Bac STMG – Antilles Guyane – juin 2017

Antilles Guyane – Juin 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a.
    $\begin{align*} 470~000\times \left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)&=470~000\times 1,015\\
    &= 477~050
    \end{align*}$
    En 2014, en l’absence de braconnage, il y avait $477~050$ éléphant d’Afrique.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,015u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=470~000$.
    $\quad$
    c. Ainsi $u_n=470~000\times 1,015^n$
    $\quad$
  2. En 2028, on a $n=48$.
    Ainsi $u_{15}=470~000\times 1,015^{15}\approx 586~609$.
    On devrait compter $586~609$ éléphants d’Afrique dans ces conditions.
    $\quad$

Partie B

  1. $24\times 4 = 96$ éléphants d’Afrique sont tués tous les jours.
    Cela représente donc $96\times 365=35~040 \approx 35~000$ éléphants d’Afrique tués par an.
    $\quad$
  2. $\dfrac{170,9-470}{470} \approx -0,636$.
    Cela correspond donc bien à une baisse d’environ $64\%$ en dix ans.
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’en $2029$, si l’on ne réagit pas, tous les éléphants d’Afrique auront été tués.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Le taux d’évolution global du tirage journalier entre 2010 et 2014 est :
    $\dfrac{1,36-1,8}{1,8} \approx -24,4\%$
    Il y a donc une baisse d’environ $24,4\%$ entre ces deux dates.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur est $1-0,244=0,756$.
    On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2010 et 2014.
    On veut donc que :
    $\begin{align*} \times \left(1-\dfrac{t}{100}\right)^4=0,756&\ssi 1-\dfrac{t}{100}=0,756^{1/4} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=1-0,756^{1/4} \\
    &\ssi t=100\left(1-0,756^{1/4}\right)
    \end{align*}$
    Donc $t\approx 6,75$
    Le taux d’évolution annuel moyen entre 2010 et 2014 est donc d’environ $-6,75\%$.
    $\quad$
  3. Selon ce modèle, en 2017, le tirage journalier sera de $1,36\times 0,93^3\approx 1,09$ million d’exemplaires.
    $\quad$

Partie B

  1. Voir graphique
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=-0,12x+1,83$.
    $\quad$
  3. a.

    $\quad$
    b. En 2017, $x=7$ donc $y=-0,1\times 7 +1,8=1,1$
    Selon ce modèle, on peut prévoir un tirage journalier de $1,1$ million d’exemplaires en 2017.
    $\quad$

Partie C

  1. a. D’après l’énoncé $P_T(R)=0,53$
    $\quad$
    b. On a $P(S)=\dfrac{2}{5}$ et $P(T)=0,1$.
    Les événements $S$ et $T$ sont incompatibles donc $P(S\cup T)=\dfrac{2}{5}+0,1=0,5$.
    Cela signifie donc que $50\%$ des personnes naviguent sur un site à partir d’un appareil mobile parmi les personnes interrogées.
    Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $P(O)=0,5$ et utiliser l’événement contraire.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    b. On a
    $\begin{align*} P(A)&=P(S\cap R) \\
    &=0,4\times 0,65 \\
    &=0,26
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(S\cap R)+P(T\cap R)+P(O\cap R) \\
    &=0,26+0,1\times 0,53+0,5\times 0,59 \\
    &=0,608 \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(O)&=\dfrac{P(R\cap O)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,59}{0,608} \\
    &\approx 0,49
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A 

  1. En $D3$ il a pu saisir $=(C3-C2)/C2$.
    $\quad$
  2. En $E3$ il a pu saisir $=(B3-B2)/B2$.
    $\quad$
  3. a. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen du prix du menu entre l’été 2012 et l’été 2015.
    On a alors :
    $\begin{align*} 9,8\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=13,8 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=\dfrac{13,8}{9,8} \\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} -1\\
    &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} -1\right) \end{align*}$
    Donc $t\approx 12,09$
    Le taux d’évolution annuel moyen du prix du menu entre l’été 2012 et l’été 2015 est donc d’environ $12,09\%$
    $\quad$
    b. Durant l’été 2017, le menu devrait coûter $13,8\times 1,1209^2\approx 17,34$ euros.
    $\quad$
  4. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen du nombre hebdomadaire moyen de couverts entre l’été 2012 et l’été 2015.
    On a alors :
    $\begin{align*} 420\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=345 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=\dfrac{345}{420} \\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} -1\\
    &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} -1\right) \end{align*}$
    Donc $t\approx -6,35$
    Le nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l’été 2017 devrait donc être environ égal à $345\times \left(1-\left(\dfrac{6,35}{100}\right)^2\right) \approx 303$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $N(11)=-19\times 11+604=395$.
    Si le prix du menu est de $11€$ alors le nombre hebdomadaire moyen de couverts est de $395$.
    $\quad$
    b. Le chiffre d’affaire hebdomadaire est donc égal à $395\times 11=4~345€$.
    $\quad$
    c. On a $C(x)=x\times N(x)=-19x^2+604x$.
    $\quad$
  2. a. C'(x)=-19\times 2x+604=-38x+604$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} C'(x)>0 &\ssi -38x+604>0 \\
    &\ssi -38x>-604 \\
    & \ssi x<\dfrac{302}{19}
    \end{align*}$
    Et $C(x)=0 \ssi -38x+604=0 \ssi x=\dfrac{302}{19}$
    Ainsi :
    $\bullet$ $C'(x)$ est positif sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{302}{19}\right[$
    $\bullet $C’\left(\dfrac{302}{19}\right)=0$
    $\bullet $C'(x)$ est négatif sur l’intervalle $\left]\dfrac{302}{19};25\right]$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variation suivant :
  3. a. D’après le tableau de variation, la fonction $C$ atteint son maximum si $x=\dfrac{302}{19}\approx 15,89$.
    Le chiffre d’affaires hebdomadaire de la brasserie est donc maximal si le prix du menu est de $15,89€$.
    $\quad$
    b. On a $C\left(\dfrac{302}{19}\right)\approx 4~800$.
    Le chiffre d’affaires hebdomadaire maximal de la brasserie est donc d’environ $4~800€$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=50 \pg 25$ et $f=\dfrac{39}{50}=0,78$.
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion de clients favorables à ce changement est :

$\begin{align*} I_{50}&=\left[0,78-\dfrac{1}{\sqrt{50}};0,78+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right] \\
&\approx [0,63;0,93]
\end{align*}$
$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $p(T<145)=0,5+p(135<T<145) \approx 0,977$
    $p(125 < T<145) \approx 0,954$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a $n=400 \pg 25$ et $p=0,43$ donc $0,2<p<0,8$
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,43-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,43+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,38;0,48]
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a : $u(x)=2x+1$ soit $u'(x)=2$
    et $v(x)=x-2$ soit $v'(x)=1$
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2)^2} \\
    &=\dfrac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2} \\
    &=\dfrac{-5}{(x-2)^2}
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. La droite $D$ passe par les point s de coordonnées $(1;4)$ et $(2;1)$.
    Son coefficient directeur est $a=\dfrac{1-4}{2-1}=-3$
    Une équation de la droite $D$ est donc de la forme $y=-3x+b$
    Le point $A(2;1)$ appartient à cette droite.
    Donc $1=-3\times 2+b \ssi 1=-6+b \ssi b=7$
    Une équation de la droite $D$ est donc $y=-3x+7$
    Réponse a
    $\quad$

Énoncé

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