Fonction dérivée

I Fonction dérivée

Définition 1 : Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle $\boldsymbol{I}$ si elle est dérivable en tout réel $a$ de $I$.

Définition 2 :On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$. On appelle fonction dérivée de la fonction $f$ la fonction, notée $f’$, qui à tout réel $x$ de l’intervalle $I$, lui associe le nombre $f'(x)$.

Définition 3 : On appelle ensemble de dérivabilité de la fonction $\boldsymbol{f}$ l’ensemble des réels pour lesquels $f$ est dérivable.

Remarque : L’ensemble de dérivabilité d’une fonction est inclus dans son ensemble de définition.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2-2x+1$ et deux réels $a$ et $h$, non nul.
Le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{3(a+h)^2-2(a+h)+1-\left(3a^2-2a+1\right)}{h} \\
&=\dfrac{3\left(a^2+2ah+h^2\right)-2a-2h+1-3a^2+2a-1}{h} \\
&=\dfrac{3a^2+6ah+3h^2-2a-2h+1-3a^2+2a-1}{h}\\
&=\dfrac{6ah+3h^2-2h}{h}\\
&=6a-2+3h\end{align*}$$
Pour tout réel $a$, quand $h$ tend vers $0$, le nombre $6a-2+3h$ tend vers $6a-2$.
Par conséquent, pour tout réel $a$, la fonction $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=6a-2$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $f'(x)=6x-2$.

$\quad$

II Fonctions dérivées des fonctions usuelles

Propriété 1 : Pour toute fonction $f$ on notera $D_f$ sont ensemble de définition et $D_{f’}$ son ensemble de dérivabilité.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Fonction $\boldsymbol{f}$ définie par}&\boldsymbol{D_f}&\textbf{Fonction $\boldsymbol{f’}$ définie par}&\boldsymbol{D_{f’}}\\
\hline
f(x)=k \text{ où }k\in\R&\R&f'(x)=0&\R\\
\hline
f(x)=mx+p \text{ où $m$ et $p$ sont deux réels}&\R&f'(x)=m&\R\\
\hline
f(x)=x^2&\R&f'(x)=2x&\R\\
\hline
f(x)=x^n \text{ où }n\in\N^*&\R&f'(x)=nx^{n-1}&\R\\
\hline
f(x)=\sqrt{x}&[0;+\infty[&f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}&]0;+\infty[\\
\hline
f(x)=\dfrac{1}{x}&\R\setminus\lbrace 0\rbrace&f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}&\R\setminus\lbrace 0\rbrace\\
\hline
f(x)=\dfrac{1}{x^n} \text{ où }n\in\N^*&\R\setminus\lbrace 0\rbrace&f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}&\R\setminus\lbrace 0\rbrace\\
\hline
f(x)=|x|&\R&f'(x)=\begin{cases} 1&\text{si }x>0 \\-1&\text{si }x<0\end{cases}&\R\setminus{0}\\
\hline
\end{array}$$

Preuve Propriété 1

Si $f(x)=mx+p$
Pour tous réels $a$ et $h$, non nul, le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} &=\dfrac{m(a+h)+p-(ma+p}{h} \\
&=\dfrac{ma+mh+p-ma-p}{h} \\
&=\dfrac{mh}{h}\\
&=m\end{align*}$$
Ainsi $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$ on a $f'(x)=m$.
$\quad$
Si $f(x)=x^2$
Pour tous réels $a$ et $h$, non nul, le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} &=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\
&=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} \\
&=\dfrac{2ah+h^2}{h}\\
&=2a+h\end{align*}$$
Quand $h$ tend vers $0$ le nombre $2a+h$ tend vers $2a$.
Ainsi $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=2a$.
$\quad$
Si $f(x)=\sqrt{x}$
Pour tout réel $a$ strictement positif et tout réel $h$ non nul , le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} &=\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h} \\
&=\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\times \dfrac{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} \\
&=\dfrac{{\sqrt{a+h}}^2-{\sqrt{a}}^2}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)} \\
&=\dfrac{a+h-a}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)} \\
&=\dfrac{h}{h\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)} \\
&=\dfrac{1}{\left(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\right)} \end{align*}$$
Quand $h$ tend vers $0$ le nombre $\sqrt{a+h}+\sqrt{a}$ tend vers $2\sqrt{a}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\quad$
Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$
Pour tous réels $a$ et $h$ non nuls, le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} &= \dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h} \\
&=\dfrac{~\dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)}~}{h} \\
&=\dfrac{-\dfrac{h}{a(a+h)}~}{h} \\
&=-\dfrac{1}{a(a+h)}\end{align*}$$
Quand $h$ tend vers $0$ le nombre $a(a+h)$ tend vers $a^2$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R\setminus\lbrace 0\rbrace$ et, pour tout réel $x$ non nul, on a $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
$\quad$
Si $f(x)=|x|$
Pour tous réel $a$ et $h$, non nul, le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dfrac{|a+h|-|a|}{h}$
– Si $a>0$
Pour toutes valeurs de $h$ telles que $a+h>0$ alors :
$\begin{align*}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} &=\dfrac{a+h-a}{h}\\
&=\dfrac{h}{h} \\
&=1\end{align*}$
La fonction $f$ est donc dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=1$.
– Si $a<0$
Pour toutes valeurs de $h$ telles que $a+h<0$ alors :
$\begin{align*}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} &=\dfrac{-(a+h)-(-a)}{h}\\
&=\dfrac{-a-h+a}{h}
&=\dfrac{-h}{h} \\
&=-1\end{align*}$
La fonction $f$ est donc dérivable sur $]-\infty[;0$ et, pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=-1$.
– Si $a=0$ alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dfrac{|h|}{h}$
Par conséquent si $h>0$ alors $\dfrac{|h|}{h}=1$ et si $h<0$ alors $\dfrac{|h|}{h}=-1$.
Quand $h$ tend vers $0$ on obtient donc deux limites différentes. La fonction $f$ n’est, par conséquent, pas dérivable en $0$.
$\quad$

Les autres formules sont admises.
$\quad$

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$\quad$

Remarque : Le fait que la fonction racine carrée ne soit pas dérivable en $0$ a été démontré dans le chapitre sur le nombre dérivé.
$\quad$

$\quad$

III Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 2 (somme) : On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$.
La fonction $f=u+v$, définie sur $I$, par $f(x)=u(x)+v(x)$, est également dérivable sur l’intervalle $I$ et, pour tout réel $x$ de cet intervalle, $f'(x)=u'(x)+v'(x)$.

Preuve Propriété 2

On considère deux réels $a$ et $h$, non nul tels que $a+h$ appartienne à l’intervalle $I$.
Le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{u(a+h)+v(a+h)-u(a)-v(a)}{h}\\
&=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\end{align*}$$
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur l’intervalle $I$ donc $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$ et $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$
Ainsi $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=u'(a)+v'(a)$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ appartenant à $I$, on a $f'(x)=u'(x)+v'(x)$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la fonction définie sur $\R\setminus\lbrace 0\rbrace$ par $f(x)=2x+5+\dfrac{1}{x}$.
La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=2x+5$ est dérivable sur $\R$ donc également sur $\R\setminus\lbrace 0\rbrace$. Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2$.
La fonction $v$ définie sur $\R\setminus\lbrace 0\rbrace$ par $v(x)=\dfrac{1}{x}$ est dérivable sur $\R\setminus\lbrace 0\rbrace$. Pour tout réel $x$ non nul on a $v'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R\setminus\lbrace 0\rbrace$ et pour tout réel $x$ non nul on a $f'(x)=2-\dfrac{1}{x^2}$.

Propriété 3 (produit par un réel) : On considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ et un réel $k$.
La fonction $f=ku$, définie sur $I$, par $f(x)=k\times u(x)$, est également dérivable sur l’intervalle $I$ et, pour tout réel $x$ de cet intervalle, $f'(x)=ku'(x)$.

Preuve Propriété 3

On considère deux réels $a$ et $h$, non nul tels que $a+h$ appartienne à l’intervalle $I$.
Le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{ku(a+h)-hu(a)}{h}\\
&=\dfrac{k\left(u(a+h)-u(a)\right)}{h} \\
&=k\times \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\end{align*}$$
La fonction $u$ est dérivable sur l’intervalle $I$ donc $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ appartenant à $I$, on a $f'(x)=ku'(x)$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=5x^2$.
La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x^2$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a :
$$\begin{align*} f'(x)&=5\times 2x \\
&=10x\end{align*}$$

Propriété 4 (produit de deux fonctions) : On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$.
La fonction $f=uv$, définie sur $I$, par $f(x)=u(x)\times v(x)$, est également dérivable sur l’intervalle $I$ et, pour tout réel $x$ de cet intervalle, $f'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$.

Preuve Propriété 4

On considère deux réels $a$ et $h$, non nul tels que $a+h$ appartienne à l’intervalle $I$.
Le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{u(a+h)\times v(a+h)-u(a)\times v(a)}{h} \\
&=\dfrac{u(a+h)\times v(a+h)-u(a)\times v(a)+{\color{red}u(a+h)\times v(a)+u(a+h)\times v(a)}}{h}\\
&=\dfrac{\left[u(a+h)-u(a)\right]\times v(a)+\left[v(a+h)-v(a)\right]\times u(a+h)}{h}\\
&=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a)+u(a+h)\times \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\end{align*}$$
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur l’intervalle $I$ donc $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$ et $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$
On admet que $\lim\limits_{h\to 0}u(a+h)=u(a)$.
Ainsi $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de cet intervalle, on a $f'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x\sqrt{x}$.
La fonction $u$ définie pour tout réel $x$ par $u(x)=x$ est dérivable sur $\R$, et donc sur $]0;+\infty[$, et, pour tout réel $x$, on a $u'(x)=1$.
La fonction $v$ définie pour tout réel $x$ positif par $v(x)=\sqrt{x}$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, et pour tout réel $x$ strictement positif on a $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur l’intervalle $I$ et, pour tout réel $x>0$ on a :
$$\begin{align*} f'(x)&=1\times \sqrt{x}+x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
&=\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}} \\
&=\dfrac{2x+x}{2\sqrt{x}} \\
&=\dfrac{3x}{2\sqrt{x}}\\
&=\dfrac{3{\sqrt{x}}^2}{2\sqrt{x}}\\
&=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}\end{align*}$$

Propriété 5 (carré d’une fonction) On considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$.
La fonction $f=u^2$, définie par $f'(x)=\left(u(x)\right)^2$ sur $I$, est dérivable sur $I$ et pour tout réel $x$ appartenant à cet intervalle on a $f'(x)=2\times u'(x)\times u(x)$.

Preuve Propriété 5

On applique la propriété précédente avec la fonction $v=u$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $I$.
Pour tout réel $x$ appartenant à $I$ on a alors :
$\begin{align*}
f'(x)&=u'(x)\times u(x)+u(x)\times u'(x) \\
&=2\times u'(x)\times u(x)\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Remarque : Cette propriété n’est pas explicitement au programme.

$\quad$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(3x^2+5x-1\right)^2$.
La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=3x^2+5x-1$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme du second degré.
De plus pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} u'(x)&=2\times 3x+5 \\
&=6x+5\end{align*}$
Ainsi la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $f'(x)=2(6x+5)\left(3x^2+5x-1\right)$.
$\quad$

Propriété 6 (inverse d’une fonction) : On considère une fonction $v$ dérivable sur un intervalle $I$ telle que $v(x)\neq 0$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $I$.
La fonction $f=\dfrac{1}{u}$, définie sur $I$ par $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$, est dérivable sur l’intervalle $I$ et, pour tout réel $x$ de cet intervalle, on a $f'(x)=-\dfrac{u'(x)}{u^2(x)}$.

Preuve Propriété 6

On considère deux réels non uls$a$ et $h$, non nul tels que $a+h$ appartienne à l’intervalle $I$.
Le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
$$\begin{align*} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\dfrac{\dfrac{1}{u(a+h)}-\dfrac{1}{u(a)}}{h} \\
&=\dfrac{\dfrac{u(a)-u(a+h)}{u(a+h)u(a)}}{h} \\
&=\dfrac{u(a)-u(a+h)}{h}\times \dfrac{1}{u(a)u(a+h)}\end{align*}$$
La fonction $u$ est dérivable sur $I$ donc $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{u(a)-u(a+h)}{h}=-u'(a)$.
On admet que $\lim\limits_{h\to 0} u(a+h)=u(a)$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $I$ et, pour tout réel $x$ de cet intervalle, $f'(x)=-\dfrac{u'(x)}{u^2(x)}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^2+5}$
La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x^2+5$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de deux fonctions dérivables sur $\R$. Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x$.
De plus, pour tout réel $x$, on a $u(x)>0$. Donc $u(x)\neq 0$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$ on a $f'(x)=-\dfrac{2x}{\left(x^2+5\right)^2}$.

Propriété 7 (quotient de deux fonctions) : On considère une fonction $u$ dérivables sur un intervalle $I$ et une une fonction $v$ dérivable sur $I$ et qui ne s’annule pas sur $I$.
La fonction $f=\dfrac{u}{v}$, définie sur $I$ par $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, est dérivable sur l’intervalle $I$ et, pour tout réel $x$ de cet intervalle, on a $f'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}$.

Preuve Propriété 6

Pour tout réel $x$ de l’intervalle $I$ on a $f(x)=u(x)\times \dfrac{1}{v(x)}$
D’après les propriétés 4. et 6. la fonction $f$ est dérivable sur $I$.
De plus :
$$\begin{align*} f'(x)&=u'(x)\times \dfrac{1}{v(x)}+u(x)\times \left(\dfrac{1}{v}\right)'(x) \\
&=\dfrac{u'(x)}{v(x)}+u(x)\times \dfrac{-v'(x)}{v^2(x)} \\
&=\dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^(x)}\end{align*}$$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\lbrace -2 \rbrace$ par $f(x)=\dfrac{5x-7}{2x+4}$
La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=5x-7$ est dérivable sur $\R$, donc sur $\R\setminus\lbrace -2 \rbrace$ et pour tout réel $x$ on a $u'(x)=5$
La fonction $v$ définie sur $\R$ par $v(x)=2x+4$ est dérivable sur $\R$, donc sur $\R\setminus\lbrace -2 \rbrace$ et pour tout réel $x$ on a $v(x)\neq 0$ et $v'(x)=2$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $\R\setminus\lbrace -2 \rbrace$ et pour tout réel $x$ appartenant à $\R\setminus\lbrace -2 \rbrace$ on a :
$$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\
&=\dfrac{5(2x+4)-(5x-7)\times 2}{(2x+4)^2} \\
&=\dfrac{10x+20-10x+14}{(2x+4)^2} \\
&=\dfrac{34}{(2x+4)^2}\end{align*}$$

Propriété 7 (composition) : On considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $J$ et deux réels $a$ et $b$.
Pour tout intervalle $I$ tel que, pour tout réel $x$ de cet intervalle, le nombre $ax+b$ appartienne à l’intervalle $J$, la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=u(ax+b)$ est dérivable sur $I$ et pour tout réel $x$ de cet intervalle on a $f'(x)=au'(ax+b)$.

Remarque : Cette propriété est admise.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $[-3;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{2x+6}$.
La fonction $u$ définie sur $[0;+\infty[$ par $u(x)=\sqrt{x}$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de cet intervalle $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
De plus, pour tout réel $x$ de $]-3;+\infty[$ on a $2x+6\in ]0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $]-3;+\infty[$ et, pour tout réel $x$ de cet intervalle on a :
$$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2}{2\sqrt{x}} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}\end{align*}$$

$\quad$