TS – exp et suites – Ex 3

Exercice 3

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2 – \text{e}^{-u_n}$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :

  1. $u_n \ge 0$
    $\quad$
  2. $u_{n+1} \le u_n$
    $\quad$

Correction

  1. Initialisation : Si $n= 0$ alors $u_0 = 5 \ge 0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \ge 0$.
    Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$, on a $\text{e}^{-u_n} \le \text{e}^0$ soit $\text{e}^{-u_n} \le 1$
    Et donc $u_{n+1} \ge 2 – 1$ soit $u_{n+1} \ge 1 \ge 0$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n \ge 0$.
    $\quad$
  2. Initialisation : $u_0 = 5$ et $u_1 = 2 – \text{e}^{-5}$
    Donc $u_1 – u_0 = 2 – \text{e}^{-5} – 5 = -3 – \text{e}^{-5} \le 0$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1} \le u_n$
    $\begin{align} u_{n+2} – u_{n+1} &= 2 – \text{e}^{-u_{n+1}} – \left(2 – \text{e}^{-u_n} \right) \\\\
    &= \text{e}^{-u_n} – \text{e}^{-u_{n+1}}
    \end{align}$
    Or on a :
    $\begin{align} u_{n+1} \le u_n & \Leftrightarrow -u_{n+1} \ge -u_n \\\\
    & \Leftrightarrow \text{e}^{-u_{n+1}} \ge \text{e}^{-u_n} \\\\
    & \Leftrightarrow \text{e}^{-u_n} – \text{e}^{-u_{n+1}} \le 0
    \end{align}$
    Par conséquent $u_{n+2} \le  u_{n+1}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion :  La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant .
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1} \le u_n$.