Applications de la dérivation

I Variation d’une fonction

Théorème 1 : On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

La fonction $f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)\pg 0$
La fonction $f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)\pp 0$
La fonction $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)= 0$

Théorème 2 : On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)> 0$, sauf pour un nombre dénombrable de valeurs où $f$ s’annule.
La fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$, $f'(x)< 0$, sauf pour un nombre dénombrable de valeurs où $f$ s’annule.

Remarque : Dénombrable signifie qu’on est capable de compter. Par exemple $f$ peut s’annuler pour tous les entiers relatifs mais ne peut pas s’annuler sur un intervalle. Dans la pratique, au lycée, il s’agira souvent d’un nombre fini de valeurs où $f$ s’annule.

Exemples :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=2x$.
$f'(x)=0 \ssi 2x=0 \ssi x=0$ et $f'(x)>0 \ssi 2x>0 \ssi x>0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Par conséquent, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+4x^2+7x-2$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme (ou en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$).
Pour tout réel $x$ on a :
$$\begin{align*} g'(x)&=3x^2+4\times 2x+7 \\
&=3x^2+8x+7\end{align*}$$
$g'(x)$ est donc un polynôme du second degré. Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=8^2-4\times 3\times 7\\
&=64-84 \\
&=-20\\
&<0\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=3>0$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, $g'(x)>0$.
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\R$.
$\quad$

Méthode à suivre pour étudier les variations d’une fonction $\boldsymbol{f}$ :

Si l’énoncé ne le dit pas, montrer que la fonction $f$ est dérivable.
Déterminer l’expression de $f'(x)$
Déterminer en justifiant le signe de $f'(x)$
En déduire les variations de la fonction $f$

Il est parfois demandé de fournir le tableau de variations de la fonction $f$.

$\quad$

II Extremum d’une fonction

Définition 1 : On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

On dit que $f$ admet un minimum local en $a$, appartenant à $I$, s’il existe un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ tel que pour tout réel $x$ de $J$ on ait $f(x)\pg f(a)$;
On dit que $f$ admet un maximum local en $a$, appartenant à $I$, s’il existe un intervalle ouvert $J$ inclus dans $I$ tel que pour tout réel $x$ de $J$ on ait $f(x)\pp f(a)$;
On dit que $f$ admet un extremum local en $a$ s’il admet un minimum ou un maximum local en $a$.

Remarque : Si $f$ admet un extremum global en $a$ alors elle admet un extremum local en $a$ également.

Exemples :

On considère la fonction $f$ dont une représentation graphique est donnée ci-dessous:

Graphiquement il semblerait que :
$\bullet$ la fonction $f$ admet des minimums locaux en $-3$ et $2$;
$\bullet$ la fonction $f$ admet un maximum local en $-1$.
$\quad$
On considère une fonction $f$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

D’après le tableau de variations, la fonction $f$ admet un maximum local en $-1$ et un minimum local en $1$.
$\quad$

Propriété 1 : On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à l’intervalle $I$.
Si $f$ admet un extremum local en $a$ alors $f'(a)=0$.

Remarque : Attention la réciproque est fausse. La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$ s’annule en $0$ et pourtant la fonction cube est strictement croissante sur $\R$.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+6x-5$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Cette fonction du second degré admet un minimum (le coefficient principal est $a=1>0$) au point d’abscisse $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ soit, ici, $x_0=-3$.
Par conséquent $f'(-3)=0$

Propriété 2 : On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à l’intervalle $I$.
Si $f’$ s’annule en $a$ en changeant de signe alors la fonction $f$ admet un extremum local en $a$.

On obtient ainsi, localement, les situations suivantes :

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3+9x^2-168x+5$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a :
$$\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2+9\times 2x-168 \\
&=6x^2+18x-168\end{align*}$$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &= 18^2-4\times 6\times (-168) \\
&=324+4~032 \\
&=4~356\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-18-\sqrt{4~356}}{12} \\
&=-7\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-18+\sqrt{4~356}}{12} \\
&=4\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=6>0$
On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

La fonction $f$ admet donc un maximum local en $-7$ et un minimum local en $4$.

$\quad$

Remarque : Attention, dans le tableau de signes a bien étudier le signe de $f'(x)$ et non celui de $f(x)$ et, pour les variations de $f$, a bien calculer les valeurs de $f(x)$ et non celles de $f'(x)$.

$\quad$