Bac S – Liban – juin 2017

Liban – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On a : $D(0;0;0)$, $F(1;1;1)$, $B(1;1;0)$, $E(1;0;1)$ et $G(0;1;1)$.
    Ainsi $\vect{DF}(1;1;1)$, $\vect{BE}(0;-1;1)$ et $\vect{BG}(-1;0;1)$.
    Les vecteurs $\vect{BE}$ et $\vect{BG}$ ne sont clairement pas colinéaires.
    De plus :
    $\vect{DF}.\vect{BE}=0-1+1=0$ et $\vect{DF}.\vect{BG}=-1+0+1=0$.
    Le vecteur $\vect{DF}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EBG)$. Il est par conséquent normal au plan $(EBG)$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne du plan $(EBG)$ est donc de la forme : $x+y+z+d=0$.
    Le point $E(1;0;1)$ appartient au plan donc $1+0+1+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(EBG)$ est donc :
    $$x+y+z-2=0$$
    $\quad$
  3. Une représentation paramétrique de la droite $(DF)$ est :
    $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \qquad t\in \R$.
    Les coordonnées du point $I$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x+y+z-2=0\\ x=t\\y=t\\z=t\end{cases} &\ssi \begin{cases} t+t+t-2=0\\x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}3t=2\\x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{2}{3} x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{2}{3}\end{cases} \end{align*}$
    Ainsi $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. Les côtés $[ED]$, $[DB]$ et $[EB]$ du triangle $EDB$ sont les diagonales de carré de côté de longueur $1$.
    Le triangle $EDB$ est donc équilatéral et tous ses angles mesurent $\dfrac{\pi}{3}$ radian.
    Si le point $M$ est confondu avec le point $D$ alors l’angle $\widehat{EMB}=\dfrac{\pi}{3}$.
    $\quad$
    Le triangle $EFB$ est rectangle en $F$.
    Si le point $M$ est confondu avec le point $F$ alors l’angle $\widehat{EMB}=\dfrac{\pi}{2}$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vect{DM}=x\vect{DF}$ avec $\vect{DF}(1;1;1)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{DM}=x\vect{DF} &\ssi \begin{cases} x_M-0=x\times 1\\y_M-0=x\times 1\\z_M-0=x\times 1 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_M=x\\y_M=x\\z_m=x\end{cases}\end{align*}$.
    Ainsi les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
    $\quad$
    b. On a $\vect{ME}(1-x;-x;1-x)$ et $\vect{MB}(1-x;1-x;-x)$.
    $\begin{align*} \vect{ME}.\vect{MB}&= (1-x)^2-x(1-x)+(1-x)\times -x \\
    &=1-2x+x^2-x+x^2-x+x^2\\
    &=1-4x+3x^2
    \end{align*}$
    $ME=\sqrt{(1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2}$ et $MB=\sqrt{(1-x)^2+(1-x)^2+(-x)^2}$.
    Donc
    $\begin{align*} ME\times MB &= (1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2 \\
    &=1-2x+x^2+x^2+1-2x+x^2 \\
    &=2-4x+3x^2
    \end{align*}
    $\begin{align*} \vect{ME}.\vect{MB}=ME\times MB\times \cos(\theta) &\ssi 1-4x+3x^2=\left(2-4x+3x^2\right)\cos(\theta) \\
    &\ssi \cos(\theta)=\dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le triangle $MEB$ est rectangle en $M$ si, et seulement si, $\cos(\theta)=0$.
    $\bullet$ La fonction $f$ est strictement décroissante et continue  sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$.
    $f(0)=\dfrac{1}{2}>0$ et $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}<0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$.
    Or $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$. Le point $M$ est confondu avec le point $J$.
    $\bullet$ Sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{3};1\right[$, on a $f(x)<0$.
    L’équation $f(x)=0$ ne possède aucune solution sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{3};1\right[$.
    $\bullet$ $f(1)=0$. Le point $M$ est confondu avec le point $F$.
    $\bullet$ Les seules positions du point $M$ sur le segment $[DF]$ pour lesquelles le triangle $MEB$ est rectangle en $M$ sont lorsque $M$ est confondu avec le point $J$ ou confondu avec le point $F$.
    $\quad$
    b. La fonction $\cos$ est décroissante sur l’intervalle $[0;\pi]$.
    Ainsi l’angle $\theta$ est maximal quand $\cos(\theta)$ est minimal.
    La fonction $f$ atteint son minimum pour $x=\dfrac{2}{3}$.
    L’angle $\theta$ est maximal quand $M$ est confondu avec le point $I$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

  1. Pour déterminer une estimation de la durée moyenne d’attente on va utiliser le centre des classes.
    $\begin{align*} \dfrac{1\times 75+3\times 19+5\times 10+7\times 5}{75+19+10+5}&=\dfrac{217}{109} \\
    &\approx 1,991
    \end{align*}$
    Une voiture à l’entrée du parking attend en moyenne environ $2$ minutes.
    $\quad$
  2. a. On a  :
    $\begin{align*} E(T)=\dfrac{1}{\lambda}&\ssi 2=\dfrac{1}{\lambda} \\
    &\ssi \lambda =\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut  calculer
    $\begin{align*} P(T\pp 2)&= 1-\e^{-0,5\times 2}\\
    &=1-\e^{-1} \\
    &\approx 0,632~1
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{T\pg 1}(T\pp 2)&=\dfrac{P(1\pp T\pp 2)}{P(T\pg 1)} \\
    &=\dfrac{\e^{-0,5\times 1}-\e^{-0,5 \times 2}}{\e^{-0,5\times 1}} \\
    &=\dfrac{\e^{-0,5}-\e^{-1}}{\e^{-0,5}} \\
    &\approx 0,393~5
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B – Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

  1. a. D’après l’énoncé $E(D)=70$.
    La durée moyenne de stationnement d’une voiture est donc de $70$ minutes.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $P(D\pg 120)=0,5-P(70\pp D\pp 120) \approx 0,047~8$
    $\quad$
    c. On veut trouver la valeur de $d$ telle que $P(D\pp d)=0,99$.
    En utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 140$.
    $99\%$ des voitures stationnement au plus environ $140$ minutes dans le parking.
    $\quad$
  2. $P(D\pp 15)=0,5-P(15\pp D\pp 70)\approx 0,033~4$.
    $P(15\pp D\pp 60)\approx 0,336~1$
    $P(60 \pp D\pp 120) \approx 0,582~8$ : première heure supplémentaire
    $P(120 \pp D\pp 180) \approx 0,047~8$ : deuxième heure supplémentaire
    Le gestionnaire veut que :
    $\begin{align*} E(D)=5&\ssi 0,336~1\times 3,5+0,582~8\times (3,5+t)+0,047~8\times (3,5+2t)=5 \\
    &\ssi 1,176~35+2,0398+0,582~8t+0,167~3+0,095~6t=5\\
    &\ssi 0,678~4t=1,616~55 \\
    &\ssi t=\dfrac{1,616~55}{0,678~4}
    \end{align*}$
    Ainsi $t\approx 2,38$ euros.
    L’heure supplémentaire doit donc être facturée environ $2,38$ euros.
    $\quad$

Partie C

On a donc $\mu=30$ et :
$\begin{align*} P(T’ \pp 37)=0,75 &\ssi P(T’-30\pp 7)=0,75 \\
&\ssi P\left(\dfrac{T’-30}{\sigma’}\pp \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75
\end{align*}$

Or la variable aléatoire $X=\dfrac{T’-30}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.

Ainsi, d’après la touche inverse loi normale de la calculatrice on a :
$\begin{align*} P\left(X\pp \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75 &\ssi \dfrac{7}{\sigma’} \approx 0,674~5 \\
&\ssi \sigma’ \approx 10,378~2
\end{align*}$

On a alors $P(10 \pp T’\pp 50) \approx 0,946~0 < 0,95$

L’objectif n’est donc pas atteint.

Ex 3

Exercice 3

La fonction $f_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\e^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\ssi k\e^{-x}=1 \\
&\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=-\ln k\\
&\ssi x=\ln k
\end{align*}$

$f(\ln k)=\ln k+k\e^{-\ln k}=1+\ln k$

Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$

 

Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A – Modélisation de l’âge d’un épicéa

  1. On appelle $g$ la fonction définie sur $]0;1[$ par $g(x)=\dfrac{20x}{1-x}$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;1[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $g'(x)=20\times \dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}=\dfrac{20}{(1-x)^2}$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;1[$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=30\times \dfrac{\dfrac{20}{(1-x)^2}}{\dfrac{20x}{1-x}} \\
    &=30\times \dfrac{20}{(1-x)^2}\times \dfrac{1-x}{20x} \\
    &=\dfrac{30}{x(1-x)}
    \end{align*}$
    Si $x$ appartient à l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs.
    Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} 20 \pp f(x) \pp 120 &\ssi 20 \pp 30\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \pp 120 \\
    &\ssi \dfrac{2}{3} \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \pp 4 \\
    &\ssi \e^{\frac{2}{3}}\pp \dfrac{20x}{1-x} \pp \e^4
    \end{align*}$
    D’une part :
    $\begin{align*} \e^{\frac{2}{3}} \pp \dfrac{20x}{1-x} &\ssi (1-x)\e^{\frac{2}{3}} \pp 20 x \\
    &\ssi \e^{\frac{2}{3}}-\e^{\frac{2}{3}}x \pp 20x \\
    &\ssi \e^{\frac{2}{3}}\pp \left(20+\e^{\frac{2}{3}}\right)x \\
    &\ssi \dfrac{\e^{\frac{2}{3}}}{20+\e^{\frac{2}{3}}} \pp x
    \end{align*}$
    Soit, en arrondissant au cm près, $x\pg 0,09$ mètre.
    $\quad$
    D’autre part :
    $\begin{align*} \dfrac{20x}{1-x} \pp \e^4  &\ssi 20x \pp (1-x)\e^4 \\
    &\ssi 20x \pp \e^4-\e^4 x \\
    &\ssi \left(20+\e^4\right)x \pp \e^4 \\
    &\ssi x \pp \dfrac{\e^4}{20+\e^4}
    \end{align*}$
    Soit, en arrondissant au cm près, $x \pp 0,73$ mètre.
    La fonction $f$ étant strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$, on en déduit donc que le diamètre doit être compris entre $0,08$ mètre et $0,73$ mètre pour que ce modèle.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Ce nombres signifie que chaque année, sur la période $70$ ans à $80$ ans, l’arbre a grandi de $0,245$ mètre.
    $\quad$
    b. En $C3$ on a saisi $=(C2-B2)/(C1-B1)$
    $\quad$
  2. $f(0,27)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,27}{1-0,27}\right)\approx 60$
    L’arbre a donc $60$ ans.
    Sur la période allant de $50$ ans à $70$ ans l’arbre a grandi de $0,22$ mètre par an.
    A $60$ ans, il mesure donc $11,2+10\times 0,22 = 13,4$ mètres.
    $\quad$
  3. a. On calcule les vitesse de croissance manquantes.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Âges}&50&70&80&85&90&95&100&105&110&120&130&150\\
    \hline
    \text{Vitesse}&&0,22&0,245&0,25&0,25&0,25&0,24&0,24&0,24&0,22&0,205&0,167~5\\
    \hline
    \end{array}$
    La vitesse de croissance est donc maximale entre $80$ et $95$ ans : la vitesse de croissance concerne un intervalle; donc ici les intervalles $[80;85]$, $[85;90]$ et $[90;95]$.
    $\quad$
    b. $f(0,7)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,7}{1-0,7}\right)\approx 115$
    Il est cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$ cm car la période durant laquelle la vitesse de croissance est maximale (et donc la qualité du bois est la meilleure) est dépassée.
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. a.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&3&1\\
    \hline
    2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&6&2\\
    \hline
    R&1&6&8&0&0&3&6&2\\
    \hline
    I&1&7&15&15&15&18&24&26\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a_{2k}&6&5&0&2&5&1&4\\
    \hline
    P&6&11&11&13&18&19&23\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $S=26+23+c=26+23+1=50$
    $50$ est bien un multiple de $10$. Le numéro est donc correct
    $\quad$
    c.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    a_{2k+1}&6&3&4&0&9&6&3&1\\
    \hline
    2a_{2k+1}&12&6&8&0&18&12&6&2\\
    \hline
    R&31&6&8&0&0&3&6&2\\
    \hline
    I&3&9&17&17&17&20&26&28\\
    \hline
    \end{array}$
    De plus $P=a+17$
    On veut donc que $a+17+28+1$ soit un multiple de $10$
    Soit :
    $a+17+28+1\equiv 0~~[10] \ssi a+46\equiv 0~~[10]$
    Puisque $a$ est un entier compris entre $0$ et $9$, la seule possibilité est $a=4$.
    $\quad$
  2. Si $S$ est un multiple de $10$ alors on prend $c=0$
    Si $S$ n’est pas un multiple de $10$, il existe alors un entier naturel $n$ tel que $n<S<n+1$.
    Ainsi $0<n+1-S<10$.
    Et on note $c=n+1-S$.
    Il existe donc bien une clé $c$ rendant ce numéro correct.
    $\quad$
    Supposons qu’il existe deux clés valides : $c$ et $c’$.
    On a ainsi $I+P+c\equiv I+P+c’~~[10]$ soit $c\equiv c’~~[10]$.
    Or $c$ et $c’$ sont deux entiers naturels compris entre $0$ et $9$.
    Cela signifie donc que $c=c’$ et la clé est unique.
    $\quad$
  3. Supposons que tous les chiffres soient égaux à $n$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    2a_1&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
    \hline
    R&0&2&4&6&8&1&3&5&7&0\\
    \hline
    I&0&16&32&48&64&8&24&40&56&0\\
    \hline
    P&0&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
    \hline
    S&0&24&48&72&96&48&72&96&120&72\\
    \hline
    \end{array}$
    Les seuls numéros possibles de ce type sont :
    $0000~0000~0000~0000$ et $8888~8888~8888~8888$
    $\quad$
  4. D’après la question 1. le numéro $5635~4002~9561~3411$ est valide.
    $\bullet$ Si on échange le $1$ et le $6$ : $5635~4002~9516~3411$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    a_{2k+1}&5&3&4&0&9&1&3&1\\
    \hline
    2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&2&6&2\\
    \hline
    R&1&6&8&0&0&2&6&2\\
    \hline
    I&1&7&15&15&15&17&23&25\\
    \hline
    \end{array}$
    et
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a_{2k}&6&5&0&2&5&6&4\\
    \hline
    P&6&11&11&13&18&24&28\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $S=25+28+1=54$
    Le numéro n’est donc pas valide.
    $\quad$
    $\bullet$ Si on échange le $1$ et le $3$ : $5635~4002~9563~1411$
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&1&1\\
    \hline
    2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&2&2\\
    \hline
    R&1&6&8&0&0&3&2&2\\
    \hline
    I&1&7&15&15&15&18&20&22\\
    \hline
    \end{array}$
    et
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a_{2k}&6&5&0&2&5&3&4\\
    \hline
    P&6&11&11&13&18&21&25\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $S=22+25+1=48$
    Le numéro n’est donc pas valide.
    $\quad$
    Par conséquent si on permutte le $1$ et le $6$ ou le $1$ et le $3$ alors dans les deux cas le numéro n’est pas correct.
    On ne peut donc pas déterminer l’autre chiffre permuté.
    $\quad$

Énoncé obl

Télécharger (PDF, 358KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.

Énoncé obl

Télécharger (PDF, 349KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.