TS – cours – Fonction exponentielle

La fonction exponentielle

I Définition

Le théorème suivant définit une nouvelle fonction très utile en mathématiques et dans de nombreuses autres matières.

Théorème 1 : Définition de l’exponentielle
Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant :

  • $f'(x)=f(x)$ pour tout $x$
  • $f(0)=1$.

Cette fonction est appelée exponentielle et on la note “exp”.
$\exp(x)$ se lit “exponentielle de $x$” ou “exponentielle $x$”.

Preuve Théorème 1

  • On admet l’existence d’une telle fonction.
  • Nous allons montrer l’unicité d’une telle fonction.
    Nous allons dans un premier temps montrer qu’une fonction vérifiant ces propriétés ne s’annule pas.
    On appelle $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x) = f(x) \times f(-x)$.
    La fonction $f$ étant dérivable sur $\R$ alors la fonction $\varphi$ l’est aussi, par produit.
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \varphi'(x) &= f'(x)\times f(-x) + f(x) \times \left(-f'(-x) \right) \\
    &= f(x)\times f(-x) – f(x) \times f(-x) \qquad \text{(car } f'(x) = f(x) \\
    &= 0
    \end{align*}$$
    On en déduit donc que la fonction $\varphi$ est constante.
    Or on sait que $f(0)=1$. Par conséquent $\varphi(0)= 1$.
    Donc, pour tous réels $x$, $f(x) \times f(-x) = 1$ et la fonction $f$ ne s’annule jamais.
    $\quad$
    Montrons maintenant l’unicité de la fonction $f$.
    Nous allons considérer une autre fonction $g$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant $g'(x)=g(x)$ et $g(0) = 1$.
    On appelle $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$ (On sait que la fonction $f$ ne s’annule pas; la fonction $h$ est donc bien définie).
    $h$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $$\begin{align*} h'(x) &= \dfrac{g'(x) \times f(x) – g(x) \times f'(x)}{\left(f(x) \right)^2} \\
    & = \dfrac{g(x)\times f(x) – g(x) \times f(x)}{\left(f(x) \right)^2} \\
    &= 0
    \end{align*}$$
    La fonction $h$ est donc également constante.
    Or $h(0) = \dfrac{g(0)}{f(0)} = 1$.
    Donc pour tous réels $x$, $\dfrac{g(x)}{f(x)} = 1$.
    Cela signifie donc que, pour tous réels $x$, on a $f(x) = g(x)$.
    La fonction $f$ est bien unique.

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$\quad$

II Propriétés de la fonction exponentielle

 Propriété 1 :

La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et, pour tous réels $x$, on $\exp'(x)=\exp(x)$.

Remarque : Cette propriété découle directement de la définition de la fonction exponentielle.

 Propriété 2 :

Pour tous réels $a$ et $b$ on a $\exp(a+b) = \exp(a) \times \exp(b)$.

Preuve Propriété 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \exp(a+b-x) \times \exp(x)$.
Cette fonction est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
$$\begin{align*} f'(x) &= -\exp'(a+b-x) \times \exp(x) + \exp(a + b -x) \times \exp'(x) \\
&= -\exp(a+b-x) \times \exp(x) + \exp(a+b-x) \times \exp(x)\\
&= 0
\end{align*}$$
La fonction $f$ est donc constante.
Mais $f(0) = \exp(a+b) \times \exp(0) = \exp(a + b)$.
Ainsi Pour tous réels $x$, on a donc $f(x) = \exp(a+b-x) \times \exp(x) = \exp(a+b)$.
En particulier si $x=b$, $f(b) = \exp(a) \times \exp(b) = \exp(a+b)$

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$\quad$

Exemple : $\exp(5)=\exp(2+3)=\exp(2) \times \exp(3)$

 Propriété 3 :

Pour tous réels $x$, on a $\exp(x) > 0$.

Preuve Propriété 3

Pour tous réels $x$, on a $x=\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}$.
On peut alors utiliser la propriété précédente :
$$\begin{align*} \exp(x) &= \exp \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} \right) \\
&= \exp \left( \dfrac{x}{2} \right) \times \exp \left( \dfrac{x}{2} \right) \\
& = \left( \exp \left(\dfrac{x}{2} \right) \right)^2 \\
& > 0 \end{align*}$$
En effet, d’après la preuve du théorème-définition, la fonction exponentielle ne s’annule jamais.

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$\quad$

 Propriété 4 :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.

Preuve Propriété 4

On sait que pour tout $x$, $\exp'(x) = \exp(x)$.
D’après la propriété précédente $\exp(x) > 0$.
Donc $\exp'(x) > 0$.

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$\quad$

 Propriété 5 :

On considère deux réels $a$ et $b$ ainsi qu’un entier relatif $n$.

  1. $\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$
  2. $\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b)$
  3. $\exp(na) = \left( \exp(a) \right)^n$

Preuve Propriété 5

  1. On sait que $\exp(0) = 1$
    Mais on a aussi $\exp(0) = \exp(a+(-a)) = \exp(a) \times \exp(-a)$.
    Par conséquent $\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \exp(a-b) &= \exp \left( a+(-b) \right)\\
    & = \exp(a) \times \exp(-b) \\
    & = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} \\
    & = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. Nous allons démontrer par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $\exp(0 \times a) = \exp(0) = 1$ et $\exp(a)^0=1$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose que la propriété vraie au rang $n$ : $\exp(na) = \left( \exp(a) \right)^n$
    $$\begin{align*} \exp \left((n+1)a \right) &= \exp(na + a) \\
    & = \exp(na) \times \exp(a) \\
    & = \left( \exp(a) \right)^n \times \exp(a) \\
    &= \left( \exp(a) \right)^{n+1}
    \end{align*}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc pour tous entiers naturels $n$, on a $\exp(na) = \left( \exp(a) \right)^n$.
    $\quad$
    On considère maintenant un entier relatif $n$ strictement négatif.
    Il existe donc un entier naturel $m$ tel que $n=-m$.
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \exp(na) &= \dfrac{1}{\exp(-na)} \\
    &=\dfrac{1}{\exp(ma)} \\
    & = \dfrac{1}{\left( \exp(a) \right)^{m}} \\
    & = \left( \exp(a) \right)^{-m}\\
    & = \left(\exp(a)\right)^n
    \end{align*}$$

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$\quad$

Exemples :

  • $\exp(-10)=\dfrac{1}{\exp(10)}$
  • $\dfrac{\exp(12)}{\exp(2)} = \exp(12-2)=\exp(10)$
  • $\exp(30) = \exp(3 \times 10) = \left(\exp(10)\right)^3$

$\quad$

III Notation $\boldsymbol{\e^x}$

Notation : Par convention on note $\e=\exp(1)$ dont une valeur approchée est $2,7182$.

D’après la propriété 5, on peut écrire, pour tous entiers relatifs $n$ :

$$\begin{align*} \exp(n) &= \exp(1 \times n) \\
&= \left( \exp(1) \right)^n \\
&= \e^n
\end{align*}$$

Définition 1 :
On généralise cette écriture valable pour les entiers relatifs à tous les réels $x$ : $\exp(x) = \e^x$.
On note $\e$ la fonction définie sur $\R$ qui à tous réels $x$ associe $\e^x$.

 Propriété 6 :

  1. La fonction $\e : x \mapsto \e^x$ est dérivable sur $\R$ et pour tous réels $x$ $\e’^x=\e^x$.
  2. Pour tous réels $a$ et $b$, on a :
    $\quad$ $\e^{a+b} = \e^a \times \e^b$
    $\quad$ $\e^{-a}=\dfrac{1}{\e^a}$
    $\quad$ $\e^{a-b} = \dfrac{\e^a}{\e^b}$
  3. Pour tous réels $a$ et tous entiers relatifs $n$, $\e^{na} = \left(\e^a \right)^n$.
  4. $\e^0 = 1$ et pour touts réels $x$, $\e^x > 0$.

$\quad$

IV Équations et inéquations

 Propriété 7 :
On considère deux réels $a$ et $b$.

  1. $\e^a = \e^b \ssi a = b$
  2. $\e^a < \e^b \ssi a < b$

Preuve Propriété 7

  1. $\bullet$ Si $a=b$ alors $\e^a=\e^b$.
    $\bullet$ Réciproquement, on considère deux réels $a$ et $b$ tels que $\e^a=\e^b$ et on suppose que $a\neq b$.
    Deux cas se présentent : $a<b$ ou $b<a$.
    On suppose que $a<b$. Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, on a alors $\e^a<\e^b$. Cela contredit l’hypothèse que $\e^a=\e^b$.
    On raisonne de la même manière pour montrer que l’hypothèse $b<a$ ne convient pas.
    Finalement on a $a=b$.
  2. Cette propriété provient de la stricte croissance de la fonction exponentielle.

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$\quad$

Exemples :

  1. On veut résoudre l’équation $\e^{2x+1} = \e^{x-1}$
    D’après la propriété précédente :
    $\begin{align*} \e^{2x+1} = \e^{x-1} &\ssi 2x+1=x-1 \\
    &\ssi x=-2
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
  2. On veut résoudre l’inéquation $\e^{-3x+5} < \e^{x-3}$
    D’après la propriété précédente :
    $\begin{align*}
    \e^{-3x+5} < \e^{x+2} &\ssi -3x+5<x-3 \\
    &\ssi -4x<-8 \\
    &\ssi x>2
    \end{align*}$
    La solution de l’inéquation est donc l’intervalle $]-2;+\infty[$

$\quad$

V Étude de la fonction exponentielle

 Propriété 8 :

$\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$ $\qquad$ et $\qquad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x = 0$.

Preuve Propriété 8

  • Nous allons montrer que pour tous réels $x \ge 0$ on a $\e^x \ge x$.
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \e^x-x$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\R$ et $f'(x) = \e^x-1$.
    On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante et que $\e^0=1$.
    Par conséquent, pour tous réels $x>0$, on a $\e^x > 1$.
    Donc pour tous réel $x \ge 0$, $f'(x) \ge 0$.
    On en déduit alors que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R^+$ et $f(0) = \e^0 = 1 > 0$.
    Par conséquent, pour tous réels $x \ge 0$ $\e^x \ge x$.
    On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$.
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$.
  • $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x = \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1}{\e^{-x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\e^x} = 0$ car $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x = +\infty$.

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$\quad$

On est donc en mesure de construire le tableau de variation suivant :

ts-cours-exponentielle-fig1

 

ts-cours-exponentielle-fig2

 Propriété 9 :

  1. Pour tous $n \in \N^*$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x^n} = +\infty$ $\qquad$ et $\qquad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n\e^x = 0$.
    En particulier $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x} = +\infty$ $\qquad$ et $\qquad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} x\e^x = 0$.
  2. $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\e^x-1}{x} = 1$.

Preuve Propriété 9

  1. Cette propriété ne sera prouvé que pour $n=1$.
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par $f(x) = \e^x – \dfrac{x^2}{2}$.
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R^+$ et $f'(x) = \e^x – x$.
    Dans la preuve précédente, on a montré que la fonction $f’$ était croissante sur $\R^+$ et que $f'(0) = 1$.
    Par conséquent, pour tous réels $x \ge 0$, $f'(x) > 0$ et $f$ est croissante sur $\R^+$.
    Or $f(0) = 1$.
    Cela signifie donc, que pour tous $x \ge 0$, $\e^x > \dfrac{x^2}{2}$ et par conséquent $\dfrac{\e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$.
    Mais on sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2} = +\infty$.
    D’après le théorème de comparaison, on a $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x} = +\infty$.
    $\quad$
    Pour montrer que cette propriété est vraie pour tous entiers naturels $n$ non nuls, on peut utiliser le fait que $\dfrac{\e^x}{x^n}=\dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{\e^{x/n}}{\dfrac{x}{n}}\right)^n$ et on applique ce qu’on vient de prouver en posant $X=\dfrac{x}{n}$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to -\infty} x\e^x = \lim\limits_{x \to -\infty} – \dfrac{-x}{\e^{-x}} = \lim\limits_{x \to +\infty} – \dfrac{x}{\e^x} = 0$
    $\quad$
    Pour généraliser, on peut utiliser le fait que $x^ne^x=n^n\left(\dfrac{x}{n}\e^{x/n}\right)^n$.
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\e^x – 1}{x} &= \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\e^x – \e^0}{x – 0} \\
    & = \e’^0 \\
    &= \e^0 \\
    &= 1
    \end{align*}$
    On a donc utilisé le taux d’accroissement de la fonction exponentielle et le fait que cette fonction soit dérivable sur $\R$ et donc, en particulier, en $0$.

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$\quad$

Propriété 10 : composition

On considère une fonction $u$ définie et dérivable sur un intervalle $I$.
La fonction $f$ définie pour tous réels $x$ par $f(x) = \e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = u'(x) \times \e^{u(x)}$

Exemple :

On considère la fonction $f$ définie pour tous réels $x$ par $f(x)=\e^{x^2+4x-1}$.
On appelle $u$ la fonction définie pour tous réels $x$ par $u(x)=x^2+4x-1$.
Cette fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et, pour tous réels $x$, on a $u'(x)=2x+4$.
$f$ est donc, d’après cette propriété, également dérivable sur $\R$ et $f'(x) = (2x+4)\e^{x^2+4x-1}$.
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x+4$.
$2x+4=0 \ssi 2x=-4 \ssi x=-2$ et $2x+4 > 0 \ssi 2x > -4 \ssi x>-2$

ts-cours-exponentielle-fig3

En utilisant les limites du termes de plus haut degré pour déterminer les :

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to -\infty} x^2+4x-1 = \lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty \\
\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$

$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty} x^2+4x-1 = \lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty \\\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty\end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$