0$ sur cet intervalle et l’équation $f(x)=-2$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[-20;10]$.
    La fonction $f$ est strictement décroissante et continue sur l’intervalle $[10;20]$.
    $f(10)>-2$ et $f(20) \approx -27,2<-2$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=-2$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[10;20]$.
    Par conséquent, l’équation $f(x)=-2$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-20;20]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $15,8< \alpha < 15,9$.
    $\quad$
  3. a. D’après les résultats fournis, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=(-10x+200)\e^{0,2x-3}$
    $\begin{align*} \displaystyle \int_{10}^{15}f(x)\dx &=F(15)-F(10) \\
    &=50-100\e^{-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après les résultats fournis on a $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent :
    $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x) \pg 0 &\ssi -0,08x+0,4 \pg 0 \\
    &\ssi -0,08x \pg -0,4 \\
    &\ssi  x \pp 5
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-20;5]$ et concave sur l’intervalle $[5;20]$.
    L’abscisse du point d’inflexion est par conséquent $5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Le dénivelé est donc :
    $\begin{align*} d&=f(10)-f(0) \\
    &=10\e^{-1}-30\e^{-3} \\
    &\approx 2,185 \text{km}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $f'(x)=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ et $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    A l’aide de la question on peut construire le tableau de variation de la fonction $f’$ suivant :

    Or $f'(5)=2\e^{-2} \approx 0,27$.
    La pente maximale est donc d’environ $27\%$.
    Ainsi une portion de la pente a une pente strictement compris entre $25\%$ et $40\%$ et aucune portion n’a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    La piste sera donc classée rouge.
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. $10\%$ de la superficie de terrain envahi à été arrachée. Il en reste donc $90\%$ soit $120\times 0,9 = 108$ m$^2$.
    Les pousses ont envahi $4$ m$^2$ sur une nouvelle parcelle de terrain.
    Donc, au 1er janvier 2018, cette plante a envahi $108+4=112$ m$^2$.
    $\quad$
  2. L1 : $U$ prend la valeur $120$
    L3 : Tant que $U>60$
    L4 : $\quad$ $U$ prend la valeur $0,9 \times U+4$
    L7 : Afficher $2017+N$
    $\quad$
  3. a. On a $v_n=u_n-40$ donc $u_n=v_n+40$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-40 \\
    &=0,9u_n+4-40\\
    &=0,9u_n-36\\
    &=0,9\left(v_n+40\right)-36 \\
    &=0,9v_n+36-36\\
    &=0,9v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=120-40=80$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=80\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. De plus $u_n=v_n+40=80\times 0,9^n+40$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  4. a. $n$  est un entier naturel.
    $\begin{align*} 80\times 0,9^n+40 \pp 60 &\ssi 80\times 0,9^n \pp 20 \\
    &\ssi 0,9^n \pp 0,25 \\
    &\ssi n\ln(0,9) \pp \ln(0,25) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)} \\
    &\ssi n \pg 14
    \end{align*}$
    La solution dans l’ensemble des entiers naturels de l’inéquation $80\times 0,9^n+40\pp 60$ est l’ensemble des nombres entiers supérieurs ou égaux à $14$.
    $\quad$
    b. $2017+14=2031$
    C’est donc en 2031 que la superficie envahi par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1er janvier 2017.
    $\quad$
  5. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=40$.
    Au bout d’un grand nombre d’années la superficie envahie par cette plante sera de $40$ m$^2$.
    Le jardinier n’arrivera donc pas à faire disparaître complètement la plante de son terrain.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
    b. La matrice de transition associée à ce graphe est $M=\begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,03&0,97\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P_1&=P_0\times M \\
    &=\begin{pmatrix}0,65&0,35\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,03&0,97\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,95\times 0,65+0,03\times 0,35&0,05\times 0,65+0,97\times 0,35 \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,628&0,372\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. et b. L’état stable $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=P\times M\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} a=0,95a+0,03b\\b=0,05a+0,97b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,05a+0,03b=0\\0,05a-0,03b=0\\a=1-b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,05(1-b)+0,03b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,05+0,05b+0,03b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,08b=0,05 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,625\\a=0,375\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix}0,375&0,625\end{pmatrix}$
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que sur le long terme, le candidat B obtiendra $62,5\%$ des voix et le candidat A $37,5\%$ des voix.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Or :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,95a_n+0,03b_n \\
    &=0,95a_n+0,03\left(1-a_n\right) \\
    &=0,95a_n+0,03-0,03a_n \\
    &=0,92a_n+0,03
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=a_n-0,375$ soit $a_n=v_n+0,375$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-0,375 \\
    &=0,92a_n+0,03-0,375 \\
    &=0,92a_n-0,345 \\
    &=0,92\left(v_n+0,375\right)-0,345 \\
    &=0,92v_n+0,345-0,345\\
    &=0,92v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $v_0=0,65-0,375=0,275$.
    $\quad$
    c. On en déduit donc que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=0,275\times 0,92^n$.
    Par conséquent $u_n=v_n+0,375=0,275\times 0,92^n+0,375$.
    $\quad$
  5. On a $a_{11}=0,275\times 0,92^{11}+0,375\approx 0,48<0,5$.
    C’est donc le candidat $B$ qui sera probablement élu.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. $p(A\cap E)=0,4\times 0,4=0,16$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap E)+p(B \cap E)+p(C \cap E) \\
    &=0,16+0,35\times 0,3 +0,25\times 0,5 \\
    &=0,39
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_E(C)&=\dfrac{p(E\cap C)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,5}{0,39} \\
    &=\dfrac{25}{79} \\
    &\approx 0,32
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. La recette journalière est donc :
    $\begin{align*} R&=200\times (15\times 0,6\times 0,4+25\times 0,4\times 0,4 \\
    &+10\times 0,35\times 0,7+16\times 0,35\times 0,3\\
    &35\times 0,25\times 0,5+60\times 0,25\times 0,5) \\
    &=200\times 23,605 \\
    &=4~721
    \end{align*}$
    La base nautique peut donc espérer une recette journalière de $4~721$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. A l’aide de la calculatrice, on trouve $p(490<X<520)\approx 0,819$
    $\quad$
  2. $8$ h $=480$ min.
    $\begin{align*} p(X<480)&=0,5-p(480<X<500) \\
    &\approx 0,023
    \end{align*}$
    La probabilité que la batterie d’un bateau soit déchargée avant la fin de la journée est d’ environ $2,3\%$.
    $\quad$
  3. A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on détermine la valeur de $a$ telle que $p(X<a) \approx 0,01$.
    On obtient $a\approx 477$
    Cela signifie que la probabilité que batterie d’un bateau soit déchargée avant $477$ minutes d’utilisation est d’environ $1\%$.
    $\quad$

Énoncé

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