TS – Cours – Limites et continuité

Limite et continuité

I Limite d’une fonction en l’infini

1. Limite infinie

 Définition 1 :
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$.
On dit que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert de la forme $]a;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On écrit alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$.

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Exemples (à connaître):

  • $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n=+\infty$ pour tout entier naturel $n$ non nul (en fait c’est vrai pour tout réel strictement positif)
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} ax+b=+\infty$ où $a$ est un réel strictement positif et $b$ un réel.

Remarques :

  • Cela signifie donc que la fonction $f$ n’est pas majorée.
  • On dit parfois que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
  • On définit d’une façon analogue $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)= +\infty$.
 Définition 2 :
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$.
On dit que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty;b[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On écrit alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= -\infty$.

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Remarques :

  • Cela signifie donc que la fonction $f$ n’est pas minorée.
  • On définit d’une façon analogue $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$.

 

2. Limite finie

 Définition 3 :
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$ dont une représentation graphique est $\mathscr{C}$.
On dit que la fonction $f$ a pour limite $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient également toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On note alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\ell$.
On dit que la droite d’équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à $\mathscr{C}$.

Exemple : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$. L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe de la fonction inverse.

Remarque :  On peut définir de la même manière $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\ell$.

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II Limite infinie en un réel $\boldsymbol{a}$

 Définition 4 :
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$ dont une représentation graphique est $\mathscr{C}$.
On dit que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ lorsque tout intervalle ouvert de la forme $]b;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$ dans $\mathscr{D}_f$.
On note alors $\lim\limits_{x \to a} f(x)=+\infty$.
On dit que la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à $\mathscr{C}$.
 Définition 5 :
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$ dont une représentation graphique est $\mathscr{C}$.
On dit que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ lorsque tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty;c[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$ dans $\mathscr{D}_f$.
On note alors $\lim\limits_{x \to a} f(x)=-\infty$.
On dit que la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à $\mathscr{C}$.

Remarque : On parle souvent de limite à droite et de limite à gauche de $a$.
La limite à gauche correspond aux valeurs de $x$ inférieures à $a$. On la note $\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x<a}} f(x)$ ou $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$.
La limite à droite correspond aux valeurs de $x$ supérieures à $a$. On la note $\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x>a}} f(x)$ ou $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$.

Exemples :

  • $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
  • $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}=-\infty$

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Remarque : On peut également parler de limite finie en réel $a$ : $\lim\limits_{x \to a} x = a$ et $\lim\limits_{x \to a} x^2 =a^2$ par exemple.

 

III Limites usuelles

 Propriété 1 :
$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$
 Propriété 2 :

  • Si $n$ est un entier naturel pair non nul :
    $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$
    En particulier $\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$
    $\quad$
  • Si $n$ est un entier naturel impair :
    $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} x^n = +\infty$
    En particulier $\lim\limits_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$
    $\quad$
  • $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} =+\infty$

Remarque : A l’aide des opérations sur les limites que nous verrons dans la prochaine partie on peut également dire que pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x^n} = \begin{cases} +\infty \text{ si } n \text{ est pair} \\-\infty \text{ si } n \text{ est impair} \end{cases}$ $\quad$ $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^n} = +\infty$.

 

IV Opérations sur les limites

Dans cette partie :

  • $L$ et $L’$ sont des réels;
  • $a$ est un réel qui peut être remplacé éventuellement par $+\infty$ ou $-\infty$;
  • $f$ et $g$ sont des fonctions;
  • FI signifie Forme Indéterminée, c’est-à-dire que la limite est à déterminée au cas par cas.
Propriété 3 : (Somme)
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{x \to a} f(x)&L&L&L&+\infty&+\infty&-\infty \\
\hline
\lim\limits_{x \to a} g(x)&L’&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\
\hline
\lim\limits_{x \to a} f(x)+g(x)&L+L’&+\infty&-\infty&+\infty&\text{FI}&-\infty\\
\hline
\end{array}$$

Exemple : On veut déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2 + x \right)$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x=+\infty$.
Donc, par somme des limites, on obtient : $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2 + x \right) = +\infty$.

Propriété 4 : (Produit)
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{x \to a} f(x)&L&L\neq 0&0&+\infty&+\infty&-\infty \\
\hline
\lim\limits_{x \to a} g(x)&L’&\pm\infty&\pm\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\
\hline
\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)&L\times L’&\pm\infty&\text{FI}&+\infty&-\infty&+\infty\\
\hline
\end{array}$$
Le signe du $\pm \infty$ dépend du signe de $L$ et du signe de l’infini considéré pour la limite de $g(x)$.

Exemple : On veut déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}\left(1-2x \right)x^2 $.
On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$. Or $-2 <0$ donc, par produit des limites, $\lim\limits_{x \to +\infty} -2x = -\infty$ et, par somme des limites, $\lim\limits_{x \to +\infty} 1-2x=-\infty$.
On sait également que $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty$.
Donc, par produit des limites, $\lim\limits_{x \to +\infty} = -\infty$.

Propriété 5 : (Quotient)
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{x \to a} f(x)&L&L&0&L&\pm\infty&\pm\infty \\
\hline
\lim\limits_{x \to a} g(x)&L’\neq 0&0&0&\pm\infty&L’&\pm\infty\\
\hline
\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}&\dfrac{L}{L’}&\pm\infty&\text{FI}&0&\pm\infty&\text{FI}\\
\hline
\end{array}$$
Le signe des $\pm \infty$ dépend du signe de $L$ ou de celui $L’$.

Exemple : On veut déterminer $\lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{x}{3-x}$.
On veut donc déterminer la limite à droite de cette fraction.
On constate que $\lim\limits_{x \to 3^+} 3-x=0$ et que, pour tout réel $x>3$ on a $3-x<0$.
Ainsi $\lim\limits_{x \to 3^+} 3-x=0^-$ c’est-à-dire qu’on tend vers $0$ tout en restant négatif.
On sait également que $\lim\limits_{x \to 3^+} x=3$.
Par conséquent, par quotient des limites, $\lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{x}{3-x}=-\infty$.

 

V Quelques propriétés

Pour l’instant, si on veut étudier la limite en $+\infty$ de $P(x)=x^2-3x+4$ on est obligé de factoriser l’expression. On obtient, sinon, une forme indéterminée.
$P(x)=x^2\left(1-\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}\right)=x^2\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4}{x^2}=0$.
Donc par somme des limites on obtient : $\lim\limits_{x \to +\infty} 1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}=1$.
Puisque $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ à l’aide du produit des limites on peut dire que $\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=+\infty$.

La propriété suivante va permettre de généraliser cette technique.

Propriété 6 : (Terme de plus haut degré d’un polynôme)
La limite en l’infini d’un polynôme est égale à la limite en l’infini de son terme de plus haut degré.

Exemples : 

  • $\lim\limits_{x \to +\infty} (-3x^2+4x+3) = \lim\limits_{x \to +\infty} -3x^2 = -\infty$
  • $\lim\limits_{x \to -\infty} (2x^3-8x-5) = \lim\limits_{x \to -\infty} 2x^3 = -\infty$
Propriété 7 : (Terme de plus haut degré d’une fonction rationnelle)
La limite en l’infini d’un fraction rationnelle est égale à la limite en l’infini du quotient de ses termes de plus haut degré.

Exemple : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2 + 4x-3}{3x^2-2x + 1} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2}{3x^2} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2}{3} = -\dfrac{2}{3}$

 

dangerOn ne peut appliquer ces propriétés que si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
$\quad$

  • on veut déterminer $\lim\limits_{x \to -\infty}$ ou $\lim\limits_{x \to +\infty}$;
  • la fonction utilisée est un polynôme ou une fonction rationnelle.

Dans de nombreux cas, les fonctions utilisées sont des enchaînements de fonctions. On parle alors de fonctions composées.

$\quad$

Définition 6 : (Fonctions composées)
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $J$ et une fonction $g$ définie sur un intervalle $I$ telle que, pour tout $x$ appartenant à $I$, $g(x)$ appartient à $J$.
On définit la fonction composée $g$ suivie de $f$, qu’on appellera $h$, définie sur $I$ par : $h(x) = f\left(g(x)\right)$. Elle est notée $h = f \circ g$.

Exemple : On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \sqrt{x^2+1}$.
$h$ est la composée des fonctions $f$ et $g$ définies toutes les deux sur $\R$ par $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x^2+1$.
$$x \overset{g}{\longrightarrow} x^2+1 \overset{f}{\longrightarrow} \sqrt{x^2+1}$$

 Théorème 1 :
On considère deux fonctions $f$ et $g$. $a$, $b$ et $c$ désignent soit des réels soit $+\infty$ ou $-\infty$.
Si $\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \color{blue}{\boldsymbol{a}}}g(x) = \color{red}{\boldsymbol{b}} \\ \lim\limits_{X \to \color{red}{\boldsymbol{b}}} f(X) = \color{orange}{\boldsymbol{c}} \end{array}\right\}$ alors $\lim\limits_{x \to \color{blue}{\boldsymbol{a}}} f\circ g(x) = \color{orange}{\boldsymbol{c}}$

Exemple : $\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \color{blue}{\boldsymbol{+\infty}}}x^2+1 = \color{red}{\boldsymbol{+\infty}} \\ \lim\limits_{X \to \color{red}{\boldsymbol{+\infty}}} \dfrac{1}{X} = \color{orange}{\boldsymbol{0}} \end{array}\right\}$ alors $\lim\limits_{x \to \color{blue}{\boldsymbol{+\infty}}} \dfrac{1}{x^2+1} = \color{orange}{\boldsymbol{0}}$

 

VI Théorèmes de comparaison

Voici deux théorèmes qui ont déjà été vus dans le chapitre sur les suites.

 Théorème 2 : (Théorème des gendarmes)
On considère deux réels $a$, éventuellement égal à $+\infty$ ou $-\infty$, et $\ell$ et trois fonctions $f$, $g$ et $h$ telles que, au voisinage de $a$, on ait $f(x) \le g(x) \le h(x)$ et $\lim\limits_{x \to a }f(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x)= \ell$ alors $\lim\limits_{x \to a} g(x) = \ell$

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Exemple : On veut déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x^2}$
On sait que, pour tous réel $x$ on a $-1 \le \sin x \le 1$.
Par conséquent on obtient l’encadrement suivant $-\dfrac{1}{x^2} \le \dfrac{\sin x}{x^2} \le \dfrac{1}{x^2}$
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{1}{x^2} =0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$.
Donc, d’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x^2} = 0$.

 Théorème 3 : (Théorème de comparaison)
On considère un réel $a$, éventuellement égal à $+\infty$ ou $-\infty$, et $f$ et $g$ deux fonctions telles que, au voisinage de $a$, on ait $f(x) \le g(x)$.

  1. Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ alors$\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$
  2. Si $\lim\limits_{x \to a} g(x) = -\infty$ alors $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$

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Exemple : On considère une fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ telle que, pour tout $x$, $f(x) \ge \sqrt{x}$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ donc, d’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

 

VII Continuité

 Définition 7 :

  1. On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant un réel $a$.
    Elle est dite continue en $a$ si $\lim\limits_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a^+} f(x)= f(a)$.
  2. Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est dite continue sur $I$ si elle est continue en chacun des points de l’intervalle $I$.

Exemples :

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 Propriété 8 :

  1. Toutes les fonctions polynômes, rationnelles, valeur absolue et racines carrées sont continues sur tous les intervalles sur lesquels elles sont définies.
  2. La somme, le produit, le quotient et la composée de fonctions continues sont continues (sur tout intervalle sur lequel ces sommes, produits, $\ldots$ sont définis).
 Propriété 9 :

Toutes les fonctions dérivables sur un intervalle $I$ sont continues sur cet intervalle.

 

danger

La réciproque est bien évidemment fausse : toutes les fonctions continues sur un intervalles ne sont pas toujours dérivables.

Exemple : La fonction valeur absolue est continue sur $\R$ mais n’est pas dérivable en $0$.

 

Théorème 4 : (Théorème des valeurs intermédiaires)
On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ de l’intervalle $[a;b]$ tel que $f(x) = k$.
Ainsi l’équation $f(x) = k$ possède au moins une solution appartenant à $[a;b]$.

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Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x+\sqrt{x}-8$ définie sur l’intervalle $[0;10]$.
$f$ est une une somme de fonction continue sur $[0;10]$. Elle est donc également continue sur $[0;10]$.
$f(0) = -8<0$ et $f(10) = 2+\sqrt{10}>0$. Par conséquent $0 \in \left[-8;2+\sqrt{10}\right]$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 0$ possède donc au moins une solution dans l’intervalle $[0;10]$.

Théorème 5 : (Théorème de la bijection)
On considère une fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $[a;b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c$ appartenant à $[a;b]$ tel que $f(c) = k$.

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Remarque : Ce théorème est parfois appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $[0;10[$ par $f(x) = x^3+x+1$. On veut prouver que l’équation $f(x)=4$ possède une unique solution.
La fonction $f$ est dérivable en tant que polynôme sur $[0;10] $ et $f'(x) = 3x^2+1 \ge 0$.
La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;10]$.
$f(0) = 1$ et $f(10) = 1011$. Or $4 \in [0;1011]$.
Par conséquent, d’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x) = 4$ possède une unique solution sur $[0;10]$.

remarque
Remarque : Ces deux théorèmes se généralisent à des fonctions définies sur des intervalles de la forme $]-\infty;a]$, $[a;+\infty[$ et $]-\infty;+\infty[$.On est alors amener à déterminer la limite de $f(x)$ en $+\pm \infty$.