Bac STMG – Polynésie – juin 2017

Centres Polynésie – Juin 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. A l’aide de la calculatrice on obtient l’équation $y=-0,279x+55,594$
    $\quad$
  2. a. $y=-0,28x+55,6$
    Si $x=0$ alors $y=55,6$
    Si $x=20$ alors $y=50$.

    b. Le 6 mai on a $x=13$ donc $y=-0,28\times 13+55,6=51,96$.
    Selon ce modèle, le 6 mai, le candidat A remporte $51,96\%$ des voix.
    $\quad$
    c. Le candidat B est élu si les intentions de votes pour le candidat A sont inférieures à $50\%$.
    On résout donc
    $\begin{align*} -0,28x+55,6<50 &\ssi -0,28x<-5,6 \\
    &\ssi x >\dfrac{-5,6}{-0,28} \\
    &\ssi x>20
    \end{align*}$
    C’est à partir du 13 mai que le candidat B serait passé en tête des sondages d’après ce modèle.
    $\quad$
  3. a. On a $n=1~225 \pg 25$ et $p=0,52$ donc $0,2 \pp p \pp 0,8$.
    Un intervalle de fluctuation au niveau de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{1~225}&=\left[0,52-\dfrac{1}{\sqrt{1~225}};0,52+\dfrac{1}{\sqrt{1~225}}\right] \\
    &\approx [0,491;0,549]
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. $0,491<0,5$ donc la victoire de ce candidat n’était pas assurée.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. D’après l’arbre précédent on a :
    $p(T\cap V)=0,6\times 0,72=0,432$
    $\quad$
  3. On veut calculer $p\left(\conj{T}\cap \conj{V}\right)=0,4\times 0,04=0,016$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(V)&=p(T\cap V)+p\left(\conj{T}\cap V\right) \\
    &=0,432+0,4\times 0,96 \\
    &=0,816
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_V(T)&=\dfrac{p(V\cap T)}{p(V)} \\
    &=\dfrac{0,432}{0,816} \\
    &\approx 0,529
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a $U_0=81,6$ donc $U_1=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)\times 81,6=0,95\times 81,6=77,52$
    $U_2=0,95\times U_1=73,644$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=0,95U_n$
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=81,6\times 0,95^n$.
    $\quad$
  3. En 2020, on a $n=4$ donc $U_4=81,6\times 0,95^4\approx 66,46$
    En 2020, $66,46\%$ des employés devraient venir en voiture.
    $\quad$
  4. On cherche la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ tel que :
    $U_n<50 \ssi 81,6 \times 0,95^n<50$
    D’après la calculatrice, on a :
    $U_{9}\approx 51,4$ et $U_{10}\approx 48,9$
    C’est donc à partir de l’année 2026 que moins d’un employé sur deux viendra travailler en voiture.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 1990 et 2000 :
    $t_1=\dfrac{21~498-17~643}{17~643}\approx 21,85\%$
    Taux d’évolution du salaire net moyen des femmes entre 1990 et 2000 :
    $t_2=\dfrac{17~259-13~258}{13~258}\approx 30,18\%$
    $\quad$
  2. On a $t_2>t_1$ donc les femmes ont la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000.
    $\quad$
    Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 2000 et 2010 :
    $t_3=\dfrac{26~831-21~498}{21~498}\approx 24,81\%$
    Taux d’évolution du salaire net moyen des femmes entre 2000 et 2010 :
    $t_4=\dfrac{22~112-17~259}{17~259}\approx 28,12\%$
    On constate que $t_4>t_3$. La tendance s’est donc confirmée durant les dix années suivantes mais l’écart entre les deux taux d’évolution s’est atténué.
    $\quad$
  3. On appelle $t$ le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=1,218~5 &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=1,218~5^{\frac{1}{10}} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=1,218~5^{\frac{1}{10}}-1 \\
    &\ssi t=100\times \left(1,218~5^{\frac{1}{10}}-1\right)
    \end{align*}$
    Ainsi le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 est d’environ $1,996\%$ ce qui est nettement inférieur à celui des femmes.
    $\quad$

Partie B

  1. $h(15)=0,25\times 15^3+2\times 15^2+318\times 15+17~865$ $=23~928,75$
    $f(15)=0,6\times 15^3-13\times 15^2+470\times 15+13~324$ $=19~474$
    Cela signifie donc qu’en 2005, le salaire net annuel des hommes était d’environ $23~929$ euros et celui des femmes de $19~474$ euros.
    $\quad$
  2. $h(30)=35~955$ et $f(30)=31~924$
    L’écart est donc de $35~955-31~924=4~031$ euros.
    $\quad$
  3. L’écart entre ces deux salaires est modélisé par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0;30]$ (pour aller de 1990 à 2020) par :
    $\begin{align*} g(x)&=h(x)-f(x)\\
    &=0,25x^3+2x^2+318x+17~864-\left(0,6x^3-13x^2+470x+13~324\right) \\
    &=-0,35x^3+15x^2-152x+4~541
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*} g'(x)&=-0,35\times 3x^2+15\times 2x-152 \\
    &=-0,95x^2+30x-152
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. $g'(x)$ est un polynôme du second degré avec $a=-0,95$, $b=30$ et $c=-152$.
    $\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac \\
    &=30^2-4\times (-0,95)\times (-152) \\
    &=900-577,6\\
    &=322,4\\
    &>0\end{align*}$
    Il y a donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{322,4}}{-2\times 0,95} \approx 25,24$
    $x_2=\dfrac{-30+\sqrt{322,4}}{-2\times 0,95} \approx 6,34$
    Puisque $a<0$ on obtient le tableau de signes suivant :
  6. D’après le tableau de signes précédents on constate que l’écart entre les salaires annuels moyens des hommes et des femmes a augmenté sur l’intervalle $\left[x_2;x_1\right]$ soit environ entre 1997 et 2015. On ne peut donc pas affirmer que cet écart n’a fait que diminuer depuis 1990.
    $\quad$

Partie C

  1. $X$ prend la valeur $0$
    $H$ prend la valeur $17865$
    $F$ prend la valeur $13324$
    Tant que $F<H$
    $\quad$ $X$ prend la valeur $X+1$
    $\quad$ $H$ prend la valeur $0,25X^3+2X^2+318X+17865$
    $\quad$ $F$ prend la valeur $0,6X^3-13X^2+470X+13324$
    Fin tant que
    $A$ prend la valeur $1990+X$
    Afficher $A$
    $\quad$
    $\quad$
  2. D’après le tableau, cet algorithme affichera $2031$.
    $\quad$

 

Énoncé

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