Bac S – Antilles Guyane – juin 2017

Antilles Guyane – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Si $z=1$ alors $1^4+2\times 1^3-1-2=1+2-1-2=0$.
    Donc $1$ est une solution entière de $(E)$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \left(z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1\right)&=z^4+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2 \\
    &=z^4+2z^3-z-2
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(E) \ssi \left(z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\ssi \left(z^2+z-2\right) = 0$ ou $\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\bullet$ On a $(z-1)(z+2)=z^2+2z-z-2=z^2+z-2$
    Ainsi les solutions de l’équation $ \left(z^2+z-2\right) = 0$ sont $1$ et $-2$
    $\bullet$ On considère maintenant l’équation $\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\Delta=1^2-4=-3<0$
    L’équation possède donc deux racines complexes :
    $z_1=\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc $1$, $-2$, $\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$$\quad$
  4. On note $A$ le point d’affixe $1$, $B$ le point d’affixe $\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$ , $C$ le point d’affixe $-2$ et $D$ celui d’affixe $\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$.
    On sait que $z_2=\conj{z_1}$ par conséquent le milieu du segment $[BD]$ a pour affixe $-\dfrac{1}{2}$.
    De plus $\dfrac{1+(-2)}{2}=-\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se croisent en leur milieu : c’est un parallélogramme.
    $\begin{align*} AB^2&=\left|z_B-z_A\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}-1\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-3+\ic\sqrt{3}}{2}\right|^2 \\
    &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\
    &=3
    \end{align*}$
    $\begin{align*} AD^2&=\left|z_D-z_A\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}-1\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-3-\ic\sqrt{3}}{2}\right|^2 \\
    &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\
    &=3
    \end{align*}$
    Ainsi $AB=AD$
    Deux côtés consécutifs du parallélogramme ont la même longueur : c’est un losange.
    Remarque : on pouvait également remarquer que l’axe des abscisses est la médiatrice du segment $[BD]$ et donc que $AB=AD$.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On sait $P(X>27,2)=0,023$. Puisque $\mu_1=25$ cela signifie donc que $P(X<22,8)=0,023$
    Ainsi $P(22,8<X<27,2)=1-2\times 0,023=0,954$
    $\quad$
    b. On sait que $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0,954$.
    Par conséquent $27,2\approx 25-2\sigma_1$ soit $\sigma_1\approx 1,1$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(22,8<X<27,2)}(X<24)&=\dfrac{P\left((22,8<X<27,2)\cap (X<24)\right)}{P(22,28<X<27,2)} \\
    &=\dfrac{P(22,8<X<24)}{P(22,28<X<27,2)} \\
    &\approx \dfrac{0,159}{0,954} \\
    &\approx 0,167
    \end{align*}$
  2. a. On sait que $P(22,8<Y<27,2)=0,98>P(22,8<X<27,2)$
    Donc $\sigma_1>\sigma_2$
    $\quad$
    b. On sait que $n=500\pg 30$ et $p=0,98$ donc $np=490\pg 5$ et $n(1-p)=10\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{500}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{500}}\right] \\
    &\approx [0,967;0,993]
    \end{align*}$
    Sur les $500$ pièces testées, $485$ sont conformes.
    La fréquence observée est donc $f=\dfrac{485}{500}=0,97\in I_{500}$
    Au seuil de $95\%$ on ne peut donc pas rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ donc les fonctions $f$ et $g$ le sont également.
    $f'(x)=\e^x$ et $g(x)=-\e^{-x}$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T_a$ en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est $f'(a)=\e^a$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T’_a$ en $N$ à $\mathscr{C}_g$ est $g'(a)=-\e^{-a}$.
    Par conséquent un vecteur directeur de $T_a$ est $\vec{u}\left(1;\e^a\right)$ et un vecteur directeur de $T’_a$ est $\vec{v}\left(1;-\e^{-a}\right)$.
    Ainsi $\vec{u}.\vec{v}=1\times 1+\e^a\times \left(-\e^{-a}\right)=1-1=0$.
    Donc la tangente en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ en $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que la longueur $PQ$ soit toujours égale à $2$.
    $\quad$
    b. Cherchons une équation de $(PM)$.
    Elle est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    Soit $y=\e^a(x-a)+\e^a$
    D’où $y=\e^a(x-a+1)$.
    L’abscisse du point $P$ est solution de l’équation $\e^a(x-a+1)=0 \ssi x-a+1=0 \ssi x=a-1$
    Par conséquent le point $P$ a pour coordonnées $(a-1;0)$.
    $\quad$
    Cherchons maintenant une équation de $(QN)$
    Elle est de la forme $y=g'(a)(x-a)+g(a)$
    Soit $y=-\e^{-a}(x-a)+\e^{-a}$
    D’où $y=-\e^{-a}(-x+a+1)$
    L’abscisse du point $Q$ est solution de l’équation $\e^a(-x+a+1)=0 \ssi -x+a+1=0 \ssi x=a+1$
    Par conséquent le point $Q$ a pour coordonnées $(a+1;0)$.
    $\quad$
    On en déduit alors :
    $PQ=\sqrt{\left(1+a-(a-1)\right)^2+0^2}=\sqrt{2^2}=2$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule.
    $f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$
    $\quad$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui le $1-\ln(x)$.
    Or $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1 \ssi x=\e$
    $1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
    Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]0;\e]$ et décroissante sur l’intervalle $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Son maximum est donc atteint pour $x=\e$ et $f(\e)=\dfrac{\ln(\e)}{\e}=\e^{-1}$.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère un entier naturel $n\pg 3$.
    La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $f(1)=0<\dfrac{1}{n}$ et $f(\e)=\e^{-1}\approx 0,37$ donc $f(\e)>\dfrac{1}{n}$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ possède une unique solution $\alpha_n$ sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que la suite $\left(\alpha_n\right)$ soit décroissante.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n\pg 3$.
    On sait que $f\left(\alpha_n\right)=\dfrac{1}{n}$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)=\dfrac{1}{n+1}$
    Or $\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$ donc $f\left(\alpha_n\right)>f\left(\alpha_{n+1}\right)$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;\e]$. Par conséquent $\alpha_n>\alpha_{n+1}$.
    La suite $\left(\alpha_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(\alpha_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$ (les $\alpha_n$ appartiennent à l’intervalle $[1;\e]$); elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. D’une part $\dfrac{\ln\left(\beta_n\right)}{\beta_n}=\dfrac{1}{n}$ soit $\ln\left(\beta_n\right)=\dfrac{\beta_n}{n}$.
    D’autre part la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 3$ on a :
    $\beta_n\pg \beta_3$ donc $ \ln\left(\beta_n\right)\pg \ln\left(\beta_3\right)$ puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi $\dfrac{\beta_n}{n}\pg \dfrac{\beta_3}{3}$
    D’où $\beta_n\pg n\dfrac{\beta_3}{3}$
    $\quad$
    b. Puisque $\beta_3>0$ on a $\lim\limits_{n\to +\infty} n\dfrac{\beta_3}{3}=+\infty$.
    On sait que $\beta_n\pg n\dfrac{\beta_3}{3}$
    D’après le théorème de comparaison $\lim\limits_{n\to +\infty} \beta_n=+\infty$.
    $\quad$

 

 

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $\vect{AB}(2;0;4)$ et $\vect{AC}(0;-1;1)$
    $\dfrac{0}{2}\neq \dfrac{1}{4}$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. $\vect{AB}.\vect{AC}=0+0+4=4$
    $\quad$
    c. On a également $\vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}$
    Or $AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}$
    et $AC=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$
    Donc $\vect{AB}.\vect{AC}=\sqrt{20}\times \sqrt{2}\times \cos \widehat{BAC}$
    On en déduit donc $\sqrt{40}\times \cos \widehat{BAC}=4$
    Soit $ \cos \widehat{BAC}=\dfrac{4}{\sqrt{40}}$
    et $\widehat{BAC}\approx 51$°.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AB}=4+0-4=0$
    $\vec{n}.\vect{AC}=0+1-1=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme :
    $2x-y-z+d=0$
    Le point $A(-1;2;0)$ appartient à ce plan donc :
    $-2-2-0+d=0\ssi d=4$
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x-y-z+4=0$.
    $\quad$
  3. a. Le plan $\mathscr{P}_2$ est parallèle au plan d’équation $x-2z+6=0$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est donc de la forme $x-2z+d=0$.
    Le point $O$ appartient à ce plan donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}_2$ est donc $x-2z=0$ soit $x=2z$.
    $\quad$
    b. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\vec{n}_1(3;1;-2)$ et un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vec{n}_2(1;0;-2)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont par conséquent sécants.
    $\quad$
    c. Montrons que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    Pour tout réel $t$ on a :
    $\bullet$ $3\times 2t+(-4t-3)-2t+3=6t-4t-3-2t+3=0$ : la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1$
    $\bullet$ $2t-2t=0$ : la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2$
    La droite $\mathscr{D}$ est donc incluse dans les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\mathscr{D}$ est par conséquent l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
  4. Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2x-y-z+4=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2(2t)-(-4t-3)-t+4=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\4t+4t+3-t+4=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\7t+7=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\t=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=-1\\x=-2\\y=1\\z=-1\end{cases}
    \end{align*}$
    La droite $\mathscr{D}$ coupe donc le plan au point $I(-2;1;-1)$.
    $\quad$

 

 

Ex 5 spé

Exercice 5

  1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=9\times 2^n-6$
    Initialisation : $u_0=3$ et $9\times 2^0-6=9-6=3$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=9\times 2^n-6$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n+6\\
    &=2\left(9\times 2^n-6\right)+6\\
    &=9\times 2^{n+1}-12+6\\
    &=9\times 2^{n+1}-6
    \end{align*}$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=9\times 2^n-6$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier $n\pg 1$ on a
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6\\
    &=3\times 3\times 2\times 2^{n-1}-6 (*)\\
    &=6 \left(3\times 2^{n-1}-1\right)
    \end{align*}$
    $(*)$ $2^{n-1}$ est un nombre entier puisque $n\pg 1$
    Ainsi $u_n$ est divisible par $6$.
    $\quad$
  3. On a $u_6=9\times 2^6-6=570$ donc $v_6=\dfrac{570}{6}=95$ qui est divisible par $5$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} v_{n+1}-2v_n&=\dfrac{u_{n+1}}{6}-\dfrac{2u_n}{6} \\
    &=\dfrac{9\times 2^{n+1}-6}{6}-\dfrac{9\times 2^{n+1}-12}{6} \\
    &=\dfrac{9\times 2^{n+1}-6-9\times 2^{n+1}+12}{6}\\
    &=\dfrac{6}{6}\\
    &=1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après le théorème de Bezout cela signifie donc que les nombres $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    c. Pour tout entier $n\pg 1$ on a $u_n=6v_n$ et $u_{n+1}=6v_{n+1}$
    Comme $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux et que $6$ divise $u_n$  alors le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$ est $6$.
    $\quad$
  5. a. $2^4=16=15+1\equiv 1~~[5]$
    $\quad$
    b. S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=4k+2$ alors :
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+2}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2^2-6\\
    &=36\times \left(2^4\right)^k-6\\
    &\equiv 1\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv -5~~[5] \\
    &\equiv 0~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ est donc divisible par $5$ si $n$ est de la forme $4k+2$.
    $\quad$
    c. $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k}-6\\
    &=9\times 2^{4k}-6\\
    &\equiv 9\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 4-6~~[5]\\
    &\equiv -2~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k+1$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+1}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &=18\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &\equiv 18\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 3-6~~[5]\\
    &\equiv -3~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k+3$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+3}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2^3-6\\
    &=72\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &\equiv 72\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 2-6~~[5]\\
    &\equiv -4~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    par conséquent $u_n$ n’est pas divisible par $5$ pour les autres valeurs de $n$.
    $\quad$

 

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Énoncé spé

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