Équations et inéquations du second degré

I Équations et polynômes du second degré

1. Généralités

Définition 1 : On appelle équation du second degré à coefficients réels toute équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$.

Exemples :

$2x^2+3x-5=0$ est une équation du second degré où $a=2$, $b=3$ et $c=-5$.
$x^2-5x+2=0$ est une équation du second degré où $a=1$, $b=-5$ et $c=2$.
$4x^2-7=0$ est une équation du second degré où $a=4$, $b=0$ et $c=-7$.
$-3x^2+2x=0$ est une équation du second degré où $a=-3$, $b=2$ et $c=0$.
$7x+5=0$ n’est pas une équation du second degré.
$7x^3+4x^2+5x-6=0$ n’est pas une équation du second degré.
$\quad$

Définition 2 : On appelle polynôme du second degré ou trinôme du second degré tout polynôme de la forme $ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$.

$\quad$

Définition 3 : On dit qu’un réel $\alpha$ est une racine d’une polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$ si $P(\alpha)=0$.

Exemple : $4$ est une racine du polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=2x^2-11x+12$.
En effet :
$\begin{align*} P(4)&=2\times 4^2-11\times 4+12 \\
&=2\times 16-44+12 \\
&=32-32 \\
&=0\end{align*}$

Remarque : D’une manière générale, on dit qu’un réel $\alpha$ est une racine d’un polynôme $P$ si $P(\alpha)=0$.

$\quad$

Définition 4 : On considère une polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$.
On appelle discriminant de ce polynôme le nombre $\Delta = b^2-4ac$.

Exemples :

On considère le polynôme $P(x)=4x^2-5x+2$.
On $a =4$, $b=-5$ et $c=2$.
Le discriminant est alors :
$\begin{align*} \Delta &= b^2-4ac \\
&=(-5)^2-4\times 4\times 2 \\
&=25-32 \\
&=-7\end{align*}$
On considère le polynôme $P(x)=3x^2+4x-1$.
On $a =3$, $b=4$ et $c=-1$.
Le discriminant est alors :
$\begin{align*} \Delta &= b^2-4ac \\
&=4^2-4\times 3\times (-1) \\
&=16+12 \\
&=28\end{align*}$

Remarque : Parfois, les termes du polynôme du second degré ne sont pas rangés dans le sens des puissances de $x$ décroissantes. Il faut donc bien faire attention à l’ordre des termes du polynôme.

Propriété 1 : On considère un polynôme du second degré $P$ défini, pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.
Alors, pour tout réel $x$ on a $P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$.

Preuve Propriété 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} P(x)&=ax^2+bx+c \\
&=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right) \\
&=a\left(x^2+2\times \dfrac{b}{2a}x+\dfrac{c}{a}\right) \\
&=a\left(x^2+2\times \dfrac{b}{2a}x\color{red}{+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2}\color{black}{+\dfrac{c}{a}}\right] \quad (*)\\
&=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]\\
&=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2}\right]\\
&=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]\\
&=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\end{align*}$

$(*)$ : on a ajouté et retiré la même quantité à l’équation $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$. De cette façon, on a ajouté $0$ à l’équation en l’écrivant sous une forme particulière afin de compléter le début de l’identité remarquable $x^2+2\times \dfrac{b}{2a}x$.

$\quad$

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$\quad$

Définition 5 : On considère un polynôme du second degré $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.
L’expression $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ est appelée forme canonique du polynôme $P$.

Exemples : Pour déterminer la forme canonique d’un polynôme du second degré on peut soit utiliser la propriété précédente, soit reprendre la démonstration de la propriété en l’appliquant au cas particulier qui est fourni.

On considère le polynôme $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x)=2x^2+6x-3$
$a=2$, $b=6$ et $c=-3$
Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac \\
&=6^2-4\times 2\times (-3) \\
&=36+24 \\
&=60 \end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P(x)&=2x^2+6x-3 \\
&=2\left[\left(x+\dfrac{6}{2\times 2}\right]^2-\dfrac{60}{4\times 2^2}\right] \\
&=2\left[\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{15}{4}\right] \end{align*}$
On considère le polynôme $R$ défini pour pour tout réel $x$ par $R(x)=5x^2-7x+2$
$a=5$, $b=-7$ et $c=2$.
$\begin{align*} R(x)&=5x^2-7x+2 \\
&=5\left(x^2-\dfrac{7}{5}x+\dfrac{2}{5}\right) \\&=5\left(x^2-2\times \dfrac{7}{10}x+\dfrac{49}{100}-\dfrac{49}{100}+\dfrac{2}{5}\right) \\&=5\left[\left(x- \dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{49}{100}+\dfrac{40}{100}\right] \\
&=5\left[\left(x-\dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{9}{100}\right] \end{align*}$

$\quad$

2. Solutions d’une équation du second degré

Théorème 1 : On considère l’équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ et on note $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$.

Si $\Delta <0$ alors l’équation ne possède pas de solution réelle;
Si $\Delta=0$ alors l’équation possède une unique solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$;
Si $\Delta>0$ alors l’équation possède deux solutions réelles $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Preuve théorème 1

On a ;
$\begin{align*} &ax^2+bc+c=0 \\
\ssi~& a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]=0 \\
\ssi ~&\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0\\
\ssi ~&\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0\end{align*}$

Si $\Delta<0$ alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$
Par conséquent $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$
L’équation $ax^2+bx+c=0$ ne possède donc pas de solution.
Si $\Delta=0$ on a alors :
$\begin{align*} &ax^2+bx+c=0\\
\ssi~&\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0\\
\ssi ~&x+\dfrac{b}{2a}=0 \\
\ssi~& x=-\dfrac{b}{2a}\end{align*}$
l’équation possède une unique solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
Si $\Delta>0$ on a alors :
$\begin{align*} &ax^2+bx+c=0\\
\ssi~& \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\sqrt{\Delta}^2}{(2a)^2}=0\\
\ssi~& \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)^2=0\\
\ssi~& \left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right]\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right]=0\\
\ssi~& \left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)=0
\end{align*}$
Il s’agit d’une équation de produit nul.
Ainsi $x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}=0 \ssi x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
ou $x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}=0 \ssi x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
L’équation possède deux solutions réelles $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\quad$

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$\quad$

Exemples :

On veut résoudre l’équation $3x^2-4x+5=0$
$\begin{align*} \Delta& = (-4)^2-4\times 3\times 5 \\
&=16-60 \\
&=-44\\
&<0\end{align*}$
L’équation $3x^2-4x+5=0$ ne possède donc pas de solution réelle.
$\quad$
On veut résoudre l’équation $5x^2+40x+80=0$
$\begin{align*} \Delta&=(40)^2-4\times 5\times 80\\
&=1~600-1~600 \\
&=0\end{align*}$
L’équation $5x^2+40x+80=0$ possède donc une unique solution :
$\begin{align*} x_0&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{40}{10} \\
&=-4\end{align*}$
$\quad$
On veut résoudre l’équation $3x^2+7x-2=0$
$\begin{align*} \Delta&=7^2-4\times 3\times (-2) \\
&=49+24 \\
&=73\\
&>0\end{align*}$
L’équation $3x^2+7x-2=0$ possède donc deux solutions :
$\begin{align*}x_1&=\dfrac{-7-\sqrt{73}}{2\times 3} \\
&=\dfrac{-7-\sqrt{73}}{6}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*}x_2&=\dfrac{-7+\sqrt{73}}{2\times 3} \\
&=\dfrac{-7+\sqrt{73}}{6}\end{align*}$.

$\quad$

3. Lien avec les polynômes du second degré

Propriété 2 : On considère un polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$ et son discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

Si $\Delta <0$ alors le polynôme $P$ ne possède pas de racine réelle;
Si $\Delta=0$ alors le polynôme $P$ possède une unique racine $x_0=-\dfrac{b}{2a}$;
Si $\Delta>0$ alors le polynôme $P$ possède deux racines réelles $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Remarque : Il s’agit d’une réécriture du théorème précédent pour les polynômes. En effet $x$ est une racine du polynôme $P$ si, et seulement si, $ax^2+bx+c=0$.

Propriété 3 : On considère un polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$ tel que son discriminant $\Delta=b^2-4ac$ soit strictement positif.
$P$ possède alors deux racines $x_1$ et $x_2$.
On a alors $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$.

Preuve Propriété 3

Les racines du polynômes sont : $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Ainsi :

La somme des racines est :
$\begin{align*} x_1+x_2&= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\
&=\dfrac{-2b}{2a} \\
&=-\dfrac{b}{a}\end{align*}$
Le produit des racines est :
$\begin{align*} x_1\times x_2&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\times \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\
&=\dfrac{\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)\times \left(-b+\sqrt{\Delta}\right)}{4a^2} \\
&=\dfrac{(-b)^2-\sqrt{\Delta}^2}{4a^2} \\
&=\dfrac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2} \\
&=\dfrac{4ac}{4a^2} \\
&=\dfrac{c}{a}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère le polynôme $P$ définie par $P(x)=7x^2-7x-42$.
On a :
$\begin{align*} P(3)&=7\times 3^2-7\times 3-42 \\
&=63-21-42 \\
&=0\end{align*}$
Ainsi $3$ est une racine du polynôme $P$.
On appelle $\alpha$ la seconde racine.
D’après la propriété précédente (produit des racines) :
$\begin{align*} 3\alpha=\dfrac{-42}{7} &\ssi 3\alpha =-6 \\
&\ssi \alpha =-2\end{align*}$

Remarque : Cette propriété permet de vérifier si les racines trouvées par le calcul sont les bonnes.

Propriété 4 : (factorisation) On considère un polynôme du second degré $P$ défini par $P(x)=ax^2+bx+c$.

Si $\Delta<0$ alors le polynôme $P$ n’est pas factorisable dans $\R$;
Si $\Delta=0$ alors le polynôme $P$ possède une unique racine réelle $x_0$ et, pour tout réel $x$, on a $P(x)=a\left(x-x_0\right)^2$;
Si $\Delta>0$ alors le polynôme $P$ possède deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ et, pour tout réel $x$, on a $P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

Preuve Propriété 4

Pour tout réel $x$, on a $P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$.

Si $\Delta=0$ alors $P(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$. En notant $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ on a bien $P(x)=\left(x-x_0\right)^2$.
Si $\Delta>0$ alors d’après la preuve du théorème 1 on a :
$P(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{(2a)}\right)$
En notant $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ on a bien :
$P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$
Si $\Delta<0$ le polynôme $P$ ne possède pas de racine. S’il était factorisable, il existerait alors au moins un réel $\alpha$ tel que $P(\alpha)=0$ ce qui est impossible.
Donc $P$ n’est pas factorisable.
$\quad$

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$\quad$

Exemples :

Si $P(x)=5x^2-40x+35$. Après calculs, on trouve $\Delta=900>0$. Le polynôme $P$ possède alors deux racines $x_1=1$ et $x_2=7$. De plus $a=5$.
Ainsi, la forme factorisée de $P(x)$ est $P(x)=5(x-1)(x-7)$.
Si $P(x)=-3x^2-30x-75$. Après calculs, on trouve $\Delta=0$. Le polynôme $P$ possède alors une unique racine $x_0=-5$.
Ainsi, la forme factorisée de $P(x)$ est $P(x)=-5(x+5)^2$.
$\quad$

II Signes d’un polynôme du second degré et inéquations

Théorème 2 : On considère un polynôme du second degré $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.

Si $\Delta<0$ alors $P(x)$ a le même signe que $a$ pour tout réel $x$;
Si $\Delta=0$ alors $P(x)$ s’annule en $-\dfrac{b}{2a}$ et a le même signe que $a$ pour tout réel $x\neq -\dfrac{b}{2a}$ ;
Si $\Delta>0$ alors $P(x)$ s’annule en deux réels distincts $x_1$ et $x_2$, tels que $x_1<x_2$, $P(x)$ est du signe de $a$ sur $\left]-\infty;x_1\right[\cup\left]x_2;+\infty\right[$ et $P(x)$ est du signe de $-a$ sur $\left]x_1;x_2\right[$.

Preuve Théorème 2

Pour tout réel $x$ on a $P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$.

Si $\Delta<0$ alors $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ et par conséquent $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$.
Ainsi $P(x)$ et $a$ on le même signe.
Si $\Delta=0$ alors $P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]$
Or $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ si $x=-\dfrac{b}{2a}$ et $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2>0$ sinon.
Donc $P(x)$ s’annule en $-\dfrac{b}{2a}$ et a le même signe que $a$ pour tout réel $x\neq -\dfrac{b}{2a}$.
Si $\Delta >0$ on a alors $P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ avec $x_1<x_2$.
On obtient alors le tableau de signes suivant :

$\quad$

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$\quad$

Exemples :

On considère le polynôme $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=-2x^2+x-7$.
On a :
$\begin{align*}\Delta&=1^2-4\times(-2)\times (-7) \\
&=1-56 \\
&=-55\\
&<0\end{align*}$
De plus, le coefficient principal du polynôme du second degré $P$ est $a=-2<0$.
Par conséquent $P(x)<0$ pour tout réel $x$.
On considère le polynôme $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=3x^2-24x+48$.
On a :
$\begin{align*} \Delta&=(-24)^2-4\times 3\times 48 \\
&=576-576\\
&=0\end{align*}$
De plus le coefficient principal du polynôme du second degré $P$ est $a=3>0$ et $-\dfrac{b}{2a}=4$
Par conséquent $P(x)>0$ pour tout réel $x\neq 4$ et $P(4)=0$.
Remarque : On écrit souvent, d’une manière plus simple, $P(x)\pg 0$ pour tout réel $x$.
On considère le polynôme $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=4x^2+24x+20$
On a :
$\begin{align*} \Delta&=24^2-4\times 4\times 20 \\
&=576-320\\
&=256\\
&>0\end{align*}$
Après calculs, les racines du polynômes sont $-5$ et $-1$.
De plus, le coefficient principal est $a=4>0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

Ce théorème permet donc de résoudre des inéquations produits ou quotients dans lesquelles figurent des polynômes du second degré.

Exemples :

Résoudre l’inéquation $(x+5)\left(3x^2+6x-24\right)>0$
$x+5=0 \ssi x=-5$ et $x+5>0 \ssi x>-5$
On étudie maintenant le signe de $3x^2+6x-24$
$\begin{align*}\Delta&=6^2-4\times 3\times (-24) \\
&=324\\
>0\end{align*}$
Le polynôme du second degré possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{324}}{6}\\
&=-4\end{align*}$ $~$ et $~$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{324}}{6}\\
&=2\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=3>0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :
Ainsi, l’ensemble solution de l’inéquation est $]-5;-4[\cup]2;+\infty[$.
$\quad$
Résoudre l’inéquation $\dfrac{x-1}{-x^2+3x-7}\pp 0 $
$x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
On étudie maintenant le signe de $-x^2+3x-7$.
$\begin{align*}\Delta&=3^2-4\times (-1)\times (-7) \\
&=-19\\
&<0\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-1<0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

Ainsi, l’ensemble solution de l’inéquation est $[1;+\infty[$.
$\quad$

III Représentation graphique

Propriété 5 : On considère un fonction polynôme du second degré $P$ défini pour tout réel $x$ par $P(x)=ax^2+bx+c$.
La représentation graphique de $P$ est une parabole dont le sommet a pour coordonnées le point de coordonnées $\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$.

Preuve Propriété 5

Pour tout réel $x$ on a : $P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$.
Ainsi $\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}\right]\pg -\dfrac{\Delta}{4a^2}$
Donc $P(x)\pg -\dfrac{\Delta}{4a}$ si $a>0$ et $P(x)\pp -\dfrac{\Delta}{4a}$ si $a<0$.
De plus $P\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{\Delta}{4a}$.
Le point de coordonnées $\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ est donc le sommet de la parabole.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la fonction du second degré $P$ définie sur $\R$ par $f(x)=4x^2-3x-2$.
L’abscisse du sommet est :
$\begin{align*}x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-3}{8} \\
&=\dfrac{3}{8}\end{align*}$

$\begin{align*}\Delta&=(-3)^2-4\times 4\times (-2) \\
&=41\end{align*}$
L’ordonnée du sommet est :
$\begin{align*} y_S&=-\dfrac{\Delta}{4a} \\
&=-\dfrac{41}{16}\end{align*}$

$\quad$

On peut synthétiser les propriétés et théorèmes vus dans les parties précédentes dans le tableau suivant :

$P$ est un polynôme du second degré défini par $P(x)=ax^2+bx+c$ donc le discriminant est $\Delta = b^2-4ac$.