TS – Bac blanc 2014 – Ex 1

Exercice 1         5 points

Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

  1.  Étude d’une fonction auxiliaire
    a.
    Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0~;~ +\infty[$ par
    \[g(x) = x^2\text{e}^x – 1.\]
    Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
    Démontrer que $a$ appartient à l’intervalle $[0,703~;~0,704[$.
    $\quad$
    c. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.
    $\quad$
  2. Étude de la fonction  $f$
    a. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
    $\quad$
    b. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$.
    Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    $\quad$
    c. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$.
    $\quad$
    d. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $$m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$$
    $\quad$
    e. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.

Correction

  1. a. $g'(x) = 2x\text{e}^x + x^2\text{e}^x = x\left(2 + x \right)\text{e}^x$
    Sur $]0;+\infty[$, $x$ et $x+2$ sont positifs. Par conséquent, $g'(x) > 0$ pour tout $x > 0$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. 
    La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $g(0)=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^2\text{e}^x = +\infty$. Donc $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}g(x) = +\infty$ . $0 \in ]-1;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection, il existe un unique $a \in [0;+\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
    $g(0,703) \thickapprox -1,8 \times 10^{-3} < 0 \quad$ et $\quad g(0,704) \thickapprox 2 \times 10^{-3} > 0$.
    Donc $a \in [0,703;0,704]$.
    $\quad$
    c. Par conséquent $g(x) < 0$ sur $[0;a[$, $g(a) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]a;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. $\lim\limits_{x\rightarrow0^+} \text{e}^x = 1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x\rightarrow0^+} f(x) = +\infty$
    $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$
    $\quad$
    b.
     $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$; elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
    Et $f'(x) = \text{e}^x – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2\text{e}^x – 1}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    $\quad$
    c. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$.
    TS - BB 2014 - ex1
    d. $f$ admet donc un minimum en $a$. Or $g(a) = a^2\text{e}^a-1 = 0$ d’où $\text{e}^a = \dfrac{1}{a^2}$.
    $m = f(a) = \text{e}^a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$.
    $\quad$
    e. $0,703 < a < 0,704$ donc : $\dfrac{1}{0,704} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{0,703}$ $\quad$ et $\quad$ $\dfrac{1}{0,704^2} < \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{0,703^2}$
    Soit $\dfrac{1}{0,704}+\dfrac{1}{0,704^2} < m < \dfrac{1}{0,703} + \dfrac{1}{0,703^2}$
    d’où $3,43 < m < 3,45$.