TS – Complexes 3 – Ex 6

Exercice 6

On rappelle les formules trigonométriques :
$$\cos 2a = 2\cos^2 a – 1 \quad \text{et} \quad \sin(2a) = 2\sin a \cos a$$

On note $z_1 = 1 + \cos \alpha + \ic \sin \alpha$ avec $\alpha \in [0;\pi[$.

  1. Démontrer que $z_1 = 2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \dfrac{\alpha}{2} + \ic \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. En déduire le module et un argument de $z_1$.
    $\quad$
  3. Reprendre la question précédente lorsque $\alpha \in ]\pi;2\pi]$.

Correction

  1. $\quad$
    $\begin{align}  z_1 & = 1 + \cos \dfrac{2 \alpha}{2} + \ic \sin \dfrac{2\alpha}{2} \\\\
    & = 2\cos^2 \dfrac{\alpha}{2} + 2\ic \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} \\\\
    & = 2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \dfrac{\alpha}{2} + \ic \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $\alpha \in [0;\pi|$ donc $\dfrac{\alpha}{2} \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[$
    Par conséquent $\cos \dfrac{\alpha}{2} > 0$ et $\sin \dfrac{\alpha}{2} \ge 0$
    On a donc fournit la forme trigonométrique de $z_1$.
    Ainsi $\left|z_1 \right| =2\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et arg$(z_1) = \dfrac{\alpha}{2} \quad (2\pi)$.
    $\quad$
  3. $\alpha \in [\pi;2\pi|$ donc $\dfrac{\alpha}{2} \in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$
    Par conséquent $\cos \dfrac{\alpha}{2} < 0$ et $\sin \dfrac{\alpha}{2} \ge 0$
    Ainsi, l’expression de $z_1$ n’est donc pas donnée sous sa forme trigonométrique.
    $\begin{align} z_1 &= -2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(-\cos \dfrac{\alpha}{2} – \ic \sin \dfrac{\alpha}{2}\right) \\\\
    &= -2\cos \dfrac{\alpha}{2} \left(\cos \left(\pi + \dfrac{\alpha}{2}\right) + \ic \sin \left(\pi + \dfrac{\alpha}{2}\right)\right)
    \end{align}$
    Donc $\left|z_1\right| = -2\cos \dfrac{\alpha}{2}$ et arg$\left(z_1\right) = \pi + \dfrac{\alpha}{2} \quad (2\pi)$