Bac ES/L – Polynésie – juin 2017

Polynésie – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \left(\dfrac{1}{2}\right)^x=\dfrac{3}{10} &\ssi x\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{3}{10}\right) \\
    &\ssi x\times \left(-\ln(2)\right)=\ln(3)-\ln(10) \\
    &\ssi x=\dfrac{\ln(3)-\ln(10)}{-\ln(2)} \\
    &\ssi x=\dfrac{\ln(10)-\ln(3)}{\ln(2)}
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^{x^2}$.
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(-2) \\
    &=\e^{4}-\e^{4}\\
    &=0
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. $f'(x)=2\ln(x)+\dfrac{2x+3}{x}=2\ln(x)+2+\dfrac{3}{x}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. Le coefficient multiplicateur associé à ces deux augmentations successives est :
    $1,05\times 1,07=1,123~5$
    Le pourcentage global d’augmentation est donc $12,35\%$
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. D’après l’énoncé on a :
    $P(A)=0,2$
    $P_A(R)=0,75$
    $P_{\conj{A}}(R)=0,566$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,2\times 0,75=0,15$
    $\quad$
    b. Cela signifie que la probabilité que le candidat choisi ait suivi la filière AAC et qu’il ait été reçu à l’examen est égale à $15\%$ .
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} P(R)&=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    &=0,15+0,8\times 0,566 \\
    &=0,602~8
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,15}{0,602~8} \\
    &\approx 0,258~8
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=400\pg 30$ et $p=0,62$ donc $np=248\pg 5$ et $n(1-p)=152 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,62-1,96\sqrt{\dfrac{0,62\times 0,38}{400}};0,62+1,96\sqrt{\dfrac{0,62\times 0,38}{400}}\right] \\
    &\approx [0,572;0,668]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{220}{400}=0,55\notin I_{400}$
    On peut donc émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école.
    $\quad$

Partie C

  1. A l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(1~090<X<1~910)\approx 0,68$
    Remarque : on pouvait également remarquer qu’on voulait calculer $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma) \approx 0,68$
    $\quad$
  2. $P(X \pp 1~155)=0,5-P(1~155<X<1~500) \approx 0,20$$\quad$
  3. a. $P(X \pg a)=0,2\ssi P(X \pp a)=0,8$
    A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $a\approx 1~845$.
    Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $$P(X \pp 1~155)\approx 0,2$. $1~155=1~500=345$.
    Donc $P(X\pg 1~500+345) \approx 0,2$.
    $\quad$
    b. Cela signifie que la probabilité que la probabilité que le coût d’obtention du permis de conduire dépasse $1~845$ € ait $20\%$.
    $\quad$

 

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

  1. La surface diminue de $0,4\%$ chaque année. Il en reste donc $99,6\%$ soit $0,996u_n$.
    Le reboisement représente $7,2$ millions d’hectares par an.
    En 2015, les forêts couvraient environ $4~000$ millions d’hectares sur terre.
    Ainsi, en millions d’hectares, on a $u_0=4~000$
    La suite $u_n$ permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d’hectares l’année 2015+$n$.
    $\quad$
  2. Variables :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation : 
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $2~015$
    $\quad$ Affecter à $U$ la valeur $4~000$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $U>3~500$ faire :
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $0,996\times U+7,2$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~800$ soit $u_n=v_n+1~800$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~800 \\
    &=0,996u_n+7,2-1~800 \\
    &=0,996u_n-1~792,8 \\
    &=0,996\left(v_n+1~800\right)-1~792,8\\
    &=0,996v_n+1~792,8-1~792,8\\
    &=0,996v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,996$ et de premier terme $v_0=4~000-1~800=2~200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel on a donc :
    $v_n=2~200\times 0,996^n$
    Or $u_n=v_n+1~800$
    Donc $u_n=2~200\times 0,996^n+1~800$.
    $\quad$
    c. $0<0,996<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,996^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~800$
    Sur le long terme la surface des forêts sur terre sera de $1~800$ millions d’hectares.
    La surface des forêts sur terre ne va donc pas finir par disparaître.
    $\quad$
  4. L’année 2016+$n$, l’ONU aura replanté $7,3\times 1,1^n$ milliards d’arbres.
    Il s’agit du terme générique d’une suite géométrique.
    La somme des $10$ premiers termes (de 2016 à 2025) est donc
    $S=7,3\times \dfrac{1-1,1^{10}}{1-1,1} \approx 116,34 <140$
    L’ONU n’arrivera donc pas à atteindre son objectif.
    $\quad$

 

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On utilise l’algorithme de Dijkstra.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
O&A&B&C&D&E&F&\text{Sommet}\\
\hline
0&&&&&&&O\\
\hline
&2(O)&5(O)&4(O)&&&&A\\
\hline
&&4(A)&4(O)&9(A)&&&B\\
\hline
&&&4(O)&9(A)&7(B)&&C\\
\hline
&&&&9(A)&7(B)&&E\\
\hline
&&&&8(E)&&15(E)&D\\
\hline
&&&&&&14(D)&F\\
\hline
\end{array}$
Il doit donc combattre au minimum $14$ créatures s’il part du point $O$ pour arriver au point $F$.
$\quad$

Partie B

  1. $f(1)=a+b+c=8$
    $f(2)=4a+2b+c=25$
    $f(3)=9a+3b+c=80$
    On obtient donc le système $\begin{cases} a+b+c=8\\4a+2b+c=25\\9a+3b+c=80\end{cases}$
    $\quad$
  2. $AX=\begin{pmatrix}a+b+c\\4a+2b+c\\9a+3b+c\end{pmatrix}$.
    Le système est donc équivalent à l’équation $AX=B$.
    $\quad$
  3. a. $M\times A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. La matrice $M$ est donc la matrice inverse de la matrice $A$.
    $\quad$
  4. $AX=B\ssi X=MB \ssi \begin{pmatrix}19&-40&29\end{pmatrix}$
    Ainsi $a=19$, $b=-40$ et $c=29$.
    Et $f(x)=19x^2-40x+29$
    $\quad$
  5. $a=19>0$. La fonction $f$ atteint donc son minimum pour $x=\dfrac{40}{2\times 19} =\dfrac{20}{19} \approx 1,05$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[2;10]$.
    $f(1)=8<2~500$ et $f(10)=1~529 <2~500$.
    Selon ce modèle, le parc ne risque pas de rfuser d’accueil des personnes un de ces dix jours.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le point $A(0;-2)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}$ donc $f(0)=-2$.
    La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ admet pour équation $y=10x-2$. Donc $f'(0)=10$
    $\quad$
  2. a. $f'(x)=a\e^{-x}-(ax-2)\e^{-x}=(a-ax+2)\e^{-x}$
    $\quad$
    b. $f'(0)=10 \ssi a+2=10 \ssi a=8$
    $\quad$
    c. On a donc $f(x)=(8x-2)\e^{-x}$ et $f'(x)=(-8x+10)\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. a. et b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-8×10$
    $-8x+10=0 \ssi 8x=10\ssi x=1,25$
    $-8x+10>0 \ssi -8x>-10\ssi x<1,25$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(1,25)=8\e^{-1,25} \approx 2,292$
    $f(5)=38\e^{-5x} \approx 0,013$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;1,25]$
    $f(0)=-2<0$ et $f(1,25)>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1,25]$.
    Sur l’intervalle $[1,25;5]$, $f(x)\pg f(5) >0$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Finalement, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$
  4. a. D’après le logiciel de calcul formel on a :
    $f^{\prime\prime}(x)=(8x-18)\e^{-x}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement croissante. Le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-18$.
    $8x-18=0\ssi 8x=18\ssi x=2,25$
    $8x-18>0\ssi 8x>18\ssi x>2,25$
    La fonction $f$ admet donc un point d’inflexion pour $x=2,25$.
    $\quad$
  5. a. La fonction $f$ admet un maximum pour $x=1,25$.
    L’entreprise doit donc fabriquer $1~250$ pour réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$
    b. $f(1,25) \approx 2,292$
    Le bénéfice maximal est donc d’environ $229~200$ €.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. La solution exacte de l’équation $\left( \dfrac{1}{2} \right)^x = \dfrac{3}{10}$ est :
    a. $1,74$
    b. $\dfrac{\ln 10-\ln 3}{\ln 2}$
    c. $-\dfrac{\ln 3}{\ln 5}$
    d. $0,5$
    $\quad$
  2. $f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 2x\e^{x^2}$.
    La valeur exacte de l’intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\dx$ est :
    a. $4\e^{4}-4\e^{-4}$
    b. $4\left(\e^{4}+\e^{-4}\right)$
    c. $0$
    d. $1$
    $\quad$
  3. $f$ est la fonction définie pour tout $x$ de l’intervalle $]0;+\infty [$ par $f(x)=(2x+3)\ln x$.
    On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty [$ on a :
    a. $f'(x)=\dfrac{2x+3}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{2}{x}$
    c. $f'(x)=2\ln x+\dfrac{3}{x}+2$
    d. $f'(x)=2\ln x+\dfrac{3}{x}$
    $\quad$
  4. Une grandeur a été augmentée de $5\%$ la première année, puis de $7\%$ la deuxième année.
    Sur ces deux années, le pourcentage global d’augmentation est égal à :
    a. $12\%$
    b. $35\%$
    c. $0,35\%$
    d. $12,35\%$
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

D’après le “bilan des examens du permis de conduire” pour l’année 2014 publiée par le ministère de l’Intérieur en novembre 2015, $20\%$ des personnes qui se sont présentées à l’épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière de l’apprentissage anticipé de la conduite (AAC). Parmi ces candidats, $75\%$ ont été reçus à l’examen. Pour les candidats n’ayant pas suivi la filière AAC, le taux de réussite à l’examen était seulement de $56,6\%$.
On choisit au hasard l’un des candidats à l’épreuve pratique du permis de conduire en 2014.
On considère les événements suivants :

  • $A$ “le candidat a suivi la filière AAC” ;
  • $R$ “le candidat a été reçu à l’examen” .

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité de l’événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$. De plus $\conj{E}$ désigne l’événement contraire de $E$.

  1. a. Donner les probabilités $P(A)$, $P_A(R)$ et $P_{\conj{A}}(R)$.
    $\quad$
    b. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité $P\left( A \cap R\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
    $\quad$
  3. Justifier que $P(R)=0,602~8$.
    $\quad$
  4. Sachant que le candidat a été reçu à l’examen, calculer la probabilité qu’il ait suivi la filière AAC.
    On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près de cette probabilité.
    $\quad$

Partie B

Un responsable d’auto-école affirme que pour l’année 2016, la probabilité d’être reçu à l’examen est égale à $0,62$.
Ayant des doutes sur cette affirmation, une association d’automobilistes décide d’interroger $400$ candidats à l’examen parmi ceux de 2016. Il s’avère que $220$ d’entre eux ont effectivement obtenu le permis de conduire.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$  de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de $400$ candidats.
    $\quad$
  2. Peut-on émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école ?
    Justifier votre réponse.
    $\quad$

Partie C

Selon une enquête menée en 2013 par l’association “Prévention Routière”, le coût moyen d’obtention du permis de conduire atteignait environ $1~500$ € . On décide de modéliser le coût d’obtention du permis de conduire par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=1~500$ et d’écart-type $\sigma=410$.

  1. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre $1~090$ € et $1~910$.
    $\quad$
  2. Déterminer $P\left(X \pp 1~155\right)$.
    On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
  3. a. Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel $a$ arrondi à l’unité, vérifiant $P\left(X \pg a\right)=0,2$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

En 2015, les forêts couvraient environ $4~000$ millions d’hectares sur terre. On estime que, chaque année, cette surface diminue de $0,4\%$. Cette perte est en partie compensée par le reboisement, naturel ou volontaire, qui est estimé à $7,2$ millions d’hectares par an.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0= 4~000$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,996\times u_n + 7,2$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d’hectares l’année $2015 +n$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule et affiche la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de $3~500$ millions d’hectares sur terre.
    $\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \textbf{Variables :}  & N \text{ est un entier naturel}\\
    & U \text{ est un nombre réel}\\
    \textbf{Initialisation :}&\text{Affecter à } N \text{ la valeur } 2015\\
    &\text{Affecter à } U \text{ la valeur } 4~000\\
    \textbf{Traitement :} & \\
    & \\
    & \\
    & \\
    \textbf{Sortie :}  &\text{Afficher } N\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n= u_n-1~800$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique puis préciser son premier terme et sa raison.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2~200\times 0,996^n+ 1~800$.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle et si le phénomène perdure, la surface des forêts sur terre va-t-elle finir par disparaître ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Une étude montre que, pour compenser le nombre d’arbres détruits ces dix dernières années, il faudrait planter $140$ millions d’arbres en $10$ ans.
    En 2016 on estime que le nombre d’arbres plantés par l’Organisation des Nations unies (ONU) est de $7,3$ milliards.
    On suppose que le nombre d’arbres plantés par l’ONU augmente chaque année de $10\%$.
    L’ONU peut-elle réussir à replanter $140$ millions d’arbres de 2016 à 2025 ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Alex a téléchargé sur son smartphone un jeu lui permettant de combattre des animaux virtuels par localisation GPS. Le graphe pondéré représenté ci-dessous illustre le trajet qu’Alex doit suivre en marchant dans les rues de sa ville et le nombre d’animaux virtuels qu’il doit combattre sur la route suivie

À l’aide d’un algorithme, déterminer le nombre minimal de créatures qu’Alex doit combattre s’il part du point $O$ pour arriver au point $F$ de la ville. Détailler les étapes de l’algorithme.
$\quad$

Partie B

Alex retrouve d’autres personnes, ayant le même jeu, dans le parc de la ville dans le but de comparer le nombre de créatures qu’ils ont combattues.
Le premier jour, $8$ personnes se sont retrouvées dans le parc. Le second jour, on comptait $25$ personnes et le troisième jour, $80$ personnes se sont retrouvées dans le parc.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels et $x$ un nombre entier compris entre $1$ et $10$. On admet que la fonction $f$ modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc le $x$-ième jour.

  1. Traduire l’énoncé par un système de trois équations à trois inconnues $a$, $b$ et $c$.
    $\quad$
  2. Vérifier que ce système est équivalent à l’équation $AX=B$ avec $$[A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\4 & 2 & 1 \\9 & 3 & 1 \\\end{pmatrix}\quad, \quad  X=\begin{pmatrix}a \\b \\c \\\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad B=\begin{pmatrix}8 \\25\\80 \\\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Soit la matrice $M=\begin{pmatrix}0,5 & -1 & 0,5 \\-2,5 & 4 & -1,5 \\3 & -3 & 1 \\\end{pmatrix}$.
    a. Calculer $M\times A$.
    $\quad$
    b. Que représente la matrice $M$ pour la matrice $A$ ?
    $\quad$
  4. À l’aide d’un calcul matriciel, déterminer les valeurs des nombres $a$, $b$ et $c$.
    $\quad$
  5.  Le parc de la ville a une capacité d’accueil de $2~500$ personnes.
    Selon ce modèle, le parc risque-t-il de refuser d’accueillir des personnes un de ces dix jours ?
    Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0;5]$ par $f(x)=(ax-2)\e^{-x}$, où $a$ est un nombre réel.
On admet dans tout l’exercice que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $[0;5]$.
La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$.

Les courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ passent toutes les deux par le point $A(0;-2)$.
La droite $\mathscr{D}$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ et admet pour équation $y=10x-2$.
On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

  1. Donner, à l’aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5]$ on a : $$f'(x)=(-ax+a+2)\e^{-x}$$
    $\quad$
    b. Déduire des questions précédentes que $a = 8$.
    $\quad$
    c. Donner l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
  3. a. Préciser le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;5]$. On pourra faire un tableau.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
    c. Résoudre sur l’intervalle $[0;5]$ l’équation $f(x)=0$.
    $\quad$
  4. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1&g(x) := (-8*x+10) *\exp(-x)\\
    &\to g(x) := (- 8x +10)\e^{-x}\\
    \hline
    2 & \text{Dériver} \left[g(x) , x\right]\\
    &\to (8*x-18)*\exp(-x)\\
    \hline
    3&\text{Résoudre }\left[(8*x-18)*\exp(-x)>0,x\right]\\
    &\to x>9/4\\
    \hline
    \end{array}$

    En utilisant ces résultats :
    a. Donner l’expression de $f^{\prime\prime}$, fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Justifier que la courbe $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion dont on donnera la valeur exacte de l’abscisse.
    $\quad$

  5. Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l’entreprise fabrique chaque jour $x$ milliers de grille-pains (où $x$ est un nombre réel de l’intervalle $[0;5]$), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d’euros, par la fonction $f$ définie par : $$f(x)=(8x-2)\e^{-x}$$
    a. Quelle quantité de grille-pains l’entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal ?
    $\quad$
    b. Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?
    On donnera une valeur approchée du résultat à l’euro près.
    $\quad$