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Exercice 1 6 points

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près.

Partie 1

On estime qu’en 2013 la population mondiale est composée de $4,6$ milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que $46,1\%$ des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et $53,9\%$ en zone urbaine.
En 2013, d’après la fédération internationale du diabète, $9,9\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et $6,4\%$ de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.
On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

$R$ l’événement : “la personne choisie habite en zone rurale”,
$D$ l’événement: “la personne choisie est atteinte de diabète”.

Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
$\quad$
a. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.
$\quad$
b. La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu’elle habite en zone rurale ?
$\quad$

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à $60$ mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à $110$ mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme “normale” si elle est comprise entre $70$ mg. dL$^{-1}$ et $110$ mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre $60$ et $70$ mg.rdL$^{-1}$ ne font pas l’objet d’un suivi particulier.
On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d’établir que la probabilité qu’il soit en hyperglycémie est $0,052$ à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$.
On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d’un adulte d’une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun “normale” ?
$\quad$
Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième.
$\quad$
Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.
$\quad$

Partie 3

Afin d’estimer la proportion, pour l’année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard $10~000$ personnes.
Dans l’échantillon étudié, $716$ personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

À l’aide d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ , estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.
$\quad$
Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l’on veut obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à $0,01$ ?
$\quad$

Exercice 2 4 points

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \pg 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de $0$ et de $1$, et la relation de récurrence: $$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}$$

a. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
$\quad$
b. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \ic$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
$\quad$
c. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l’entier naturel $n$ ?
Prouver cette conjecture.
$\quad$
Déterminer $z_{2~016}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \ic$.
$\quad$
Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
$\quad$

Exercice 3 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $2$ pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on ne retourne aucune des deux pièces.
Au début du jeu, les $2$ pièces sont du côté face.

Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face d’une pièce et $1$ code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1-a$ code le côté de la pièce A après l’avoir retournée.
Variables :
$\quad$ $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers
$\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
Initialisation :
$\quad$ $a$ prend la valeur $0$
$\quad$ $b$ prend la valeur $0$
$\quad$ Saisir $n$
Traitement :
$\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
$\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
$\qquad$ Si $d \pg 2$
$\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
$\qquad \quad $ sinon Si $d \pp 4$
$\qquad \qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
$\qquad \qquad \quad$ Fin Si
$\quad$ Fin Si
$\quad$ $s$ prend la valeur $a + b$
Fin Pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $s$
$\quad$
a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $6$ et $4$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{variables}&i&d&a&b&s\\
\hline
\text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&\text{X}\\
\hline
1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
\hline
2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
\hline
3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on note :
$\bullet$ $X_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face”
$\bullet$ $Y_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”
$\bullet$ $Z_n$ l’événement : “À l’issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”.
De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des événements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
a. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.
$\quad$
b. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
$\quad$
c. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

$\quad$
d. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
$\quad$
e. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = -\dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
$\quad$
f. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n-\dfrac{1}{2}$.
Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$.
$\quad$
g. Calculer $\lim\limits_{n \to + \infty} y_n$.
Interpréter le résultat.
$\quad$

Exercice 3 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose d’un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et de $3$ pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face.
Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient $5$ ou $6$, alors on retourne la pièce C.
Au début du jeu, les $3$ pièces sont toutes du côté face.

Dans l’algorithme ci-dessous, $0$ code le côté face et $1$ code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1-a$ code l’autre côté de la pièce A.
Variables :
$\quad$ $a$, $b$, $c$, $d$, $s$ sont des entiers naturels
$\quad$ $i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$
Initialisation :
$\quad$ $a$ prend la valeur $0$
$\quad$ $b$ prend la valeur $0$
$\quad$ $c$ prend la valeur $0$
$\quad$ Saisir $n$
Traitement :
$\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire
$\qquad$ $d$ prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre $1$ et $6$
$\qquad$ Si $d \pp 2$
$\qquad \quad$ alors $a$ prend la valeur $1-a$
$\qquad \quad$ sinon Si $d \pp 4$
$\qquad \qquad$ alors $b$ prend la valeur $1-b$
$\qquad \qquad$ sinon $c$ prend la valeur $1-c$
$\qquad \quad$ Fin Si
$\qquad$ Fin Si
$\qquad$ $s$ prend la valeur $a + b + c$
$\quad$ Fin Pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $s$
$\quad$
a. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont $1$ ; $4$ et $2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{variables}&i&d&a&b&c&s\\
\hline
\text{initialisation}&\text{X}&\text{X}&&&&\text{X}\\
\hline
1^{\text{er}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
\hline
2^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
\hline
3^{\text{e}} \text{ passage boucle Pour}&&&&&&\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b. Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on note :
$\bullet$ $X_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face”
$\bullet$ $Y_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face”
$\bullet$ $Z_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l’autre est du côté face”
$\bullet$ $T_n$ l’événement: “À l’issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile”.
De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$.
a. Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$, $2$ ou $3$ pièces du côté pile.
$\quad$
b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}x_n& y_n& z_n& t_n\end{pmatrix}$.
a. Donner la matrice $U_0$.
$\quad$
b. À l’aide de l’arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$.
$\quad$
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = U_0 \times M^n$.
$\quad$
On admet que, pour tout entier $n \pg 1$,
$x_n = \dfrac{(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$ ;
$\quad$
$y_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n-(-1)^n \times 3 + 3}{8}$;
$\quad$
$z_n = \dfrac{-3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}$ ;
$\quad$
$t_n = \dfrac{-(-1)^n + 3 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n-3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$.
$\quad$
a. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au bout de $5$ lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile.
$\quad$
b. Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte
$\bullet$ Première affirmation :
“À l’issue d’un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile”.
$\bullet$ Deuxième affirmation:
“Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$”.
$\bullet$ Troisième affirmation:
“Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$”.
$\quad$

Exercice 4 5 points

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$v_1(t) = 5 \times \dfrac{\e^{0,3t}-1}{\e^{0,3t} + 1}$$

Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
$\quad$
On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement.
On admet que $t$ secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d’atteindre le sol, à $v_1(t)$.
On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m.s$^{-1}$.
Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement ? Justifier.
$\quad$

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas.
On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : $$v_2(t) = 32,7 \left(1-\e^{- 0,3t}\right)$$

Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de $10$ secondes ? Arrondir à $0,1$ m.s$^{-1}$.
$\quad$
Résoudre l’équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
$\quad$
On sait que la chute du colis dure $20$ secondes.
On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: $$d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\dt$$
a. Montrer que, pour tout réel $T$ de l’intervalle $[0;20]$, $d(T) = 109\left(\e^{-0,3 T} + 0,3 T-1\right)$.
$\quad$
b. Déterminer une valeur approchée à $1$ m près de la distance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol.
$\quad$
Déterminer un encadrement d’amplitude $0,1$ s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de $700$ mètres.
$\quad$