DNB – Amérique du Sud – novembre 2017

Amérique du Sud – Novembre 2017

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Ex 1

Exercice 1

  1. Sur les huit boules, quatre boules portent le numéro $7$.
    La probabilité de tirer une boule portant le numéro $7$ est donc $p=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  2. Trois boules sur les huit portent un numéro pair.
    La probabilité de tirer un numéro pair est donc $\dfrac{3}{8}$.
    Par conséquent la probabilité de tirer un numéro impair est $\dfrac{5}{8}$.
    Or $\dfrac{3}{8}<\dfrac{5}{8}$.
    Wacim a donc tort.
    $\quad$
  3. Sur les sept boules restantes, quatre portent le numéro $7$.
    La probabilité que Baptiste tire une boule portant le numéro $7$ est $\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Dans le triangle $IBH$ rectangle en $H$ on a :
$\tan \widehat{JBH}=\dfrac{JH}{HB}$ soit $\tan 30=\dfrac{1,8}{HB}$
D’où $HB=\dfrac{1,8}{\tan 30}\approx 3,12$ m.
Ainsi $KH=5-HB\approx 1,88$
L’aire de la partie grisée est donc :
$\mathscr{A} = 2KH\times 8 \approx 30,08$ m$^2$.
Le prix du loyer sera donc au maximum de $30,08\times 20=601,6$ € .
Elle ne pourra pas louer son studio à $700$ €.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $-3 \overset{\times 6}{\longrightarrow} -18 \overset{+5}{\longrightarrow} -13$
    Léo obtient $-13$.
    $\quad$
    b. $-3 \overset{+8}{\longrightarrow} 5 \overset{\times (-3)}{\longrightarrow} -15\overset{-(-3)^2}{\longrightarrow}-24$
    Julie obtient $-24$.
  2. On note $x$ le nombre choisi au départ.
    Voici les différentes valeurs obtenues par Léo :
    $x \overset{\times 6}{\longrightarrow} 6x \overset{+5}{\longrightarrow} 6x+5$
    Et celles obtenues par Julie :
    $x \overset{+8}{\longrightarrow} x+8 \overset{\times x}{\longrightarrow} x^2+8x\overset{-x^2}{\longrightarrow}8x$
    $\quad$
    On veut donc résoudre l’équation :
    $6x+5=8x$ soit $5=2x$ d’où $x=2,5$.
    Il faut donc choisir le nombre $2,5$ pour que Léo et Julie obtienne le même résultat.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Affirmation 1 fausse : $11\times 13=143$ est à la fois un multiple de $11$ et de $13$.

$\quad$

Affirmation 2 fausse : $231=11\times 23$ donc $231$ n’est pas un nombre premier.

$\quad$

Affirmation 3 vraie : $\dfrac{1}{3}\times \dfrac{6}{15}=\dfrac{1\times 2 \times 3}{3\times 15}=\dfrac{2}{15}$

$\quad$

Affirmation 4 fausse : $15-5\times 7+3=15-35+3=-17$

$\quad$

Affirmation 5 vraie : dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
D’une part $AC^2=7,5^2=56,25$
D’autre part $AB^2+BC^2=4,5^2+6^2=56,25$
Donc $AC^2=AB^2+BC^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

$\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. En 1980, le pétrole représentait $56,4\%$ de la consommation d’énergie.
    $\quad$
  2. Sur le diagramme, l’électricité et le pétrole d’une part et le charbon et le gaz d’autre part semblent avoir des pourcentages relativement proches. Il s’agit donc de l’année 1990
    $\quad$
  3. a. $P(1~990)=-\dfrac{17}{48}\times 1~990+743,5=-\dfrac{16~915}{24}+\dfrac{17~844}{24}=\dfrac{929}{24}\approx 38,7$
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation :
    $P(a)=0$ soit $-\dfrac{17}{48}a+743,5=0$
    c’est-à-dire $\dfrac{17}{48}a=743,5$
    par conséquent $a=\dfrac{743,5}{\dfrac{17}{48}}$
    d’où $a=743,5\times \dfrac{48}{17}$
    par conséquent $a\approx 2~099,3$
    C’est donc à partir de l’année $2~100$ que, selon ce modèle, la part du pétrole sera nulle.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. a. Dans le programme n°1, la longueur des côtés des carrés augmentent à chaque étape de $20$ pixels.
    Sur le dessin n°2, les longueurs des côtés des carrés 2,3 et 4 ont été augmentées de la même quantité qui semble être le double de la longueur du côté du premier carré. Ce dessin a donc été obtenu avec le programme n°1.
    $\quad$
    b. Sur le dessin n°1, les longueurs des côtés semblent être augmentées de $10$ pixels. Le programme n°2 multiplie à chaque étape les longueurs des côtés des carrés par $2$. C’est donc le dessin n°3 qu’on a obtenu avec ce programme.
    $\quad$
    c. Avec le programme n°1, la longueur du côté du plus grand carré est $10+3\times 20=70$ pixels.
    Avec le programme n°2, la longueur du côté du plus grand carré est $10\times 2\times 2\times 2=10\times 2^3=90$ pixels.
    $\quad$
  2. Dans la modification 3, on avance de “longueur+10” qu’une seule fois puisque cette instruction est en dehors de la répétition.
    Dans la modification 2, on modifie la longueur avant d’avance. L’écart entre les carrés doit donc être différent avec cette modification.
    Par conséquent, seule la modification 1 convient.
    $\quad$

Ex 7

Exercice 7

  1. La valeur énergétique de cet œuf est :
    $5,3\times 9+6,4\times 4+0,6\times 4=75,7$ kcal.
    $\quad$
  2. La valeur énergétique des glucides pour $100$ g de chocolat est :
    $520-(30\times 9+4\times 4,5)=232$ kcal
    Donc la masse de glucide, pour $100$ g de chocolat est $\dfrac{232}{4}=58$ g.
    Par conséquent, dans $200$ g de chocolat il y a $2\times 58=116$ g de glucide.
    $\quad$

Énoncé

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