Bac ES/L – Métropole (secours)- juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques sujet de secours – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $P(X\pp 2,5)=0,5-P(2,5\pp X\pp 3) \approx 0,31$
    Réponse c
    $\quad$
  2. On sait que $P(\mu-2\sigma\pp Y\pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$
    Or ici, $\mu=0$ et $P(-5 \pp Y \pp 5)\approx 0,95$
    Donc $5\approx 0+2\sigma \ssi \sigma \approx 2,5$
    Réponse b
    Remarque : 
    On peut aussi tester le calculs de probabilité avec les différentes valeurs.
    $\quad$
  3. $n=500\pg 30$ et $f=\dfrac{438}{500}=0,876$ donc $nf=438\pg 5$ et $n(1-f)=62\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est donc :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,876-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,876+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,831;0,921]
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
    Son amplitude est donc $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
    On veut donc résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,05 &\ssi \dfrac{2}{0,05}\pp \sqrt{n} \\
    &\ssi 40 \pp \sqrt{n} \\
    &\ssi 1~600 \pp n
    \end{align*}$
    Parmi les réponses proposées, la plus petite valeur acceptable est donc $2~000$.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
  2. a. On a $P_1=P_0\times M$.
    $\quad$
    b. Donc $P_1=\begin{pmatrix} 0,96\times 0,92+0,01\times 0,08&0,04\times 0,96+0,99\times 0,08\end{pmatrix}$
    Soit $P_1=\begin{pmatrix} 0,884&0,116\end{pmatrix}$.
    La probabilité qu’un assuré soit de catégorie A en 2017 est donc environ égale à $0,88$.
    $\quad$
  3. a. L’état stable $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} P=PA\\a+b=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} a+b=1 \\0,96a+0,01b=a\\0,04a+0,99b=b\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0 \\0,04a-0,01b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0\end{cases} \end{align*}$
    $\quad$
    b. $\begin{align*} \begin{cases} a+b=1\\-0,04a+0,01b=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=1-b\\-0,04+0,04b+0,01b=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\0,05b=0,04\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1-b\\b=0,8 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=0,2\\b=0,2\end{cases}\end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.
    Sur le long terme, $20\%$ des assurés seront de catégorie A et $80\%$ des assurés seront de catégorie B.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$
    De plus :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,96a_n+0,01b_n \\
    &=0,96a_n+0,01\left(1-a_n\right) \\
    &=0,96a_n+0,01-0,01a_n \\
    &=0,95a_n+0,01
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On obtient l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $A$ est un nombre réel
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $A$ la valeur $0,92$
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $0$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $A \pg 0,5$ \\
    $\qquad$ Affecter à $N$ la valeur $N+1$
    $\qquad$ Affecter à $A$ la valeur $0,95\times A+0,01$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
    c. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et tend vers $0,2$. Il existe donc un rang $n$ à partir duquel $a_n < 0,5$
    On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n<0,5 &\ssi 0,2+0,72\times 0,95^n < 0,5 \\
    &\ssi 0,72\times 0,95^n < 0,3 \\
    &\ssi 0,95^n < \dfrac{5}{12} \\
    &\ssi n\ln 0,95 < \ln \dfrac{5}{12} \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{5}{12}}{\ln 0,95} \\
    &\ssi n \pg 18
    \end{align*}$
    C’est donc à partir de l’année 2034 que la proportion d’assurés de catégorie A va devenir inférieure à $0,5$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. On veut déterminer $p(B\cap T)=0,2\times 0,7=0,14$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(B\cap T)+p\left(\conj{B}\cap T\right) \\
    &=0,14+0,8\times 0,1 \\
    &=0,22
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(B)&=\dfrac{p(T\cap B)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,14}{0,22} \\
    &=\dfrac{7}{11}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il y a deux issues : $T$ et $\conj{T}$. De plus $p(T)=0,22$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,22$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 1) = 1-p(X=0) =1-0,78^5\approx 0,711$
    $\quad$
    c. L’espérance est $E(X)=np=1,1$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_1$ qui est parallèle à l’axe des abscisses.
    Donc $f'(-1)=0$.
    $\quad$
    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_3$ (qui également la droite $(CD)$).
    $f'(1)=\dfrac{1-3}{2-1}=-2$.
    $\quad$
  2. Si $B$ est un point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$, cela signifie que les tangentes à la courbe $\mathscr{C}_f$ vont être sous la courbe sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3. Une équation d’une tangente au point d’abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    Si $a=1$, on a $f'(1)=-2$ et $f(1)=3$
    Une équation de $T_3$ est donc $y=-2(x-1)+3$
    Soit $y=-2x+5$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;4]$ comme composée et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{-x+1}-(x+2)\e^{-x+1} \\
    &=(1-x-2)\e^{-x+1} \\
    &=-(x+1)\e^{-x+1}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-(x+1)$.
    $-(x+1)=0 \ssi x+1=0 \ssi x=-1$
    $-(x+1)>0 \ssi x+1<0 \ssi x<-1$
    On obtient donc le tableau de signes et de variation suivant :

Partie C

  1. D’après le logiciel de calcul formel $f^{\prime \prime}(x)=x\e^{-x+1}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f^{\prime \prime}(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
    $$f^{\prime \prime}(x)>0 \ssi x>0$
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  2. a. D’après le logiciel de calcul formel, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;4]$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par $F(x)=-(x+3)\e^{-x+1}$.
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)\dx \\
    &=F(1)-F(-2) \\
    &=-4-\left(-\e^3\right) \\
    &=-4+\e^3
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;1]$ est :
    $m=\dfrac{1}{1-(-2)}\displaystyle \int_{-2}^1 f(x)\dx=\dfrac{-4+\e^3}{3} \approx 5,362$
    $\quad$

Énoncé spé

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