TS – Synthèse 1 – Ex 3

Exercice 3

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par :

\[u_{0} = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } \:n, \:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.\]

  1.  a. Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près.
    $\quad$
    b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} \leqslant n + 3.\]
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} – u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 – u_{n}\right).\]
    $\quad$
    c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
    $\quad$
  3. On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} – n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: \[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et} \quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]
    a. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.

Correction

  1. a. $u_1 = \dfrac{2}{3}u_0 + \dfrac{1}{3} \times 0 + 1 = \dfrac{7}{3} \approx 2,33$
    $\quad$
    $u_2 = \dfrac{2}{3}u_1 + \dfrac{1}{3} \times 1 + 1 = \dfrac{26}{9} \approx 2,89$
    $\quad$
    $u_3 = \dfrac{2}{3}u_2 + \dfrac{1}{3} \times 2 + 1 = \dfrac{97}{27} \approx 3,59$
    $\quad$
    $u_4 = \dfrac{2}{3}u_3 + \dfrac{1}{3} \times 3 + 1 = \dfrac{356}{86} \approx 4,40$
    $\quad$
    b. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : $n=0$, $u_0 = 2 \le 0 +3$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le n + 3$
    Alors :
    $$\begin{align*} u_{n+1} &\le \dfrac{2}{3}(n+3) + \dfrac{1}{3}n + 1 \\\\
    & \le n+2+1 \\\\
    & \le n+3 \\\\
    & \le n+1+3
    \end{align*}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le n+3$
    $\quad$
    b.
    $$\begin{align*} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n+1 – u_n \\\\
    &= -\dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{1}{3}(n+3) \\\\
    &=\dfrac{1}{3}(n+3-u_n)
    \end{align*}$$
    $\quad$
    c. On sait que $n+3 – u_n \ge 0$ donc $u_{n+1}-u_n \ge 0$ et la suite $(u_n)$ est croissante.
    $\quad$
  3. a.
    $$\begin{align*} v_{n+1} &=u_{n+1}-n-1 \\\\
    &=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1-n-1 \\\\
    &=\dfrac{2}{3}u_n-\dfrac{2}{3}n \\\\
    &= \dfrac{2}{3}v_n
    \end{align*}$$
    La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0=2$.
    $\quad$
    b. On a donc $v_n=2 \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n$ et $u_n = n+v_n = n+2\times \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$.
    $\quad$
    c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n=+\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{2}{3}\right)^n = 0$ car $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$.
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$
    $\quad$
  4. a.
    $$ \begin{align*} S_n &= 0 + 1 + 2 +\ldots+n+2\left(1 + \dfrac{2}{3}+\ldots+\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right) \\\\
    &=\dfrac{n(n+1)}{2} + 2 \dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}} \\\\
    &=\dfrac{n(n+1)}{2} + 6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)
    \end{align*}$$
    b.
    $$\begin{align*} T_n &=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2} + 6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} + \dfrac{6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2}
    \end{align*}$$
    Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \dfrac{1}{2}$ (limite des termes de plus haut degré)
    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2} = 0$
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} T_n = \dfrac{1}{2}$