TS - Bac Blanc 2014

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissance

On admet le résultat suivant :

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $a$ strictement positif, $\displaystyle (1+a)^n \ge 1+na$.

Lorsque $q > 1$, montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty$.

$\quad$

Partie B

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\\\
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]

Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$.
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}.\]
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_{n} = \dfrac{n}{2^n}.\]
$\quad$
Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x – x \ln 2$.
a. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

Correction

Partie A : Restitition organisée de connaissance

Si $q > 1$ il existe donc un réel $a > 0$ tel que $q = 1 +a$.

Par conséquent $ q^n = (1 + a)^n \ge 1 + na$

Or, puisque $a > 0$, $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (1 + na) = +\infty$. Donc, d’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} q^n = +\infty$

$\quad$

Partie B

$u_2 = \dfrac{1 + 1}{2 \times 1}u_1 = \dfrac{1}{2}$ $\qquad$ $u_3 = \dfrac{2 + 1}{2 \times 2} u_2 = \dfrac{3}{8}$ $\qquad$ $u_4 = \dfrac{3 + 1}{2 \times 3}u_3 = \dfrac{1}{4}$
$\quad$
a. Initialisation : $u_1 = \dfrac{1}{2} > 0$. La propriété et donc vraie au rang 1.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$.
Alors $u_{n+1} = \dfrac{n+1}{2n}u_n$. $n > 0$ donc $n+1>0$ et $2n > 0$.
Par conséquent $u_{n+1} > 0$.
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang 1. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang $n+1$.
Par conséquent, pour tout entier non nul $n$, $u_n > 0$.
$\quad$
b. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{n+1}{2n}u_n – u_n = \dfrac{1 – n}{2n}u_n$.
Or $n$ est un entier naturel non nul. Par conséquent $1 – n <0$. On sait grâce à la question précédente que $u_n > 0$. Par conséquent $u_{n+1} – u_n < 0$ et la suite $(u_n)$ est décroissante.
$\quad$
c. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0. Elle converge donc.
$\quad$
a. $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{n+1}=$ $\dfrac{\dfrac{n+1}{2n}u_n}{n+1} =$ $\dfrac{1}{2n}u_n =$ $\dfrac{1}{2}v_n$.
De plus $v_1 = \dfrac{u_1}{1} = \dfrac{1}{2}$.
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de premier terme $v_1 = \dfrac{1}{2}$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. On a donc $v_n = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} = \dfrac{1}{2^n}$. Mais on a également $v_n=\dfrac{u_n}{n}$.
Par conséquent $u_n = \dfrac{n}{2^n}$.
$\quad$
a. $f(x) = x\left(\dfrac{\text{ln}~x}{x} – \text{ln}~2 \right)$. On sait que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{ln}~x}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{\text{ln}~x}{x} – \text{ln}~ 2 \right) = -2$.
On en déduit donc que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty$
$\quad$
b. $\text{ln}~u_n = \text{ln}~n – n\text{ln}~2 = f(n)$. D’après la question précédente, on peut dire que : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \text{ln}~u_n = -\infty$.
Comme $u_n= \text{e}^{\ln u_n}$ et que $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x =0$, on en déduit que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$