Bac ES/L – Centres étrangers – juin 2017

Centres étrangers – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[1;9]$.
    Alors :
    $p(1<X<9)=1$
    $p(5<X<9)=\dfrac{9-5}{9-1}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
    $p(1<X<3)=\dfrac{3-1}{9-1}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
    $p(1<X<2)=\dfrac{2-1}{9-1}=\dfrac{1}{8}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est du type $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
    L’amplitude de cet intervalle est :
    $\begin{align*} A&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
    &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
    \end{align*}$
    On veut donc :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,01 &\ssi \dfrac{2}{0,01}=\sqrt{n} \\
    &\ssi \sqrt{n}=200 \\
    &\ssi n=40~000
    \end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. $4^{23} \approx 7,04 \times 10^{13}$
    $1,2^{23} \approx 66,25$
    $\left(\e^{\frac{\ln(92)}{23}}\right)^{23}=\e^{\ln(92)}=92$
    $\left(\e^{\frac{\ln(23)}{92}}\right)^{23}=\approx 2,19$
    Réponse c
    $\quad$
  4. $I$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-5$ et $x=3$.
    Ce domaine contient donc un rectangle dont les dimensions sont $2$ et $3-(-5)=8$ (et l’aire est $2\times 8=16$).
    Ce même domaine est contenu dans un rectangle dont les dimensions sont $4$ et $3-(-5)=8$ (et l’aire est $4\times 8=32$).
    Par conséquent $16 \pp I \pp 32$.
    réponse c
    $\quad$

 

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-20;20]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\e^{0,2x-3}+(-2x+30)\times 0,2\e^{0,2x-3} \\
    &=\left(-2+0,2(-2x+30)\right)\e^{0,2x-3} \\
    &=(-2-0,4x+6)\e^{0,2x-3}\\
    &=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(-0,4x+4)$.
    $-0,4x+4=0 \ssi -0,4x=-4 \ssi x=10$
    $-0,4x+4 \pg 0 \ssi -0,4x \pg -4 \ssi x \pp 10$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(-20)=70\e^{-7}$
    $f(10)=10\e^{-1}$
    $f(20)=-10\e$
    $\quad$
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est donc $10\e^{-1}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(-20)=70\e^{-7}>0$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[-20;10]$. Par conséquent $f(x)\pg f(-20)>0$ sur cet intervalle et l’équation $f(x)=-2$ ne possède pas de solution sur l’intervalle $[-20;10]$.
    La fonction $f$ est strictement décroissante et continue sur l’intervalle $[10;20]$.
    $f(10)>-2$ et $f(20) \approx -27,2<-2$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=-2$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[10;20]$.
    Par conséquent, l’équation $f(x)=-2$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-20;20]$.
    $\quad$
    b. A l’aide de la calculatrice, on trouve $15,8< \alpha < 15,9$.
    $\quad$
  3. a. D’après les résultats fournis, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-20;20]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=(-10x+200)\e^{0,2x-3}$
    $\begin{align*} \displaystyle \int_{10}^{15}f(x)\dx &=F(15)-F(10) \\
    &=50-100\e^{-1}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après les résultats fournis on a $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent :
    $\begin{align*} f^{\prime\prime}(x) \pg 0 &\ssi -0,08x+0,4 \pg 0 \\
    &\ssi -0,08x \pg -0,4 \\
    &\ssi  x \pp 5
    \end{align*}$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[-20;5]$ et concave sur l’intervalle $[5;20]$.
    L’abscisse du point d’inflexion est par conséquent $5$.
    $\quad$

Partie B

  1. Le dénivelé est donc :
    $\begin{align*} d&=f(10)-f(0) \\
    &=10\e^{-1}-30\e^{-3} \\
    &\approx 2,185 \text{km}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $f'(x)=(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ et $f^{\prime\prime}(x)=(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}$
    A l’aide de la question on peut construire le tableau de variation de la fonction $f’$ suivant :

    Or $f'(5)=2\e^{-2} \approx 0,27$.
    La pente maximale est donc d’environ $27\%$.
    Ainsi une portion de la pente a une pente strictement compris entre $25\%$ et $40\%$ et aucune portion n’a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    La piste sera donc classée rouge.
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. $10\%$ de la superficie de terrain envahi à été arrachée. Il en reste donc $90\%$ soit $120\times 0,9 = 108$ m$^2$.
    Les pousses ont envahi $4$ m$^2$ sur une nouvelle parcelle de terrain.
    Donc, au 1er janvier 2018, cette plante a envahi $108+4=112$ m$^2$.
    $\quad$
  2. L1 : $U$ prend la valeur $120$
    L3 : Tant que $U>60$
    L4 : $\quad$ $U$ prend la valeur $0,9 \times U+4$
    L7 : Afficher $2017+N$
    $\quad$
  3. a. On a $v_n=u_n-40$ donc $u_n=v_n+40$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-40 \\
    &=0,9u_n+4-40\\
    &=0,9u_n-36\\
    &=0,9\left(v_n+40\right)-36 \\
    &=0,9v_n+36-36\\
    &=0,9v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=120-40=80$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=80\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. De plus $u_n=v_n+40=80\times 0,9^n+40$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  4. a. $n$  est un entier naturel.
    $\begin{align*} 80\times 0,9^n+40 \pp 60 &\ssi 80\times 0,9^n \pp 20 \\
    &\ssi 0,9^n \pp 0,25 \\
    &\ssi n\ln(0,9) \pp \ln(0,25) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)} \\
    &\ssi n \pg 14
    \end{align*}$
    La solution dans l’ensemble des entiers naturels de l’inéquation $80\times 0,9^n+40\pp 60$ est l’ensemble des nombres entiers supérieurs ou égaux à $14$.
    $\quad$
    b. $2017+14=2031$
    C’est donc en 2031 que la superficie envahi par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1er janvier 2017.
    $\quad$
  5. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=40$.
    Au bout d’un grand nombre d’années la superficie envahie par cette plante sera de $40$ m$^2$.
    Le jardinier n’arrivera donc pas à faire disparaître complètement la plante de son terrain.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient le graphe probabiliste suivant :
    $\quad$
    b. La matrice de transition associée à ce graphe est $M=\begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,03&0,97\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P_1&=P_0\times M \\
    &=\begin{pmatrix}0,65&0,35\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,03&0,97\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,95\times 0,65+0,03\times 0,35&0,05\times 0,65+0,97\times 0,35 \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 0,628&0,372\end{pmatrix}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. et b. L’état stable $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=P\times M\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} a=0,95a+0,03b\\b=0,05a+0,97b\\a+b=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} -0,05a+0,03b=0\\0,05a-0,03b=0\\a=1-b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,05(1-b)+0,03b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,05+0,05b+0,03b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}a=1-b\\0,08b=0,05 \end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} b=0,625\\a=0,375\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix}0,375&0,625\end{pmatrix}$
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que sur le long terme, le candidat B obtiendra $62,5\%$ des voix et le candidat A $37,5\%$ des voix.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n=1$ soit $b_n=1-a_n$.
    Or :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,95a_n+0,03b_n \\
    &=0,95a_n+0,03\left(1-a_n\right) \\
    &=0,95a_n+0,03-0,03a_n \\
    &=0,92a_n+0,03
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=a_n-0,375$ soit $a_n=v_n+0,375$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-0,375 \\
    &=0,92a_n+0,03-0,375 \\
    &=0,92a_n-0,345 \\
    &=0,92\left(v_n+0,375\right)-0,345 \\
    &=0,92v_n+0,345-0,345\\
    &=0,92v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $v_0=0,65-0,375=0,275$.
    $\quad$
    c. On en déduit donc que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=0,275\times 0,92^n$.
    Par conséquent $u_n=v_n+0,375=0,275\times 0,92^n+0,375$.
    $\quad$
  5. On a $a_{11}=0,275\times 0,92^{11}+0,375\approx 0,48<0,5$.
    C’est donc le candidat $B$ qui sera probablement élu.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. $p(A\cap E)=0,4\times 0,4=0,16$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap E)+p(B \cap E)+p(C \cap E) \\
    &=0,16+0,35\times 0,3 +0,25\times 0,5 \\
    &=0,39
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_E(C)&=\dfrac{p(E\cap C)}{p(E)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,5}{0,39} \\
    &=\dfrac{25}{79} \\
    &\approx 0,32
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. La recette journalière est donc :
    $\begin{align*} R&=200\times (15\times 0,6\times 0,4+25\times 0,4\times 0,4 \\
    &+10\times 0,35\times 0,7+16\times 0,35\times 0,3\\
    &35\times 0,25\times 0,5+60\times 0,25\times 0,5) \\
    &=200\times 23,605 \\
    &=4~721
    \end{align*}$
    La base nautique peut donc espérer une recette journalière de $4~721$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. A l’aide de la calculatrice, on trouve $p(490<X<520)\approx 0,819$
    $\quad$
  2. $8$ h $=480$ min.
    $\begin{align*} p(X<480)&=0,5-p(480<X<500) \\
    &\approx 0,023
    \end{align*}$
    La probabilité que la batterie d’un bateau soit déchargée avant la fin de la journée est d’ environ $2,3\%$.
    $\quad$
  3. A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice, on détermine la valeur de $a$ telle que $p(X<a) \approx 0,01$.
    On obtient $a\approx 477$
    Cela signifie que la probabilité que batterie d’un bateau soit déchargée avant $477$ minutes d’utilisation est d’environ $1\%$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[1;9]$, alors:
    a. $p(1 < X < 9) = \dfrac{1}{8}$
    b. $p(5 < X < 9) = \dfrac{1}{2}$
    c. $p(1 < X < 3) = \dfrac{3}{8}$
    d. $p(1 < X < 2) = \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  2. Une enquête sanitaire a pour objectif d’estimer la proportion de personnes qui respectent le calendrier de vaccinations préconisé par le Haut Conseil de la Santé Publique. Pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude $0,01$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, il faut interroger :
    a. $200$ personnes
    b. $400$ personnes
    c. $10~000$ personnes
    d. $40~000$ personnes
    $\quad$
  3. La solution de l’équation $x^{23} = 92$ est égale à :
    a. $4$
    b. $1,2$
    c. $\e^{\frac{\ln(92)}{23}}$
    d. $\e^{\frac{\ln(23)}{92}}$
    $\quad$
  4. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous:

    On note $I = \displaystyle\int_{-5}^3 g(x)\dx$. On peut affirmer que :
    a. $-5 \pp I \pp 3$
    b. $2 \pp I \pp 4$
    c. $16 \pp I \pp 32$
    d. $4\pp I \pp 8$
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-20;20]$ par $f(x) = (-2x+30)\e^{0,2x-3}$.

  1. a. Montrer que $f’ (x) = (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[- 20;20]$.
    $\quad$
    b. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- 20; 20]$ .
    On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, sur l’intervalle $[-20;20]$, l’équation $f(x) = – 2$ admet une unique solution $\alpha$.
    $\quad$
    b. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous:
    $\begin{array}{|c|lr|}
    \hline
    1 &\text{Dériver } (-10x+200)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-2x+30)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    2 &\text{Dériver } (-2x+30)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,4x+4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    3 &\text{Dériver } (-0,4x+4)\e^{0,2x-3}&\\
    & &(-0,08x+0,4)\e^{0,2x-3}\\
    \hline
    \end{array}$
    Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:
    a. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x)\dx$.
    $\quad$
    b. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l’abscisse du point d’inflexion.
    $\quad$

Partie B

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l’intervalle $[0;10]$. Le point $B$ représente le départ de la nouvelle piste et le point $A$ représente la station de ski où se trouve l’arrivée.

 


Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l’altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de $15\%$ en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$.

  1. On appelle dénivelé d’une piste de ski, la différence d’altitude entre le point de départ et le point d’arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.
    $\quad$
  2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.
    $\bullet$ La piste sera classée noire, c’est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à $40\%$.
    $\bullet$ La piste sera classée rouge, c’est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre $25\%$ et $40\%$ (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à $40\%$).
    $\bullet$ Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à $25\%$ alors la piste sera classée bleue, c’est-à-dire facile.
    Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive.
Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de $120$ m$^2$ au 1$^{\text{er}}$ janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de $10\%$ la superficie de terrain envahi l’année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d’une superficie de $4$ m$^2$.

  1. Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1$^{\text{er}}$ janvier 2018.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la superficie de terrain en m$^2$ envahi par la Renouée du Japon au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année $2017 + n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0 = 120$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n + 1} = 0,9u_n+4$.

  1. Le jardinier souhaite connaître l’année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année 2017.
    Recopier et compléter les lignes $\text{L}1$, $\text{L}3$, $\text{L}4$ et $\text{L}7$ de l’algorithme suivant afin qu’il détermine l’année souhaitée.
    On ne demande pas de faire fonctionner l’ algorithme.
    $\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \text{L}1&U \text{ prend la valeur } \ldots\\
    \text{L}2 &N\text{ prend la valeur } 0 \\
    \text{L}3 &\text{Tant que } \ldots\ldots\ldots\\
    \text{L}4 & \quad U \text{ prend la valeur }\ldots\ldots\ldots\\
    \text{L}5 &\quad N \text{ prend la valeur } N+1\\
    \text{L}6 &\text{Fin tant que} \\
    \text{L}7 &\text{Afficher } \ldots\ldots\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n-40$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,9$ et préciser le premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Justifier que $u_n = 80 \times 0,9^n+40$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $80\times 0,9^n+40 \pp 60$.
    $\quad$
    b. En déduire l’année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1$^{\text{er}}$ janvier de l’année 2017 .
    $\quad$
  4. Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat à l’élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter à cette élection et ils ont le choix entre deux candidats A et B.
Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d’avis.
Un institut de sondage consulte chaque mois le même échantillon d’adhérents et recueille leurs intentions de vote.
Il observe que l’évolution de l’état de l’opinion peut être modélisée de la façon suivante.
Chaque mois :

  • $5\%$ des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d’avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B.
  • $3\%$ des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A.

Au début de la campagne électorale, $65\%$ des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets $A$ et $B$ où :

  • $A$ est l’événement : “l’adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A” ;
  • $B$ est l’événement : “l’adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B”.

Dans la suite de l’exercice, on note:

  • $a_n$ la probabilité qu’un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A, le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $a_0 = 0,65$ .
  • $b_n$ la probabilité qu’un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B, le $n$-ième mois après le début de la campagne.

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ l’état probabiliste correspondant aux intentions de vote le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$.

  1. a. Dessiner le graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B.
    $\quad$
    b. Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,628& 0,372\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. On note $P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ l’état stable associé à ce graphe.
    a. Démontrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\begin{cases} 0,05a-0,03b = 0\\a + b=1\end{cases}$.
    $\quad$
    b. Résoudre le système précédent.
    $\quad$
    c. Interpréter dans le contexte de l’exercice la solution obtenue à la question 3b.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+ 1} = 0,92a_n + 0,03$.
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n-0,375$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et préciser le premier terme.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que : $a_n = 0,275 \times 0,92^n+0,375$.
    $\quad$
  5. La campagne électorale dure $11$ mois. Si la modélisation de l’institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Une base nautique propose la location de différentes embarcations pour visiter les gorges du Verdon. Les touristes peuvent louer des kayaks, des pédalos ou des bateaux électriques, pour une durée de $1$ heure ou $2$ heures.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une étude statistique met en évidence que :

  • $40\%$ des embarcations louées sont des pédalos ;
  • $35\%$ des embarcations louées sont des kayaks ;
  • les autres embarcations louées sont des bateaux électriques ;
  • $60\%$ des pédalos sont loués pour une durée de $1$ heure ;
  • $70\%$ des kayaks sont loués pour une durée de $1$ heure ;
  • la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de $1$ heure.
    $\quad$

On interroge au hasard un touriste qui vient pour louer une embarcation.

On note $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ les événements suivants :

  • $A$ : “l’embarcation louée est un pédalo” ;
  • $B$ : “l’embarcation louée est un kayak” ;
  • $C$ : ” l’embarcation louée est un bateau électrique” ;
  • $D$ : “l’embarcation est louée pour une durée de $1$ heure” ;
  • $E$ : “l’embarcation est louée pour une durée de $2$ heures”.
  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p(A \cap E)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’embarcation soit louée pour une durée de $2$ heures est égale à $0,39$.
    $\quad$
  4. Sachant que l’embarcation a été louée pendant $2$ heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$
  5. La base nautique pratique les tarifs suivants :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    &1 \text{ heure} &2 \text{ heures} \\
    \hline
    \text{Pédalo} &15 € &25 €\\
    \hline
    \text{Kayak} &10 € &16 € \\
    \hline
    \text{Bateau électrique} &35 € & 60 €\\
    \hline
    \end{array}$
    En moyenne, $200$ embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième.

Les bateaux électriques sont équipés d’une batterie d’une autonomie moyenne de $500$ minutes.
Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d’utilisation.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d’un bateau, exprimée en minutes. On admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 500$ et d’écart-type $\sigma = 10$.

  1. À l’aide de la calculatrice, calculer $p(490 < X < 520)$.
    $\quad$
  2. Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de $8$ heures sans être rechargés.
    Déterminer la probabilité que la batterie d’un bateau soit déchargée avant la fin de la journée.
    $\quad$
  3. Déterminer l’entier $a$ tel que $p(X < a) \approx 0,01$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$