Correction exercice 2

Correction

Fiche TS-rec1

Exercice 2

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, on a :

$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+\ldots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

 

Conclusion

Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1=1^2 = 1$ et $\dfrac{1(1+1)(2\times 1 + 1)}{6} = 1$.

La propriété est vraie au rang $1$.

 

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

$\begin{align} S_{n+1} &= 1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \\\\
&= S_n + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \\\\
&= \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\\\
&= \dfrac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\\\
&=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \quad (1)
\end{align}$

On voulait montrer que $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

Développons $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.

Par conséquent, en revenant dans $(1)$ on a $S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$.

La propriété est vraie au rang $n+1$.

 

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En supposant la propriété vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour entier $n \ge 1$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.