Bac STMG – Métropole – juin 2017

Métropole – Juin 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
  2. On veut calculer $p(R\cap I)=0,824\times 0,569 = 0,468~856 \approx 0,469$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(I)&=p(R \cap I)+p(S\cap I)+p(V\cap I) \\
    &=0,824\times 0,569+0,094\times 0,579+0,082\times 0,483 \\
    &=0,562~888\\
    &\approx 0,563
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_I(R)&=\dfrac{p(I\cap R)}{p(I)} \\
    &\approx\dfrac{0,469}{0,563} \\
    &\approx 0,833
    \end{align*}$

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Le taux d’évolution global du SMIC entre 2011 et 2015 est :
    $\dfrac{9,61-9}{9}\approx 6,8\%$
    Réponse b$\quad$
  2. On appelle $t$ le taux d’évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015.
    On a alors :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{t}{100 }\right)^4=1,068 &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=1,068^{\frac{1}{4}} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=1,068^{\frac{1}{4}}-1\\
    &\ssi t=100\left(1,068^{\frac{1}{4}}-1\right) \\
    &\ssi t\approx 1,7
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On peut saisir la formule $=(C2-B2)/B2$
    Réponse c
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice $p(50 \pp X\pp 70) \approx 0,954$
    Réponse c
    $\quad$
  2. $p(X \pg 65)=1-p(X \pp 65) \approx 0,159$
    Réponse b
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : Étude du coût total

  1. $C(0)=1~000$
    Les coûts fixes s’élèvent à $1~000$ euros.
    $\quad$
  2. a. Graphiquement, on lit que le coût total lorsque l’entreprise produit $6$ km de tissu est d’environ $2~000$ euros.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*}
    C(6)&=15\times 6^3-120 \times 6^2+350\times 6+1~000\\
    &=2~020
    \end{align*}$
    La valeur exacte est donc de $2~020$ euros.
    $\quad$
  3. Graphiquement un coût total de $5~500$ euros correspond à une production d’environ $9$ km de tissu.
    $\quad$

Partie B : Étude  du bénéfice

  1. Pour tout nombre $x\in[0;10]$ on a $R(x)=530x$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}
    B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=530x-15x^3+120x^2-350x-1~000\\
    &=-15x^3+120x^2+180x-1~000
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180\\
    &=-45x^2+240x+180
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $B'(x)$ est un polynôme du second degré avec $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    $\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac\\
    &=240^2-4\times (-45)\times 180 \\
    &=90~000\\
    &>0
    \end{align*}$
    Il y a donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-2\times 45}=6$
    $x_2=\dfrac{-240+\sqrt{90~000}}{-2\times 45}=-\dfrac{2}{3}$
    Puisque $a=-45<0$, $B'(x)$ est positif entre les racines et négatif en dehors.
    Par conséquent $B'(x) \pg 0$ sur l’intervalle $[0;6]$ et $B'(x) \pp 0$ sur l’intervalle $[6;20]$.
    $\quad$
    Ainsi la fonction $B$ est croissante sur l’intervalle $[0;6]$ et décroissante sur l’intervalle $[6;20]$.
    $\quad$
  5. a. et b. La fonction $B$ atteint donc son maximum pour $x=6$.
    $B(6)=1~160$.
    Le bénéfice maximum est atteint quand l’entreprise produit $6$ km de tissus et il est alors de $1~160$ euros.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Une équation de la droite est $y=150,65x+2~218,33$
    $\quad$
  2. a. La droite passe par les points de coordonnées $(0;2~218,3)$ et $(10;3~725,3)$.

    b. En 2020 $x=10$ donc $y=150,7\times 9+2~218,3=3~574,6$
    Au 1er janvier 2020, le prix moyen d’un tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire devrait être $3~574,6$ dollars.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $u_0=3~081,45$
    Par conséquent $u_1=1,04\times u_0\approx 3~204,71$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,04u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3~081,45\times 1,04^n$.
    $\quad$
  4. En $2020$ on a $n=5$
    $u_5=3~081,45\times 1,04^5\approx 3~749,06$.
    En 2020, une tonne de cacao devrait coûter $3~749,06$ dollars.
    $\quad$
  5. L’algorithme affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 4~000$.
    On a $u_6\approx 3~899,02$ et $u_7\approx 4~054,98$.
    Cela signifie donc que c’est en 2020 que le prix moyen d’une tonne de cacao dépassera $4~000$ dollars.
    $\quad$

Énoncé

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