TS – Ln – problèmes – Ex 1

Exercice 1

Soit la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x) = x – \ln x$.

Partie I

  1. Étudier les variations de $g$.
    $\quad$
  2. En déduire que pour tout $x \in ]0;+\infty[$, on a $g(x) \ge 1$.

 

 

Partie II

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln x}{x – \ln x}$.

  1. Justifier que $f$ est définie sur $I$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de $f$ en $0$ et $+\infty$.
    $\quad$
  3. Etudier les variations de $f$ et donner son tableau de variations.
    $\quad$
  4. Soient $A(0;-1)$ et $M\left(x;f(x)\right)$ pour $x > 0$.
    $\quad$
    Déterminer $m$ le coefficient directeur de la droite $(AM)$ en fonction de $x$ puis $\lim\limits_{x \to 0^+} m$.
    $\quad$
    Interpréter graphiquement.
    $\quad$
  5. Tracer la courbe $\mathscr{C}_f$ dans le plan muni d’un repère orthonormal.

Correction

Partie I

  1. $g$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$. Elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
    $g'(x) = 1 – \dfrac{1}{x} = \dfrac{x – 1 }{x}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    ts - ln - pb1.1
  2. Cela signifie donc que $1$ est le minimum de la fonction atteint pour $x= 1$.
    Par conséquent, pour tout $x \in ]0;+\infty[$, $g(x) \ge 1$.
    $\quad$

Partie II

  1. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty$. De plus, d’après la question A.2., $g(x) \ge 1$ donc le dénominateur ne s’annule jamais sur cet intervalle.
    Par conséquent $f$ est définie sur $I$.
    $\quad$
  2. $f(x) = \dfrac{\ln x}{\ln x \left(\dfrac{x}{\ln x} – 1\right)} = \dfrac{1}{\dfrac{x}{\ln x} – 1}$
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\ln x} = 0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{x}{\ln x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x}{\ln x} – 1 = -1$.
    Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = -1$.
    $\quad$
    $f(x) = \dfrac{\ln x}{x\left(1 – \dfrac{\ln x}{x}\right)} = \dfrac{\dfrac{\ln x}{x}}{1 – \dfrac{\ln x}{x}}$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur $I$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x}(x – \ln x) – \ln x \times \left(1 – \dfrac{1}{x}\right)}{\left(x – \ln x\right)^2}$ $ = \dfrac{1 – \ln x}{\left(x – \ln x\right)^2}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1 – \ln x$.
    Or $1 – \ln x > 0$ $ \Leftrightarrow -\ln x > -1$ $ \Leftrightarrow \ln x < 1$ $ \Leftrightarrow x < \e$
    ts - ln - pb1.2
  4. $\quad$
    $ \begin{align} m & = \dfrac{f(x) – (-1)}{x – 0} \\\\
    & = \dfrac{f(x) + 1}{x} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{\ln x}{x – \ln x} + 1}{x} \\\\
    & = \dfrac{\dfrac{x}{x – \ln x}}{x} \\\\
    & = \dfrac{1}{x – \ln x}
    \end{align}$
    $\quad$
    $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$  donc $\lim\limits_{x \to 0^+} m = 0$.Cela signifie donc que la courbe représentative de la fonction $f$ possède une (demi-)tangente horizontale en $0$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    ts - ln - pb1.3 (1)