Bac ES/L – Métropole – juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On veut calculer $p\left(T_1>5\right)=P\left(5<T_1<12\right)=\dfrac{12-5}{12}=\dfrac{7}{12}$
    $\quad$
    b. On a $E\left(T_1\right)=\dfrac{12+0}{2}=6$
    Le temps moyen d’attente est de $6$ minutes.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice on a : $p\left(0,75<T_2<6\right)\approx 0,745$
    $\quad$
  3. a. Il y a $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage, il y a$2$ issues : la caisse est ou n’est pas en panne. La probabilité qu’une caisse soit en panne est $p=0,1$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$.
    $\quad$
    b. $p(X=0)=0,9^{10}\approx 0,349$
    La probabilité qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est d’environ $34,9\%$.
    $\quad$
  4. On a $n=860\pg 30$, $p=0,9$ donc $np=774\pg 5$ et $n(1-p)=86\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{860} &=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{860}};0,9+1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{860}}\right] \\
    &\approx [0,880;0,921]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{763}{860}\approx 0,887 \in I_{860}$.
    Cela ne remet donc pas en question l’affirmation du gérant.
    $\quad$

 

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. Au 1er mars 2017, on a $n=2$
    $u_0=900$ donc $u_1=687$ et $u_2=527,25$
    Il y a donc $527$ adhérents au 1er mars 2017.
    $\quad$
  2. a. On a $v_n=u_n-48$ donc $u_n=v_n+48$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-48 \\
    &=0,75u_n+12-48\\
    &=0,75u_n-36\\
    &=0,75\left(v_n+48\right)-36\\
    &=0,75v_n+36-36\\
    &=0,75v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=900-48=852$.
    $\quad$
    b. On a $v_0=852$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_n=852\times 0,75^n$.
    $\quad$
    c. Or $u_n=v_n+48$
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=852\times 0,75^n+48$
    $\quad$
  3. On cherche la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n<100&\ssi 852\times 0,75^n+48<100 \\
    &\ssi 852\times 0,75^n<52 \\
    &\ssi 0,75^n < \dfrac{52}{852} \\
    &\ssi n\ln(0,75) < \ln \left(\dfrac{52}{852} \right) \\
    &\ssi n> \dfrac{\ln \left(\dfrac{52}{852} \right)}{\ln(0,75)} \\
    &\ssi n \pg 10
    \end{align*}$
    La présidente devra donc démissionner au bout de $10$ mois.
    $\quad$

Partie B

  1. Variables
    $\quad$ $S$ est un nombre réel
    $\quad$ $N$ est un entier
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation
    $\quad$ $S$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $U$ prend la valeur $900$
    $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $12$ :
    $\qquad$ Affecter à $S$ la valeur $S+10\times U$
    $\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $0,75U+12$
    $\quad$ Fin pour
    Sortie
    $\quad$ Afficher $S$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=10\times \left(u_0+u_1+\ldots+u_{11}\right) \\
    &=10\left(852\times 0,75^0+48+852\times 0,75^1+48+\ldots+852\times 0,75^{11}+48\right) \\
    &=10\left(852\times \dfrac{1-0,75^{12}}{1-0,75}+48\times 12\right) \\
    &\approx 38~760,47
    \end{align*}$
    Le total des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 s’élèvent à environ $38~760,47$ euros.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. On a $\begin{pmatrix} 1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. On obtient le graphe suivant :
  3. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix} 0,2&0,8\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
    $\quad$
  4. On a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$
    Or $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$
    Par conséquent
    $\begin{align*}a_{n+1}&=0,85a_n+0,1b_n \\
    &=0,85a_n+0,1\left(1-a_n\right) \\
    &=0,85a_n+0,1-0,1a_n\\
    &=0,75a_n+0,1
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$, $v_n=a_n-0,4$ donc $a_n=v_n+0,4$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-0,4 \\
    &=0,75a_n+0,1-0,4\\
    &=0,75a_n-0,3 \\
    &=0,75\left(v_n+0,4\right)-0,3 \\
    &=0,75v_n+0,3-0,3\\
    &=0,75v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_1=1-0,4=0,6$
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n=0,6\times 0,75^{n-1}$
    Par conséquent
    $\begin{align*}u_n&=0,6\times 0,75^{n-1}+0,4\\
    &=0,6\times 0,75^n\times \dfrac{1}{0,75}+0,4 \\
    &=0,8\times 0,75^n+0,4
    \end{align*}$
    $\quad$
    c.$-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0,4$
    $\quad$
    d. Sur le long terme la probabilité d’obtenir une question difficile est $0,6$.
    Le joueur risque donc d’avoir à résoudre des énigmes difficiles.
    $\quad$

Partie B

D’après l’algorithme de Dijkstra on a :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet} \\
\hline
0&&&&&&&A\\
\hline
&2(A)&6(A)&10(A)&&&&B\\
\hline
\phantom{12(A)}&&5(B)&10(A)&&&17(B)&C\\
\hline
&&&9(C)&14(C)&&17(B)&D\\
\hline
&&&&12(D)&&17(B)&E\\
\hline
&&&&&13(E)&16(E)&F\\
\hline
&&&&&&16(E)&G\\
\hline
\end{array}$
Le plus court chemin pour aller de $A$ à $G$ est donc : $A-B-C-D-E-G$.
$\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le logiciel de calcul formel on a $f'(x)=-3x\e^{3x}+2\e^{3x}=(-3x+2)\e^{3x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-3x+2$
    $-3x+2=0 \ssi x=\dfrac{2}{3}$
    $-3x+2>0 \ssi -3x>-2 \ssi x<\dfrac{2}{3}$
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    Avec $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\e^2}{3}$
    $\quad$
  2. On a, d’après le logiciel de calcul formel, $f^{\prime\prime}(x)=3(1-3x)\e^{3x}$
    La fonction exponentielle ne s’annule pas.
    Par conséquent $f^{\prime\prime}(x)=0 \ssi 1-3x=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$.
    $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\e}{3}$
    Le point d’inflexion a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{\e}{3}\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(0)=1$ et $g(0)=0^2-0+1=1$. Le point $B(0;1)$ appartient bien aux deux courbes.
    $f(1)=0$ et $g(1)=1^2-2+1=0$.Le point $A(1;0)$ appartient bien aux deux courbes.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $x\pg 0$ on a $3x\pg 0$
    La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $[0;1]$, on a donc $\e^{3x} \pg \e^0$
    Soit $\e^{3x} \pg 1$ et donc $\e^{3x}-1\pg 0$
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;1]$ on a: $\e^{3x}-1\pg 0$ et $x \pg 0$
    Donc $\e^{3x}-1+x\pg 0$
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $[0;1]$ on a :
    $\bullet 1-x \pg 0$
    $\bullet \e^{3x}-1+x\pg 0$
    Donc $f(x)-g(x)\pg 0$ pour tout $x$ dans $(0;1]$.
    $\quad$
  3. a. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;1]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+x$
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_0^1 g(x)\dx \\
    &=G(1)-G(0) \\
    &=\dfrac{1}{3}-1+1-0\\
    &=\dfrac{1}{3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $S$ est l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$
    $\begin{align*} S&=\displaystyle \int_0^1f(x)\dx-\int_0^1 g(x)\dx \\
    &=\dfrac{\e^3-4}{9}-\dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac {\e^3-7}{9} \text{u.a.} \\
    &\approx 1,45 \text{u.a.}
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $P(X=1)=\dfrac{\ln(2)-\ln(1)}{\ln(10}}=\dfrac{\ln(2)}{\ln(10)}\approx 0,302$
    $\quad$
  2. a. La fréquence observée est $f=\dfrac{11~094}{36~677}\approx 0,301$ qui est très proche de $0,302$.
    Cette observation est donc compatible avec l’affirmation “le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford”
    $\quad$
    b. La taille d’un élève est généralement comprise entre $100$ cm et $200$ cm.
    La probabilité que le premier chiffre de la taille en centimètres d’un candidat pris au hasard est très proche de $1$.
    La loi de Benford ne semble pas être une loi adaptée pour $X$.
    $\quad$

Énoncé obl

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Énoncé spé

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