TS – cours – Nombres complexes

Nombres complexes

I Forme algébrique d’un nombre complexe

On note $\ic$ une des solutions de l’équation $x^2=-1$.

 Définition 1 :

Tous les nombres de la forme $a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des réels, sont appelés nombres complexes.
L’ensemble des nombres complexes se note $\C$.
Dans cet ensemble, on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que l’addition et la multiplication des réels.

Exemples :

  • Addition : $(3-2\ic) + (4+7\ic) = (3+4) + (-2+7)\ic = 7 + 5\ic$
  • Multiplication :
    $$\begin{align*}
    (4-2\ic) \times (2+3\ic)&=4\times 2 + 4\times 3\ic-2\ic \times 2-2\ic \times 3\ic \\
    &=8 + 12\ic-4\ic-6\ic^2 \\
    &=8+8\ic-6\times (-1) \\
    &=8+8\ic+6 \\
    &=14+8\ic
    \end{align*}$$

Il existe différentes façons d’écrire des nombres complexes. Les prochaines parties de ce cours les aborderont.

 Définition 2 :

On considère le nombre complexe $z=a+\ic b$.
La forme $a+\ic b$ de ce nombre complexe est appelée forme algébrique de $z$.
Le réel $a$ est appelé la partie réelle de $z$. On la note $\Re \e(z)$.
Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$. On la note $\Im \text{m}(z)$.

 

Attention : Les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels.

 

Exemples :

  • Si $z=3-5\ic$ alors $\Re \e(z)=3$ et $\Im \text{m}(z) = -5$ (et non $-5\ic$ !).
  • Si $z=-4$ alors $\Re \e(z)=-4$ et $\Im \text{m}(z) = 0$.
  • Si $z=2\ic$ alors $\Re \e(z)=0$ et $\Im \text{m}(z) = 2$.

$\quad$

Remarque : Le deuxième exemple illustre le fait que l’ensemble des nombres réels est inclus dans l’ensemble des nombres complexes : $\R \subset \C$. En effet, un nombre réel $x$ peut aussi s’écrire $x+0\ic$.

 Définition 3 :

Lorsque la partie réelle d’un nombre complexe $z$ est nulle on dit alors que $z$ est un imaginaire pur.

Remarque : $0$ à la particularité d’être à la fois un nombre réel et un imaginaire pur. C’est le seul nombre complexe possédant cette propriété.

$\quad$

 Propriété 1 :

On considère deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$.
$$z_1=z_2 \ssi \Re \e\left(z_1\right)= \Re \e\left(z_2\right) \text{et} \Im \text{m}\left(z_1\right) = \Im \text{m}\left(z_2\right)$$

Remarque : Cela signifie donc qu’un nombre complexe possède une unique écriture algébrique.

Cette propriété nous permet de résoudre les équations complexes.

$\quad$

Exemple : On veut résoudre dans $\C$ l’équation $3z + 1 -9\ic = -5$

$$\begin{align*}
3z + 1 -9\ic = -5 &\ssi 3z=-5-1+9\ic \\
&\ssi 3z=-6+9\ic \\
&\ssi z=-2+3\ic
\end{align*}$$

La solution de l’équation est donc $-2+3\ic$.

$\quad$

II Nombre Conjugué

 Définition 4 :

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Le nombre $a-\ic b$ est appelé conjugué du nombre complexe $z$.
On le note $\conj{z}=a-\ic b$.

Exemples : $\conj{3+2\ic} = 3-2\ic \qquad \conj{5-4\ic} =5+4\ic \qquad \conj{-1+3\ic} =-1-3\ic$

$\quad$

 Propriété 2 :

On considère un nombre complexe $z$.
On a alors $\Re \e\left( \conj{z} \right) = \Re \e(z)$ et $\Im \text{m} \left( \conj{z} \right) = -\Im \text{m}(z)$.

$\quad$

 Propriété 3 :

On considère un nombre complexe $z$.
On a alors les équivalences suivantes :

  • $z$ est un nombre réel $\ssi z = \conj{z}$
  • $z$ est un imaginaire pur $\ssi z = -\conj{z}$
Preuve Propriété 3

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

  • $z= \conj{z}$ $\ssi a + \ic b = a-\ic b \ssi \ic b = -\ic b \ssi b = 0 \ssi z$ est un nombre réel.
  • $z = -\conj{z} \ssi a + \ic b = -a +\ic b \ssi a = -a \ssi a= 0 \ssi z$ est un imaginaire pur.

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$\quad$

 Propriété 4 (Opérations) :

On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$.

  1. $\conj{z+z’} = \conj{z} + \conj{z’}$
  2. $\conj{z \times z’} = \conj{z} \times \conj{z’}$
  3. $\conj{z^n} = \conj{z}^n$ pour tout entier naturel $n$
  4. Si $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels alors $z\conj{z} = a^2 + b^2$
  5. Si $z \ne 0$ alors $\conj{\left(\dfrac{1}{z} \right)} = \dfrac{1}{\conj{z}}$ et $\conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)} = \dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}$
Preuve Propriété 4

On utilise les formes algébriques de $z$ et $z’$.
$z= a+\ic b$ et $z’ = a’+\ic b’$ où $a$, $b$, $a’$ et $b’$ sont des nombres réels.

  1. $\quad$
    $$\begin{align*} \conj{z +z’} &= \conj{a + \ic b + a’ + \ic b’}\\
    &= \conj{a+a’+\ic(b + b’)} \\
    &= a+a’-\ic (b+b’)\\
    & = a-\ic b + a’-\ic b’ \\
    &= \conj{z} + \conj{z’}
    \end{align*}$$
  2. On a d’une part :
    $\conj{z \times z’} = \conj{(a+\ic b)(a’-\ic b’)} = \conj{aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)} = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b)$
    et d’autre part :
    $\conj{z}\times \conj{z’} = (a-\ic b)(a’-\ic b’) = aa’-bb’-\ic (ab’+a’b) = \conj{z \times z’}$
  3. Nous allons démontrer ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n= 0$ alors $\conj{z^n} = \conj{1} = \conj{z}^n$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $\conj{z^n} = \conj{z}^n$
    $$\conj{z^{n+1}} = \conj{z^n \times z} = \conj{z^n} \times \conj{z} = \conj{z}^n \times \conj{z} = \conj{z}^{n+1}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tous entiers naturels $n$ on a $\conj{z^n} = \conj{z}^n$.
  4. $z\conj{z} = (a+\ic b)(a-\ic b) = a^2 + b^2 + \ic ba-\ic ab = a^2+b^2$
  5. Si $z \ne 0$, on a $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{\conj{z}}{\conj{z}} = \dfrac{\conj{z}}{z\conj{z}}=\dfrac{\conj{z}}{a^2+b^2}$.
    Par conséquent $\conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)} = \dfrac{z}{a^2+b^2}$.
    On a également $\dfrac{1}{\conj{z}} = \dfrac{1}{\conj{z}} \times \dfrac{z}{z}=\dfrac{z}{z\conj{z}} = \dfrac{z}{a^2+b^2} = \conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)}$
    $\quad$
    $\conj{\left(\dfrac{z’}{z} \right)} = \conj{\dfrac{1}{z} \times z’} = \conj{\left( \dfrac{1}{z} \right)} \times \conj{z’} = \dfrac{1}{\conj{z}} \times \conj{z’} = \dfrac{\conj{z’}}{\conj{z}}$

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$\quad$

Méthode : Utilisation du nombre conjugué pour obtenir l’écriture algébrique d’un quotient :

L’idée ici est de multiplier le quotient par $1$, en écrivant $1$ sous une forme particulière et en utilisant le conjugué du dénominateur.

Exemple :

$$\begin{align*} \dfrac{3+2\ic}{5+3\ic}&=\dfrac{3+2\ic}{5+3\ic} \times \dfrac{5-3\ic}{5-3\ic} \\\\
&=\dfrac{15-9\ic+10\ic+6}{(5+3\ic)(5-3\ic)} \\\\
&=\dfrac{21+\ic}{5^2+3^2} \\\\
&=\dfrac{21+\ic}{34}
\end{align*}$$

 Propriété 5 :

On considère un nombre complexe $z$ .
On a alors $\Re \e(z) = \dfrac{z + \conj{z}}{2}$ $\qquad$ et $\qquad$ $\Im \text{m}(z) = \dfrac{z – \conj{z}}{2\ic}$

Preuve Propriété 5

On considère $z = a + \ic b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
$z + \conj{z} = a + \ic b + a-\ic b = 2a$. Donc $\Re \e(z)=a = \dfrac{z + \conj{z}}{2}$.
$z-\conj{z} = a+\ic b-a+\ic b = 2\ic b$. Donc $\Im \text{m}(z)=b = \dfrac{z-\conj{z}}{2\ic}$.

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$\quad$

III Équations du second degré

 Propriété 6 :

On considère, dans $\C$ l’équation du second degré $az^2+bz+c = 0$ où $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a \ne 0$.
On appelle $\Delta = b^2-4ac$.

  • Si $\Delta > 0$ l’équation admet deux solutions réelles distinctes :
    $$z_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
  • Si $\Delta = 0$ l’équation admet une unique solution $z_0 = \dfrac{-b}{2a}$
  • Si $\Delta < 0$ l’équation admet deux solutions complexes distinctes :
    $$z_1 = \dfrac{-b-\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad z_2 = \dfrac{-b+\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} = \conj{z_1}$$
Preuve Propriété 6

Les cas $\Delta >0$ et $\Delta=0$ ont déjà été démontrés en 1S.
On va donc démontré le cas $\Delta<0$.

$$\begin{align*}
az^2+bz+c &= a\left(z^2+\dfrac{b}{a}z + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \left(\dfrac{b}{2a} \right)^2 + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{c}{a} \right) \\
&= a\left(\left(z+\dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{b^2 -4ac}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{\Delta}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \dfrac{\ic^2(-\Delta)}{4a} \right) \\
&= a\left(\left(z + \dfrac{b}{2a} \right)^2 – \left(\dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)^2 \right) \\
&= a\left(z + \dfrac{b}{2a} – \dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)\left(z + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\ic \sqrt{-\Delta}}{2a} \right)
\end{align*}$$

L’équation $az^2+bz+c = 0$ possède alors deux solutions $z_1 = \dfrac{-b-\ic \sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \conj{z_1}$

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$\quad$

Exemple : On considère l’équation complexe $z^2+3z+6 = 0$.
On a donc $\Delta = 3^2-4\times 6 = -15 < 0$
L’équation possède deux solutions complexes :
$$z_1 = \dfrac{-3 -\ic \sqrt{15}}{2} \text{ et } z_2 =\conj{z_1} = \dfrac{-3 +\ic\sqrt{15}}{2}$$

$\quad$

IV Affixe et module

1 Affixe

Dans le repère orthonormé $\Ouv$ on notera respectivement $I$ et $J$ les points du plan tels que $\vect{OI} = \vec{u}$ et $\vect{OJ} = \vec{v}$

Définition 5 (Affixe d’un point) :

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$.
Le point $M(a;b)$ du plan muni du repère $\Ouv$ est appelé l’image du nombre complexe $z$.
Le nombre $z$ est appelé l’affixe du point $M$. On note alors $M(z)$.

Remarque : On note souvent $z_A$ l’affixe du point $A$.

$\quad$

Exemple : On considère le nombre complexe $z_1 = -3+\ic$. On appelle $A$ L’image de $z_1$.
L’affixe du point $B$ est $z_2 = 5-2\ic$.

Définition 6 (Affixe d’un vecteur) :

On considère un vecteur du plan $\vec{w}(a;b)$.
Le nombre $z=a+\ic b$ est appelé \textbf{affixe} du vecteur $\vec{w}$.

Remarque : On note souvent $z_{\vec{u}}$ l’affixe du vecteur $\vec{u}$.

$\quad$

 Propriété 7 :

  1. L’affixe du vecteur nul est $0$.
  2. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux, et seulement si, $z_{\vec{u}}=z_{\vec{v}}$.
  3. On considère deux points du plan $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    $\vect{AB}$ a alors pour affixe $z_B – z_A$.
  4. On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$. On a alors $z_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$
  5. Deux points d’affixes conjuguées sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Preuve Propriété 7

  1. Le vecteur nul a pour coordonnées $(0;0)$.
    Son affixe est donc $0+0\ic = 0$.
  2. Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. L’écriture algébrique d’un nombre complexe étant unique on obtient ainsi la propriété.
  3. Les coordonnées de $\vect{AB}$ sont $\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.
    Par conséquent :
    $$\begin{align*} z_{\vect{AB}} &= x_B-x_A + \ic\left( y_B-y_A \right) \\
    & = x_B + \ic y_B – \left(x_A + \ic y_A \right) \\
    & = z_B – z_A
    \end{align*}$$
  4. On a $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
    Donc $z_I=x_I+\ic y_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$.
  5. On considère le nombre complexe $z=a+\ic b$ et son image $M$. On appelle $M’$ le point d’affixe $\conj{z}$.
    Les coordonnées de $M$ sont $(a;b)$ et celles de $M’$ sont $(a;-b)$.
    Donc ces 2 points sont bien symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

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$\quad$

Exemple : On considère les points $A(3-2\ic)$ et $B(4+3\ic)$.
L’affixe du vecteur $\vect{AB}$ est donc :
$$\begin{align*}z_{\vect{AB}}&=z_B-z_A\\
&=4+3\ic-\left(3-2\ic\right) \\
&=1+5\ic
\end{align*}$$

$\quad$

2 Module

 Définition 7 :

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$. On appelle module de $z$, le réel positif, noté $|z|$ tel que $|z| = \sqrt{z\conj{z}} = \sqrt{a^2+b^2}$

Remarques :

  1. Si $z$ est l’affixe de $M$ alors $OM = |z|$.
  2. Si $z$ est l’affixe du vecteur $\vect{AB}$ alors $|z| = AB$

$\quad$

Exemple : $|2-4\ic|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$\quad$

Propriété 8 :

On considère deux nombres complexes $z$ et $z’$.

  1. $|z| = \left| \conj{z} \right| = |-z|$.
  2. $\left|zz’\right| = |z| \times \left|z’\right|$.
  3. $\left| \dfrac{z}{z’} \right| = \dfrac{|z|}{|z’|}$ avec $z’ \ne 0$.
Preuve Propriété 8

On note $z = a+\ic b$ et $z’=a’+\ic b’$ où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.

  1. $\left| \conj{z} \right| = |a – \ic b| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = |z|$
    $|-z| = |-a-\ic b| = \sqrt{(-a)^2+(-b)^2} = |z|$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \left|zz’\right| &= \left|aa’-bb’+\ic (ab’+a’b)\right| \\
    & = \sqrt{(aa’-bb)^2+(ab’+a’b)^2}\\
    &= \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2-2aba’b’+(ab’)^2+(a’b)^2+2aba’b’} \\
    & = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} \end{align*}$$
    $|z|\times \left|z’\right| = \sqrt{a^2 + b^2} \times \sqrt{a’^2+b’^2} = \sqrt{(aa’)^2+(bb’)^2+(ab’)^2+(a’b)^2} = |zz’|$
  3. $\left|\dfrac{z}{z’} \right|^2 = \dfrac{z}{z’} \times \conj{\left(\dfrac{z}{z’} \right)} = \dfrac{z\conj{z}}{z’\conj{z’}} = \dfrac{|z|^2}{|z’|^2}$

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$\quad$

Attention : Il n’y a pas d’équivalent de ces deux dernières propriétés pour les sommes : $\left|z+z’\right|\neq |z|+\left|z’\right|$

 

 Propriété 9 :

Pour tous nombres complexes $z$ et tous entiers naturels $n$ on a $|z^n| = |z|^n$

Preuve Propriété 9

Nous allons montrer ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ alors $|z^n|=|1| = |z|^n$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $|z^n| = |z|^n$
$|z^{n+1}| = |z\times z^n| = |z| \times |z^n| = |z| \times |z|^n = |z|^{n+1}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $|z^n| = |z|^n$.

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$\quad$

Remarques :

  1. La propriété est en fait vraie pour tous entiers relatifs $n$.
  2. On s’intéresse souvent avec les nombres complexes au ensemble de nombres vérifiant une relation algébrique. Ici l’ensemble des points d’affixe $z$ vérifiant $|z|=r$ , où $r$ un réel positif, est le cercle de centre $O$ et de rayon $r$.

$\quad$

V Argument d’un nombre complexe

 Définition 8 :

On considère un nombre complexe $z=a+\ic b$ et son image $M$. On appelle argument de $z$ une mesure $\theta$ de l’angle orienté $\left(\vec{u},\vect{OM} \right)$.
On note arg$(z) = \left(\vec{u},\vect{OM} \right)~~(2\pi)$.

Exemple : arg$(4)=0$ $\qquad$ arg$(-2) = \pi$ $\qquad$ arg($\ic$) = $\dfrac{\pi}{2}$

 Propriété 10 :

On considère un nombre complexe $z$ de module $1$ et d’argument $\theta$.
Si on note $z=a+\ic b$ où $a$ et $b$ sont des réels, alors :
$$\begin{cases} a = \cos \theta \\b = \sin \theta \end{cases}$$

Remarque : Cela vient du fait que si on considère un point $M(\theta)$ appartenant au cercle trigonométrique alors $x_M=\cos \theta$ et $y_M=\sin \theta$.

$\quad$

 Propriété 11 :

On considère un nombre complexe $z$.

  1. $z$ est un nombre réel $\Leftrightarrow$ arg$(z)=0~~(\pi)$
  2. $z$ est un imaginaire pur $\Leftrightarrow$ arg$(z) = \dfrac{\pi}{2}~~(\pi)$

$\quad$

VI Forme trigonométrique d’un nombre complexe

 Définition 9 :

Tout nombre complexe $z$ non nul, peut s’écrire sous la forme $z=|z|\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)$ où $\theta = $arg$(z)$.
Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.

 Propriété 12 :

On considère un nombre complexe $z$ non nul tel que $z=a+\ic b$, où $a$ et $b$ sont des réels. On note $r= |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$.
On a alors $\begin{cases} r=\sqrt{a^2+b^2} \\ \cos \theta = \dfrac{a}{r} \text{ et } \sin \theta = \dfrac{b}{r} \end{cases}$ $ \Leftrightarrow$ $ \begin{cases} a=r\cos \theta \\ b=r \sin \theta \end{cases}$

Exemples :

  • $z = 1 + \ic \sqrt{3}$.
    On a $|z| = \sqrt{1+3}=2$.
    Donc $z = 2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic \right)$
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
    Donc $z= 2 \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3} \right)$
  • $z=1-\ic$.
    On a $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
    Donc $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ic\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)$
    On sait que $\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    On a donc $z=\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4}-\ic\sin \dfrac{\pi}{4}\right)$.
    Cette écriture n’est pas la forme trigonométrique de $z$ car elle n’est pas de la forme $r\left( \cos \theta \boldsymbol{+} \sin \theta\right)$.
    On peut également dire que $\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Donc $z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\ic \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$. Il s’agit bien ici de la forme trigonométrique de $z$.

$\quad$

 Propriété 13 :

On considère un nombre complexe $z$ non nul.

  1. arg$(-z) = \text{arg}(z) + \pi ~~(2\pi)$
  2. arg$\left( \conj{z} \right) = -\text{arg}(z) ~~(2\pi)$
Preuve Propriété 13

On utilise la forme algébrique du nombre complexe $z=a+ib$.

  1. On note arg$(z) = \theta$ et arg$(-z) = \theta’$.
    $-z=-a-\ic b$.
    On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{-a}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{(-a)^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
    Donc $\theta’ = \theta + \pi + 2k\pi$
  2. On note arg$(z) = \theta$ et arg$\left(\conj{z} \right) = \theta’$.
    $\conj{z}=a-\ic b$.
    On a alors $\cos \theta’ = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = \cos \theta$ et $\sin \theta’ = \dfrac{-b}{\sqrt{a^2+(-b)^2}} = -\sin \theta$
    Donc $\theta’ = -\theta + 2k\pi$

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$\quad$

 Propriété 14 :

On considère deux nombres complexes non nuls $z$ et $z’$.

  1. arg$(zz’) =$ arg$(z)+$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  2. arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  3. arg$\left(z^n \right) = n$arg$(z)~~(2\pi)$ pour tout entier $n\in \N^*$
Preuve Propriété 14

  1. On utilise la forme algébrique de $z=a+ib$ et $z’=a’+\ic b’$, où $a,b,a’$ et $b’$ sont des réels.
    On appelle $\theta = $ arg$(z)$ , $\theta’ = $ arg$(z’)$ et $\alpha = $ arg$(zz’)$.
    $zz’ = aa’-bb’ + \ic (ab’+a’b)$
    Donc $\cos \alpha = \dfrac{aa’-bb’}{\left|zz’\right|} = \dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\cos \theta’ – |z|\sin \theta \left|z’\right|\sin \theta’}{|z|\times \left|z’\right|}$
    Par conséquent $\cos \alpha= \cos \theta\cos \theta’ – \sin \theta \sin \theta’ = \cos \left(\theta + \theta’\right)$
    On a également $\sin \alpha= \dfrac{ab’+a’b}{\left|zz’\right|}=\dfrac{|z|\cos \theta \left|z’\right|\sin \theta’+\left|z’\right|\cos \theta’ |z|\sin \theta}{|z| \times \left|z’\right|}$.
    Par conséquent $\sin \alpha = \cos \theta \sin \theta’ + \sin \theta \cos \theta’=\sin\left(\theta+\theta’\right)$.
    Donc $\alpha = \theta + \theta’ + 2k\pi$.
  2. On peut écrire $z = \dfrac{z}{z’} \times z’$
    Donc arg$(z) = \text{arg}\left(\dfrac{z}{z’} \right) + \text{arg}(z’)~~(2\pi)$ soit arg$\left( \dfrac{z}{z’} \right) =$ arg$(z)-$ arg$(z’)~~(2\pi)$
  3. On obtient ce résultat à l’aide d’une récurrence qu’on initialise à $1$ (à faire en exercice).

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$\quad$

Exemple : $4\left( \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3} \right) \times 3\left( \cos \dfrac{\pi}{5} + \ic \sin \dfrac{\pi}{5} \right) = 12\left( \cos \dfrac{8\pi}{15} + \ic \sin \dfrac{8\pi}{15} \right)$

$\quad$

 Propriété 15 :

On considère deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ du plan complexe. arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$

Preuve Propriété 15

On considère le point $C$ d’affixe $z_B-z_A$.
On a alors arg$(z_B-z_A) = \left(\vec{u},\vect{OC}\right) = \left(\vec{u},\vect{AB}\right)$

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$\quad$

 Propriété 16 :

On considère quatre points du plan complexe $A(z_A), B(z_B), C(z_C)$ et $D(z_D)$.
arg$\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) = \left(\vect{CD},\vect{AB} \right)~~(2\pi)$

Preuve Propriété 16

$$\begin{align*}
\text{arg} \left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \right) &= \text{arg} (z_B-z_A)-\text{arg}(z_D-z_C) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right)-\left(\vec{u},\vect{CD}\right) \\
&= \left(\vec{u},\vect{AB}\right) + \left(\vect{CD},\vec{u}\right) \\
&= \left(\vect{CD},\vect{AB}\right)~~(2\pi) \end{align*}$$

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$\quad$

Cette propriété est particulièrement utile pour montrer que des droites sont perpendiculaires (argument égal à $\pm \dfrac{\pi}{2}$) ou que des points sont alignés (argument égal à $0$ ou à $\pi$).

$\quad$

Exemple : On considère les points $A(-2+2\ic), B(2-\ic), C(5+7\ic)$ et $D(-1-\ic)$.

$$\begin{align*} \dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} &= \dfrac{2-\ic+2-2\ic}{-1-\ic-5-7\ic} \\
&=\dfrac{4-3\ic}{-6-8\ic} \\
&=\dfrac{4-3\ic}{-6-8\ic} \times \dfrac{-6+8\ic}{-6+8\ic} \\
&=\dfrac{-24+32\ic+18\ic+24}{(-6)^2+8^2} \\
&=\dfrac{50\ic}{100} \\
&=\dfrac{\ic}{2}
\end{align*}$$

Par conséquent arg$\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}$.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles.

$\quad$

VII Notation exponentielle

On considère la fonction $f$ qui a tout réel $\theta$ associe le nombre complexe $\cos \theta + \ic \sin \theta$.
On a alors :

$$\begin{align*} f(\theta + \theta’) &= \cos(\theta + \theta’)+\ic \sin(\theta+\theta’)\\
& = \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’ + \ic (\sin \theta \cos \theta’ + \sin \theta’ \cos \theta)
\end{align*}$$

Mais on a aussi :

$$\begin{align*} f(\theta)\times f(\theta’) &= \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’ + \ic (\sin \theta \cos \theta’ + \sin \theta’ \cos \theta)\\
& = f(\theta + \theta’)\end{align*}$$

On constate donc que cette fonction $f$ possède la même propriété algébrique que la fonction exponentielle.

 Définition 10 :

C’est pour cette raison qu’on va noter pour tout réel $\theta$, $\e^{\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta$.

Exemple : $\e^{\ic \pi} = -1 \qquad \e^{i\pi/2} = \ic \qquad \e^{\ic \pi/3} = \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3}$

$\quad$

 Définition 11 :

On considère un nombre complexe $z$ d’argument $\theta$.
On peut alors écrire $z=|z|\e^{\ic \theta}$

 Propriété 17 :

On considère deux réels $\theta$ et $\theta’$

  1. $\e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} = \e^{\ic \left(\theta + \theta’\right)}$
  2. $\dfrac{1}{\e^{\ic \theta}} = \e^{-\ic \theta} = \conj{\e^{\ic \theta}}$
  3. $\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}}=\e^{\ic (\theta – \theta’)}$
  4. $\left(\e^{\ic \theta} \right)^n = \e^{\ic n\theta}$ pour tout entier naturel $n$

Ces propriétés reprennent les résultats vus précédemment sur les modules et les arguments.

On retrouve ainsi les propriétés vues en $1$S :

  1. $\cos(\theta + \theta’) = \cos \theta \cos \theta’-\sin \theta \sin \theta’$
  2. $\cos(\theta- \theta’) = \cos \theta \cos \theta’ + \sin \theta \sin \theta’$
  3. $\sin(\theta + \theta’) = \sin \theta \cos \theta’ + \cos \theta \sin \theta’$
  4. $\sin(\theta- \theta’) = \sin \theta \cos \theta’-\cos \theta \sin \theta’$
Preuve Propriété 17

On ne va démontrer ici que la première et la troisième propriété :

$$\begin{align*}
\e^{\ic \theta} \times \e^{\ic \theta’} &= \left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\times \left(\cos \theta’+\ic \sin \theta’\right) \\
&= \cos \theta \cos \theta’ -\sin \theta\sin \theta’+\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
& = \cos \left(\theta+\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta+\theta’\right) \\
&=\e^{\theta+\theta’}
\end{align*}$$

$\quad$

$$\begin{align*}
\dfrac{\e^{\ic \theta}}{\e^{\ic \theta’}} &=\dfrac{\cos \theta+\ic \sin \theta}{\cos \theta’+\ic \sin \theta’} \\
&=\dfrac{\left(\cos \theta+\ic \sin \theta\right)\left(\cos \theta’-\ic \sin \theta’\right)}{\cos^2 \theta’+\ic \sin^2 \theta’} \\
&=\cos \theta \cos \theta’+\sin \theta\sin \theta’ -\ic \cos \theta \sin \theta’+\ic \sin \theta \cos \theta’ \\
& = \cos \left(\theta-\theta’\right)+\ic \sin \left(\theta-\theta’\right) \\
&=\e^{\theta-\theta’}
\end{align*}$$

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$\quad$

Propriété 18 (Formule de Moivre) :

On considère un entier naturel $n$ et un réel $\theta$ on a alors :
$\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^n = \cos n\theta + \ic \sin n\theta$

Exemple : $\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^2 = \cos 2\theta + \ic \sin 2\theta$.

Si on développe le membre de gauche on obtient :

$\left( \cos \theta + \ic \sin \theta \right)^2 = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta + 2\ic \cos \theta \sin \theta$.
Donc, par identification, on retrouve les égalités $\begin{cases} \cos 2\theta = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta \\ \sin 2\theta = 2\cos \theta \sin \theta\end{cases}$

$\quad$

Remarque : Cette propriété provient en fait du point 4. de la propriété 17.

$\quad$

Propriété 19 (Formule d’Euler) :

On considère un réel $\theta$. On a alors :

  1. $\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
  2. $\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$
Preuve Propriété 19

  1. $\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta + \cos \theta – \ic \sin \theta = 2\cos \theta$
    Donc $\cos \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} + \e^{-\ic \theta}}{2}$
  2. $\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta} = \cos \theta + \ic \sin \theta – \cos \theta + \ic \sin \theta = 2\ic \sin \theta$
    Donc $\sin \theta = \dfrac{\e^{\ic \theta} – \e^{-\ic \theta}}{2\ic }$

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$\quad$