Bac ES/L – Polynésie – juin 2017

Polynésie – Juin 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} \left(\dfrac{1}{2}\right)^x=\dfrac{3}{10} &\ssi x\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\dfrac{3}{10}\right) \\
    &\ssi x\times \left(-\ln(2)\right)=\ln(3)-\ln(10) \\
    &\ssi x=\dfrac{\ln(3)-\ln(10)}{-\ln(2)} \\
    &\ssi x=\dfrac{\ln(10)-\ln(3)}{\ln(2)}
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\e^{x^2}$.
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{-2}^2 f(x)\dx \\
    &=F(2)-F(-2) \\
    &=\e^{4}-\e^{4}\\
    &=0
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. $f'(x)=2\ln(x)+\dfrac{2x+3}{x}=2\ln(x)+2+\dfrac{3}{x}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. Le coefficient multiplicateur associé à ces deux augmentations successives est :
    $1,05\times 1,07=1,123~5$
    Le pourcentage global d’augmentation est donc $12,35\%$
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. D’après l’énoncé on a :
    $P(A)=0,2$
    $P_A(R)=0,75$
    $P_{\conj{A}}(R)=0,566$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,2\times 0,75=0,15$
    $\quad$
    b. Cela signifie que la probabilité que le candidat choisi ait suivi la filière AAC et qu’il ait été reçu à l’examen est égale à $15\%$ .
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} P(R)&=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    &=0,15+0,8\times 0,566 \\
    &=0,602~8
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,15}{0,602~8} \\
    &\approx 0,258~8
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=400\pg 30$ et $p=0,62$ donc $np=248\pg 5$ et $n(1-p)=152 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,62-1,96\sqrt{\dfrac{0,62\times 0,38}{400}};0,62+1,96\sqrt{\dfrac{0,62\times 0,38}{400}}\right] \\
    &\approx [0,572;0,668]
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{220}{400}=0,55\notin I_{400}$
    On peut donc émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école.
    $\quad$

Partie C

  1. A l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(1~090<X<1~910)\approx 0,68$
    Remarque : on pouvait également remarquer qu’on voulait calculer $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma) \approx 0,68$
    $\quad$
  2. $P(X \pp 1~155)=0,5-P(1~155<X<1~500) \approx 0,20$$\quad$
  3. a. $P(X \pg a)=0,2\ssi P(X \pp a)=0,8$
    A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $a\approx 1~845$.
    Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $$P(X \pp 1~155)\approx 0,2$. $1~155=1~500=345$.
    Donc $P(X\pg 1~500+345) \approx 0,2$.
    $\quad$
    b. Cela signifie que la probabilité que la probabilité que le coût d’obtention du permis de conduire dépasse $1~845$ € ait $20\%$.
    $\quad$

 

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

  1. La surface diminue de $0,4\%$ chaque année. Il en reste donc $99,6\%$ soit $0,996u_n$.
    Le reboisement représente $7,2$ millions d’hectares par an.
    En 2015, les forêts couvraient environ $4~000$ millions d’hectares sur terre.
    Ainsi, en millions d’hectares, on a $u_0=4~000$
    La suite $u_n$ permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d’hectares l’année 2015+$n$.
    $\quad$
  2. Variables :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation : 
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur $2~015$
    $\quad$ Affecter à $U$ la valeur $4~000$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $U>3~500$ faire :
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $0,996\times U+7,2$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~800$ soit $u_n=v_n+1~800$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~800 \\
    &=0,996u_n+7,2-1~800 \\
    &=0,996u_n-1~792,8 \\
    &=0,996\left(v_n+1~800\right)-1~792,8\\
    &=0,996v_n+1~792,8-1~792,8\\
    &=0,996v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,996$ et de premier terme $v_0=4~000-1~800=2~200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel on a donc :
    $v_n=2~200\times 0,996^n$
    Or $u_n=v_n+1~800$
    Donc $u_n=2~200\times 0,996^n+1~800$.
    $\quad$
    c. $0<0,996<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,996^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~800$
    Sur le long terme la surface des forêts sur terre sera de $1~800$ millions d’hectares.
    La surface des forêts sur terre ne va donc pas finir par disparaître.
    $\quad$
  4. L’année 2016+$n$, l’ONU aura replanté $7,3\times 1,1^n$ milliards d’arbres.
    Il s’agit du terme générique d’une suite géométrique.
    La somme des $10$ premiers termes (de 2016 à 2025) est donc
    $S=7,3\times \dfrac{1-1,1^{10}}{1-1,1} \approx 116,34 <140$
    L’ONU n’arrivera donc pas à atteindre son objectif.
    $\quad$

 

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On utilise l’algorithme de Dijkstra.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
O&A&B&C&D&E&F&\text{Sommet}\\
\hline
0&&&&&&&O\\
\hline
&2(O)&5(O)&4(O)&&&&A\\
\hline
&&4(A)&4(O)&9(A)&&&B\\
\hline
&&&4(O)&9(A)&7(B)&&C\\
\hline
&&&&9(A)&7(B)&&E\\
\hline
&&&&8(E)&&15(E)&D\\
\hline
&&&&&&14(D)&F\\
\hline
\end{array}$
Il doit donc combattre au minimum $14$ créatures s’il part du point $O$ pour arriver au point $F$.
$\quad$

Partie B

  1. $f(1)=a+b+c=8$
    $f(2)=4a+2b+c=25$
    $f(3)=9a+3b+c=80$
    On obtient donc le système $\begin{cases} a+b+c=8\\4a+2b+c=25\\9a+3b+c=80\end{cases}$
    $\quad$
  2. $AX=\begin{pmatrix}a+b+c\\4a+2b+c\\9a+3b+c\end{pmatrix}$.
    Le système est donc équivalent à l’équation $AX=B$.
    $\quad$
  3. a. $M\times A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. La matrice $M$ est donc la matrice inverse de la matrice $A$.
    $\quad$
  4. $AX=B\ssi X=MB \ssi \begin{pmatrix}19&-40&29\end{pmatrix}$
    Ainsi $a=19$, $b=-40$ et $c=29$.
    Et $f(x)=19x^2-40x+29$
    $\quad$
  5. $a=19>0$. La fonction $f$ atteint donc son minimum pour $x=\dfrac{40}{2\times 19} =\dfrac{20}{19} \approx 1,05$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[2;10]$.
    $f(1)=8<2~500$ et $f(10)=1~529 <2~500$.
    Selon ce modèle, le parc ne risque pas de rfuser d’accueil des personnes un de ces dix jours.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Le point $A(0;-2)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}$ donc $f(0)=-2$.
    La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ admet pour équation $y=10x-2$. Donc $f'(0)=10$
    $\quad$
  2. a. $f'(x)=a\e^{-x}-(ax-2)\e^{-x}=(a-ax+2)\e^{-x}$
    $\quad$
    b. $f'(0)=10 \ssi a+2=10 \ssi a=8$
    $\quad$
    c. On a donc $f(x)=(8x-2)\e^{-x}$ et $f'(x)=(-8x+10)\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. a. et b. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-8×10$
    $-8x+10=0 \ssi 8x=10\ssi x=1,25$
    $-8x+10>0 \ssi -8x>-10\ssi x<1,25$
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $f(1,25)=8\e^{-1,25} \approx 2,292$
    $f(5)=38\e^{-5x} \approx 0,013$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;1,25]$
    $f(0)=-2<0$ et $f(1,25)>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;1,25]$.
    Sur l’intervalle $[1,25;5]$, $f(x)\pg f(5) >0$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Finalement, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$
  4. a. D’après le logiciel de calcul formel on a :
    $f^{\prime\prime}(x)=(8x-18)\e^{-x}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement croissante. Le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-18$.
    $8x-18=0\ssi 8x=18\ssi x=2,25$
    $8x-18>0\ssi 8x>18\ssi x>2,25$
    La fonction $f$ admet donc un point d’inflexion pour $x=2,25$.
    $\quad$
  5. a. La fonction $f$ admet un maximum pour $x=1,25$.
    L’entreprise doit donc fabriquer $1~250$ pour réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$
    b. $f(1,25) \approx 2,292$
    Le bénéfice maximal est donc d’environ $229~200$ €.
    $\quad$

 

Énoncé obl

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Énoncé spé

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