TS – Devoir synthèse – 1er trimestre

Exercice 1

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseurs $\mathscr{F}_{1},~\mathscr{F}_{2},$ $\mathscr{F}_{3}$.

Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.

La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{1}$, le tiers par le fournisseur $\mathscr{F}_{2}$ et le reste par le fournisseur $\mathscr{F}_{3}$.

 

Une étude statistique a montré que:

  • $5\,\%$ des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathscr{F}_{1}$ ont un défaut ;
  • $1,5\,\%$ des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur $\mathscr{F}_{2}$ ont un défaut ;
  • sur l’ensemble du stock, $3,5\,\% $des paires de chaussette ont un défaut.
  1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise.
    On considère les évènements F$_{1}$, F$_{2}$, F$_{3}$ et D suivants :
    • $F_{1}$ : “La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{1}$”;
    • $F_{2}$ : “La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{2}$”;
    • $F_{3}$ : “La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{3}$” ;
    • $D$ : “La paire de chaussettes prélevée présente un défaut” .
    a. Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évènements précédents.
    $\quad$
    b. Représenter cette expérience à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{1}$ et présente un défaut.
    $\quad$
    d. Calculer la probabilité de l’évènement $F_{2} \cap D$.
    $\quad$
    e. En déduire la probabilité de l’évènement $F_{3} \cap D$.
    $\quad$
    f. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur $\mathscr{F}_{3}$, quelle est la probabilité qu’elle présente un défaut ?
    $\quad$
  2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.
    On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise.
    a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un lot présente un défaut est égale à $0,983.$

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 2

Partie A

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\]

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Oij$.

  1. Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ par :
    \[g(x) = 1 – x + \text{e}^x.\]
    Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
    En déduire le signe de $g(x)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$.
    $\quad$
  3. On appelle $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
    Démontrer que, pour tout réel $x$, \[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\]
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    a. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.
    Démontrer que $-1 < \alpha < 0$.
    $\quad$
    b. En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$
  6. a. Démontrer que la droite $T$ d’équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
    b. Étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $T$.

$\quad$

Partie B

  1. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par : $$H(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + x – (x + 1)\text{e}^{-x}$$
    Calculer $H'(x)$.
    $\quad$
  2. En utilisant la partie $\textbf{A}$, déterminer le sens de variation de la fonction $H$.

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 3

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par :

\[u_{0} = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } \:n, \:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.\]

  1.  a. Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près.
    $\quad$
    b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} \leqslant n + 3.\]
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} – u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 – u_{n}\right).\]
    $\quad$
    c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
    $\quad$
  3. On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} – n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: \[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et} \quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]
    a. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.

 Correction