TS – Exercices corrigés – Espace 1

Exercice 1

Amérique du Nord 2014

On considère un cube $ABCDEFGH$.

On note $M$ le milieu du segment $[EH]$, $N$ celui de $[FC]$ et $P$ le point tel que $\vec{HP} = \dfrac{1}{4}\vec{HG}$.

TS - exos - espace1 - ex1

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Justifier que les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes en un point $L$.
    Construire le point $L$.
    $\quad$
  2. On admet que les droites $(LN)$ et $(CG)$ sont sécantes et on note $T$ leur point d’intersection.
    On admet que les droites $(LN)$ et $(BF)$ sont sécantes et on note $Q$ leur point d’intersection.
    $\quad$
    a. Construire les points $T$ et $Q$ en laissant apparents les traits de construction.
    $\quad$
    b. Construire l’intersection des plans $(MNP)$ et $(ABF)$.
    $\quad$
  3. En déduire une construction de la section du cube par le plan $(MNP)$.
    $\quad$

Partie B

L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}\right)$.

  1. Donner les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$ dans ce repère.
    $\quad$
  2. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
  3. On admet que le point $T$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{5}{8}\right)$.
    $\quad$
  4. Le triangle $TPN$ est-il rectangle en $T$?
    $\quad$
Correction Exercice 1

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

  1. Les $2$ droites appartiennent à la face $EFGH$. Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont parallèles et le point $M$ appartient à $[EH]$ mais pas le point $P$. Par conséquent les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes.
    $~$
  2.  b. L’intersection des $2$ plans est représentée en trait plein rouge (les $2$ droites $(PT)$ et $(RQ)$ sont parallèles).
    TS - amerique du nord - mai 2014
  3. La section du cube par le plan $(MNP)$ est représentée par le polygône $RMPTQ$.
    Remarque : on peut vérifier que les droites $(TQ)$ et $(RM)$ sont parallèles.

Partie B

  1. $M(0;0,5;1)$ $\quad N(1;0,5;0,5)$ $\quad P(0,25;1;1)$
    $~$
  2. $\vec{MP} (0,25;0,5;0)$
    Une représentation paramétrique de $(MP)$ est donc :
    $$\begin{cases} x=0,25t \\\\y=0,5 + 0,5t \quad t \in \R \\\\z=1 \end{cases}$$
    $\vec{FG}(0;1;0)$
    Une représentation paramétrique de $(FG)$ est donc :
    $$\begin{cases} x=1 \\\\y=k \quad k \in \R \\\\z=1 \end{cases}$$
    Cela signifie donc que $0,25t = 1$ soit $t=4$
    Par conséquent $y=0,5 + 0,5 \times 4 = 2,5$
    Les coordonnées de $L$ sont donc $(1;2,5;1)$
    $~$
  3. $TP^2 = (0,25-1)^2 + 0^2+\left(1-\dfrac{5}{8} \right)^2 = \dfrac{45}{64}$
    $TN^2 = 0^2+(-0,5)^2+\left(0,5 – \dfrac{5}{8} \right)^2 = \dfrac{17}{64}$
    $NP^2 = (-0,75)^2+0,5^2+0,5^2 = \dfrac{17}{16}$
    Or $\dfrac{45}{64}+\dfrac{17}{64} = \dfrac{31}{32} \ne \dfrac{17}{16}$
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $TPN$ n’est pas rectangle en $T$.

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Exercice 2

Polynésie septembre 2008

On donne la propriété suivante :

“par un point de l’espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée”

Sur la figure on a représenté le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$.

TS - exos - espace1 - ex2

On a placé :

  • les points $I$ et $J$ tels que $\vec{BI} = \dfrac{2}{3}\vec{BC}$ et $\vec{EJ} = \dfrac{2}{3}\vec{EH}$.
  • le milieu $K$ de $[IJ]$.

On appelle $P$ le projeté orthogonal de $G$ sur le plan $(FIJ)$.

Partie A

  1. Démontrer que le triangle $FIJ$ est isocèle en $F$.
    En déduire que les droites $(FK)$ et $(IJ)$ sont orthogonales.
    On admet que les droites $(GK)$ et $(IJ)$ sont orthogonales.
    $\quad$
  2. Démontrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(FGK)$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(FGP)$.
    $\quad$
  4. a. Montrer que les points $F, G, K$ et $P$ sont coplanaires.
    $\quad$
    b. En déduire que les points $F,P$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B

L’espace est rapporté au repère orthogonal $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$.

On appelle $N$ le point d’intersection de la droite $(GP)$ et du plan $(ADB)$.

  1. Donner les coordonnées des points $F,G,I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Montrer que la droite $(GN)$ est orthogonale aux droites $(FI)$ et $(FJ)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

Partie A

  1. Dans le triangle $FBI$ est rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} FI^2 &= BI^2 + FB^2 \\\\
    & = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + 1^2 \\\\
    & = \dfrac{4}{9} + 1 \\\\
    &= \dfrac{13}{9}
    \end{align*}$
    Dans le triangle $EFJ$ est rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} FJ^2 &= EJ^2 + FE^2 \\\\
    & = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + 1^2 \\\\
    & = \dfrac{4}{9} + 1 \\\\
    &= \dfrac{13}{9}
    \end{align*}$
    Par conséquent $FI = FJ$.
    Le triangle $FIJ$ est isocèle en $F$.
    $\quad$
    Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi une hauteur.
    Par conséquent $(FK)$, médiane issue du sommet $F$ est perpendiculaire à $(IJ)$.
    $\quad$
  2. $(IJ)$ est orthogonale aux deux droites $(FK)$ et $(GK)$.
    Ce sont deux droites sécantes du plan $(FGK)$.
    Par conséquent $(IJ)$ est orthogonale à $(FGK)$.
    $\quad$
  3. Par conséquent $(IJ)$ est orthogonale à toutes les droites du plan $(FGK)$, en particulier à $(FG)$.
    $P$ est le projeté orthogonal de $G$ sur le plan $(FIJ)$. Par conséquent $(PG)$ est orthogonal à toutes les droites de $(FIJ)$, en particulier à $(IJ)$.
    $\quad$
    Ainsi $(IJ)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(FGP)$, $(FG)$ et $(PG)$. Elle est donc orthogonale au plan $(FGP)$.
    $\quad$
  4. a. Les plans $(FGP)$ et $(FGK)$ sont orthogonaux à la même droite $(IJ)$. Ils sont donc parallèles.
    Ils ont le point $F$ en commun : ils sont donc confondus (d’après la propriété donnée en préambule).
    Par conséquent les points $F, G, K$ et $P$ sont coplanaires.
    $\quad$
    b. Par définition, les points $P$ et $K$ appartiennent au plan $(FIJ)$.
    Par conséquent, les points $F, P$ et $K$ sont coplanaires.
    D’après la question précédente, $F, G, K$ et $P$ sont également coplanaires.
    Ces deux plans n’étant pas parallèles, les points $F, P$ et $K$ appartiennent à l’intersection de ces deux plans et sont donc alignés.
    $\quad$

Partie B

  1. Dans le repère $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$ on a :
    $F(1;0;1)$ $\quad$ $G(1;1;1)$ $\quad$ $I\left(1;\dfrac{2}{3};0\right)$ $\quad$ $J\left(0;\dfrac{2}{3};1\right)$.
    $\quad$
  2. $P$ est le projeté orthogonal de $G$ sur $(FIJ)$. Par conséquent $(GP)$ est orthogonale aux droites $(FI)$ et $(FJ)$.
    Or $N$ appartient à $(GP)$. Ainsi $(GN)$ est orthogonale aux droites $(FI)$ et $(FJ)$.

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