Bac ES/L – Polynésie – Septembre 2017

Polynésie – Septembre 2017

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $P$ et $R$ n’ont pas la même abscisse donc le coefficient directeur de la droite $(PR)$ est $a=\dfrac{6-3}{4-1}=1$
    La seule équation qui vérifie cette information est $y=x+2$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. $f(1)=3=y_P$
    $f'(1) = 1$ puisque c’est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ en $P$ qui est la droite $(PR)$.
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}$ est située sous ses tangentes sur l’intervalle $]0;10]$. La fonction $f$ est donc concave sur cet intervalle.
    Réponse b
    $\quad$
  4. $\ds \int_1^2 f(x)\dx$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=2$.
    Ce domaine contient un rectangle de dimension $1\times 3$ et est inclus dans un rectangle de dimensions $1\times 4$.
    Donc $\ds 3 \pp \int_1^2 f(x)\dx \pp 4$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=-\ln x-x\times \dfrac{1}{x}+2 \\
    &=-\ln x-1+2\\
    &=1-\ln x
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)=0 \ssi 1-\ln x=0 \ssi \ln x=1 \ssi x=\e$
    $f'(x)>0 \ssi 1-\ln x > 0 \ssi 1> \ln x \ssi \e > x$
    La fonction $f$ admet donc un maximum en $\e$.
    $\quad$
    c. Le maximum est donc :
    $f(\e)=-\e \ln \e +2\e+1=-\e+2\e+1=\e+1$
    $\quad$
  2. La fonction $f’$ est dérivable sur l’intervalle $]0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f\dsec(x)=-\dfrac{1}{x}<0$ sur $]0;10]$.
    Ainsi la fonction $f$ est concave sur l’intervalle $]0;10]$ et la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \ds \int_1^2 f(x)\dx &=F(2)-F(1) \\
    &=-2\ln 2+5+2-7-\left(\dfrac{5}{4}+1-7\right) \\
    &=\dfrac{19}{4}-2\ln 2
    \end{align*}$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $f'(x)=4\times (-0,5)\e^{-0,5x+1}+1=-2\e^{-0,5x+1}+1$
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} f'(x)=0 &\ssi -2\e^{-0,5x+1}+1=0 \\
    &\ssi -2\e^{-0,5x+1}=-1 \\
    &\ssi \e^{-0,5x+1}=\dfrac{1}{2}\\
    &\ssi -0,5x+1=\ln \dfrac{1}{2} \\
    &\ssi -0,5x+1=-\ln 2 \\
    &\ssi -0,5x=-1-\ln 2 \\
    &\ssi x=2+2\ln 2
    \end{align*}$
    Et $2+2\ln 2 \approx 3,39$
    L’équation $f'(x)=0$ admet donc une unique solution sur l’intervalle $[1;10]$ qui est $\alpha=2+2\ln 2$.
    $\quad$
    b. voir graphique à la partie C
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[\alpha;10]$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(5)=4\e^{-1,5}+4 \approx 4,89$
    Ainsi le coût de production d’une coque dans le cas de la fabrication de $500$ coques par jour est d’environ $4,89$ €.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ admet un minimum en $\alpha \approx 3,39$.
    L’entreprise minimise le coût unitaire de production en produisant $339$ coques par jour.
    $\quad$
    b. $f(\alpha)=4\e^{-1-\ln 2 +1}+2+2\ln 2 -1 = 2+1+2\ln2=3+2\ln 2\approx 4,39$
    Le coût minimal de production d’un coque en d’environ $4,39$ €.
    $\quad$

Partie C

L’entreprise réalise un bénéfice si :
$\begin{align*} g(x)-f(x) > 0 &\ssi -\dfrac{1}{4}x+6 -4\e^{-0,5x+1}-x+1 > 0 \\
&\ssi -4\e^{-0,5x+1}-\dfrac{5}{4}x+7>0
\end{align*}$
On ne sait pas résoudre de manière algébrique ce type d’équation.
On va donc utiliser le graphique et tracer la droite représentant la fonction $g$.

On a $x_1 \approx 1,509$ et $x_2 \approx 4,818$.
L’entreprise doit donc produire entre $151$ et $481$ coques par jour pour réaliser un bénéfice.
$\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a.
    Variables :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $50$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $24$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $U*0,9$ (variante $50\times 0,9^N$)
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et de premier termer $u_0=50$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=50\times 0,9^n$.
    $\quad$
    c. $u_{24}=50\times 0,9^{24} \approx 3,988$.
    $\quad$
  2. On veut résoudre, pour $n$ entier naturel :
    $\begin{align*} u_n < 0,01 &\ssi 50 \times 0,9^n < 0,01 \\
    &\ssi 0,9^n < 0,000~2 \\
    &\ssi n\ln 0,9 < \ln 0,000~2 \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln 0,000~2}{\ln 0,9} \\
    &\ssi n \pg 81
    \end{align*}$
    Le plus petit entier naturel $n$ vérifiant $u_n<0,01$ est donc $81$.
    $\quad$
    $\quad$
  3. a. L’algorithme 2 calcule la valeur de $u_{24}$
    Dans l’algorithme 3, $S$ n’est pas initialisé à la bonne valeur.
    Seul l’algorithme 1 permet de calculer $S_{24}$.
    $\quad$
    b. $S_{24}=50\times \dfrac{1-0,9^{25}}{1-0,9}=500\left(1-0,9^{25}\right)\approx 464$.
    $\quad$
  4. a. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n=500$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(S_n\right)$ est croissante et admet $500$ comme limite. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n \pp 500$.
    L’affirmation d’Alex est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(D\cap A)+p(D\cap B) \\
    &=0,8\times 0,01+0,2\times 0,06 \\
    &=0,02
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(D)&=\dfrac{p(D\cap B)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 0,06}{0,02} \\
    &=0,6
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=400 \pg 30$ et $p=0,06$ donc $np=24 \pg 5$ et $n(1-p)=376 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des étuis défectueux est donc :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,06-1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{400}};0,06+1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{400}}\right] \\
    &\approx [0,036;0,084]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{50}{400}=0,125\notin I_{400}$.
    Il faut donc informer le fournisseur B d’un problème.
    $\quad$

Partie C

  1. En utilisant $\mu=20$ et $\sigma=0,2$ on obtient:
    $P(19,8 \pp X \pp 20,2) \approx 0,683 < 0,95$
    Il faut donc revoir les réglages des machines.
    $\quad$
  2. On veut $P(19,8 \pp X \pp 20,2)=0,95$
    Soit $P(\mu-0,2 \pp X \pp \mu +0,2)=0,95$.
    Par conséquent $2\sigma=0,2$ d’où $\sigma =0,1$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    5 points

La courbe $\mathscr{C}$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé d’origine $O$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]0;10]$.

On considère les points $P(1;3)$ et $R(4;6)$. Le point $Q$ a pour abscisse $\e$, avec $\e\approx 2,718$.
Les points $P$ et $Q$ appartiennent à la courbe $\mathscr{C}$. La droite $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des abscisses et passe par le point $Q$.
La droite $(PR)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $P$ et la droite $\mathscr{D}$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $Q$.
On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, les résultats seront donnés à l’aide d’une lecture graphique et sans justification.

  1. Parmi les trois proposition ci-dessous, quelle est celle qui désigne l’équation de la droite $(PR)$?
    a. $y=2x+1$
    b. $y=x+2$
    c. $y=2x+2$
    $\quad$
  2. Donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
  3. Une seule de ces trois propositions est exacte :
    a. $f$ est convexe sur l’intervalle $]0;10]$;
    b. $f$ est concave sur l’intervalle $]0;10]$;
    c. $f$ n’est ni convexe ni concave sur l’intervalle $]0;10]$.
    Laquelle?
    $\quad$
  4. Encadrer l’intégrale $\ds \int_1^2 f(x)\dx$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$

Partie B

La courbe $\mathscr{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;10]$ par : $$f(x)=-x\ln x+2x+1$$

  1. a. Calculer $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la fonction $f$ admet un maximum sur l’intervalle $]0;10]$.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur cet intervalle.
    $\quad$
  2. Montrer que la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle $]0;10]$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $F$ définie par $F(x)=-\dfrac{x^2}{2}\ln x+\dfrac{5}{4}x^2+x-7$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;10]$.
    Calculer la valeur exacte de $\ds \int_1^2 f(x)dx$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1;10]$ par : $$f(x)=4\e^{-0,5x+1}+x-1$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1;10]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
On donne en annexe, à remettre avec la copie, la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;10]$ dans un repère d’origine $O$.

Partie A

  1. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1;10]$ on a $f'(x)=-2\e^{-0,5x+1}+1$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que sur l’intervalle $[1;10]$, l’équation $f'(x)=0$ admet pour unique solution le nombre $\alpha=2+2\ln 2$.
    $\quad$
    b. Placer sur le graphique fourni en annexe le point de la courbe $\mathscr{C}$ d’abscisse $\alpha$.
    $\quad$
  3. On admet que l’ensemble des solutions sur l’intervalle $[1;10]$ de l’inéquation $f'(x) \pg 0$ est $[2+2\ln 2;10]$.
    En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;10]$.
    $\quad$

Partie B

L’entreprise “COQUE EN STOCK” fabrique et commercialise des coques pour téléphone portable. Son usine est en mesure de produite entre $100$ et $1~000$ coques par jour.
la fonction $f$ permet de modéliser le coût de production d’une coque en fonction du nombre de centaines de coques produites par jour. Ainsi, si $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites alors $f(x)$ représente le coût, en euros, de production d’une coque.

  1. Calculer, au centime près, le coût de production d’une coque dans le cas de la fabrication de $500$ coques par jour.
    $\quad$
  2. a. Montrer que produire $339$ coques par jour permet de minimiser le coût unitaire de production.
    $\quad$
    b. En déduite le coût minimal de production d’une coque, en euros, au centime près.
    $\quad$

Partie C

Le prix de vente d’une coque peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[1;10]$ par $$g(x)=-\dfrac{1}{4}x+6$$
où $x$ désigne le nombre de centaines de coques produites et $g(x)$ le prix de vente d’une coque en euros.
Estimer les quantités de coques à produite par jour afin d’assurer un bénéfice à l’entreprise.
$\quad$

Annexe :

$\quad$

Exercice 3    5 points

On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$, de raison $0,9$ et de premier terme $u_0=50$.

  1. a. Recopier  et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il calcule et affiche le $25^{\e}$ terme de cette suite, c’est-à-dire $u_{24}$ :
    Variables :
    $\quad$ $N$ est un entier naturel
    $\quad$ $U$ est un nombre réel
    Initialisation :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $24$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Calculer $u_{24}$ et donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. Détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<0,01$.
    $\quad$
  3. On souhaite calculer la somme $S_{24}=u_0+u_1+\ldots+u_{24}$.
    Voici trois propositions d’algorithmes :

    a.
    Un seul de ces algorithmes permet de calculer la somme $S_{24}$ et de l’afficher.
    Préciser lequel en justifiant la réponse.
    $\quad$
    b. Calculer la somme $S_{24}$.
    On donnera une valeur approchée du résultat à l’unité près.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n=u_0+\ldots+u_n$.
    On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante et que pour tout entier naturel $n$, $S_n=500-450\times 0,9^n$.
    a. Déterminer la limite de la suite $\left(S_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
    b. Alex affirme que $S_n$ peut dépasser $500$ pour une valeur de l’entier $n$ suffisamment grande.
    Que pensez-vous de son affirmation? Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Les trois parties de cet exercices sont indépendantes.

Partie A

Une entreprise spécialisée dans la personnalisation des étuis de smartphone fait ses achats chez deux fournisseurs :

  • un fournisseur A qui lui garantit $99\%$ d’étuis non défectueux;
  • un fournisseur B qui lui garantit $95\%$ d’étuis non défectueux.

On sait également que $80\%$ des étuis achetés par l’entreprise proviennent du fournisseur A (le reste provenant du fournisseur B).

On choisit au hasard un étui de smartphone et on considère les événements suivants :

  • $A$ : “l’étui provient du fournisseur A”;
  • $B$ : “l’étui provient du fournisseur B”;
  • $D$ : “l’étui est défectueux”.
  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’un étui soit défectueux.
    $\quad$
  3. On choisit un étui au hasard et on constate qu’il est défectueux.
    Montrer que la probabilité qu’il provienne du fournisseur B est égale $0,6$.
    $\quad$

Partie B

On rappelle que le fournisseur B garantit $94\%$ d’étuis non défectueux.
Un employé de l’entreprise prélève un échantillon de $400$ étuis qui proviennent du fournisseur B. Il constate que $350$ de ces étuis ne sont pas défectueux.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence des étuis défectueux dans un échantillon aléatoire de $400$ étuis provenant du fournisseur B.
    On donnera des avaleurs approchées au millième des bornes de cet intervalle.
    $\quad$
  2. Faut-il informer le fournisseur B d’un problème?
    $\quad$

Partie C

Un étui est considéré comme conforme si son épaisseur est comprise entre $19,8$ mm et $20,2$ mm. Le fournisseur B souhaite qu’au moins $95\%$ des étuis produits soient conformes. Pour cela, il veut vérifier les réglages des machines de production.
On choisit un étui au hasard dans la production du fournisseur B. On note $X$ la variable aléatoire associée à l’épaisseur (en mm) de l’étui. On admet que $X$ suit une loi normale d’espérance $20$ mm.

  1. En observant les réglages des machines de production, le fournisseur B constate que l’écart-type se $X$ est égal à $0,2$.
    Justifier qu’il faut revoir les réglages des machines.
    $\quad$
  2. Déterminer une valeur de l’écart-type de $X$ pour laquelle la probabilité qu’un étui soit conforme est environ égale à $0,95$.
    $\quad$