TS – Exponentielle – problème 3

Exercice 3

Le but de cet exercice est de montrer que l’équation $(E) : \text{e}^x = \dfrac{1}{x}$ admet une unique solution dans l’ensemble des nombres réels.

I Existence et unicité des solutions

On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)= x – \text{e}^{-x}$.

  1. Démontrer que $x$ est solution de l’équation $(E)$ si, et seulement si, $f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. Étude du signe de la fonction $f$.
    a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
    b. En déduire que l’équation $(E)$ possède une unique solution sur $\R$, notée $\alpha$.
    $\quad$
    c. Démontrer que $\alpha$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$.
    $\quad$
    d. Étudier le signe de $f $sur l’intervalle $[0;\alpha]$.

$\quad$

II Deuxième approche

On note $g $la fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ par : $g(x) = \dfrac{1 + x}{1 + \text{e}^x}$.

  1. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ est équivalente à l’équation $g(x) = x$.
    $\quad$
  2. En déduire que $\alpha$ est l’unique réel vérifiant $g(\alpha) = \alpha$.
    $\quad$
  3. Calculer $g'(x)$ et en déduire que la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$.

Correction

I Existence et unicité des solutions

  1. $x$ est solution de $(E)$ $\Leftrightarrow \text{e}^x = \dfrac{1}{x}$ $\Leftrightarrow \text{e}^{-x} = x$ car la fonction exponentielle ne s’annule jamais.
    Donc $x$ est solution de $(E)$ $\Leftrightarrow x – \text{e}^{-x} = 0$ $\Leftrightarrow f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. a. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et composée de fonction dérivables sur $\R$.
    $f'(x) = 1 + \text{e}^{-x} > 0$ pour tout $x \in \R$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{-x}= +\infty$ et  $\lim\limits_{x \to -\infty} x = -\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to -\infty}x – \text{e}^{-x} = -\infty$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} x – \text{e}^{-x} = +\infty$
     La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
    $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) =-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
    $0 \in ]-\infty;+\infty[$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x) = 0$ possède donc une unique solution sur $\R$.
    Par conséquent $(E)$ possède également une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    c. $f\left( \dfrac{1}{2} \right) \approx -0,1$ et $f(1) \approx 0,63$. Donc $f\left( \dfrac{1}{2} \right) \le 0 \le f(1)$
    Donc $\dfrac{1}{2} \le \alpha \le 1$.
    $\quad$
    d. Si $0 \le x \le \alpha$ puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ on a :
    $f(0) \le x \le f(\alpha)$ soit $-1 \le f(x) \le 0$.
    Par conséquent, $f(x) \le 0$ sur $[0;\alpha]$.

$\quad$

II Deuxième approche

  1. $\quad$
    $\begin{align}
    g(x) = x & \Leftrightarrow \dfrac{1 + x}{1 + \text{e}^x} = x \\\\
    &\Leftrightarrow 1 + x = x + x\text{e}^x \\\\
    & \Leftrightarrow 1 = x\text{e}^x \\\\
    & \Leftrightarrow x = \text{e}^{-x} \\\\
    & \Leftrightarrow x – \text{e}^{-x} = 0 \\\\
    & f(x) = 0
    \end{align}$
    $\quad$
  2. D’après la partie précédente $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $f(x) = 0$. C’est donc également l’unique solution de l’équation $g(x) = x$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que composée et quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $\begin{align} g'(x) &= \dfrac{1\left(1 + \text{e}^x\right) – (1 + x)\text{e}^x}{\left(1 + \text{e}^x\right)^2} \\\\
    &= \dfrac{1 – x\text{e}^x}{\left(1 + \text{e}^x\right)^2}
    \end{align}$
    Le dénominateur étant strictement positif, le signe de $g'(x)$ ne dépend que celui de $1 – x\text{e}^x$.
    Mais $ 1 -x\text{e}^x \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge x\text{e}^x \Leftrightarrow \text{e}^{-x} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge f(x)$.
    Mais d’après la dernière question de la partie 1, $f(x) \le 0$ sur $[0;\alpha]$ et, puisque la fonction $f$ est croissante sur $\R$, $f(x) \ge 0$ pour $x \ge \alpha$.
    On en déduit donc que $g'(x) \ge 0$ sur $[0;\alpha]$.
    La fonction $g$ est donc croissante sur $[0;\alpha]$.