Correction Bac Mathématiques STG Mercatique – Nouvelle Calédonie – 7 mars 2014

Vous trouverez l’énoncé ici

Exercice 1

1. Réponse a : $\dfrac{60688,7}{198367,3} \approx 0,3059$
2. Réponse b : (C2-B2)/B2  (il faut absolument mettre des parenthèses)
3. Réponse c : $\dfrac{60688,7 – 53285,1}{53285,1} \approx 0,1389$
4. Réponse a : Le coefficient multiplicateur est $c = \dfrac{60688,7}{53285,1} \approx 1,1389$. Il y a 6 évolutions.
   Par conséquent le coefficient moyen est $c_{moyen} = 1,1389^{1/6} \approx 1,0219$.
   Donc le taux d’évolution moyen est $ 1,0219 – 1 = 0,0219$ soit $2,19%$.

Exercice 2

Partie A : Evolution de l’audience entre la première et la deuxième semaine

1. 
   
2. $p(A\cap B) = 0,4 \times 0,9 = 0,36$ Cela signifie donc que $36%$ des adolescents du groupe ont vu l’émission les 2 semaines.
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $$p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B) = 0,36 + 0,6 \times 0,1 = 0,42$$.
4. On cherche donc $p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0,36}{0,42} \approx 0,86$.

Partie B : Audience de la finale

1. On a donc $u_2 = \left(1 + \dfrac{5}{100} \right) \times 400 = 1,05 \times 400 = 420$.
2. Chaque terme est multiplié par $1,05$ d’un rang sur l’autre. Il s’agit donc d’une suite géométrique de premier terme $u_1 = 400$ et de raison $1,05$.
3. Par conséquent $u_n = 400 \times 1,05^{n-1}$ (on commence au rang 1!)
4. $u_{12} = 400 \times 1,05^{11} \approx 684$.
   684 adolescents du groupe ont regardé la finale.

Exercice 3

Partie A : Etude du nombre de licenciés dans un club de Taekwondo

1.  L’équation de la droite d’ajustement fournie par la calculatrice est : $y = 4,0x+3,4$.
2. 
3. En $2012$ $x=22$ donc $y=4,0 \times 22 + 3,4 = 91,4$.
   Le résultat obtenu à l’aide de l’ajustement affine est très éloigné de la valeur réelle. Il n’est donc pas approprié.

Partie B : Etude d’une fonction

1. $f'(x) = 0,1 \times 13,5\text{e}^{0,1x} = 1,35\text{e}^{0,1x}$.
2. La fonction exponentielle est toujours strictement positive. Par conséquent pour tout $x \in [0;26]$ on a $f'(x) > 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
3. $f(x) \ge 150 \Leftrightarrow 13,5\text{e}^{0,1x} \ge 150 \Leftrightarrow \text{e}^{0,1x} \ge \dfrac{100}{9} \Leftrightarrow 0,1x \ge \text{ln} \dfrac{100}{9} \Leftrightarrow x \ge 10 \text{ln} \dfrac{100}{9}$.
   Sur l’intervalle $[0;26]$ la solution est donc $\left[10\text{ln} \dfrac{100}{9};26 \right]$.a.

   $x$	0	4	7	10	12	15	17	20	26
   $f(x)$	14	20	27	37	45	61	73	100	182

   b.
   

4. $10\text{ln} \dfrac{100}{9} \approx 24,07$
   Le club dépassera donc les 150 licenciés à partir de la $25^{ème}$ année soit en 2015

Exercice  4

1. On a $8x+6y \ge 120$ soit $4x+3y \ge 60$.
   De plus $3x+1*y \ge 30$ soit $3x+y \ge 30$.
   Les nombres $x$ et $y$ sont des entiers naturels donc $x \ge 0$ et $y \ge 0$.
2. a.
   b. $4 \times 10 + 3 \times 5 = 55 \le 60$
   Avec $10$ lots A et $5$ lots B, l’entreprise ne peut donc pas équiper son personnel.
   c. $4 \times 12 + 3 \times 10 = 78 \ge 60$
   $3 \times 12 + 10 = 46 \ge 30$
   et $12 \ge 0$ , $10 \ge 0$.
   Donc avec 12 lots A et 10 lots B, l’entreprise peut équiper son personnel.
3. a. La dépense est donc $d = 300x + 130y$
   b. Pour pouvoir remplir le tableau, il faut écrire : $=300*\$A2+130*B\$1$
   c.
   
   d. La dépense minimale est donc de $2760€$ pour $6$ lots A et $12$ lots B.