1ère – Cours – Fonction exponentielle

Fonction exponentielle

I Définition

Propriété 1 : On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$.
Cette fonction $f$ ne s’annule pas sur $\R$.
Preuve Propriété 1

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=f(x)\times f(-x)$.
Cette fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=f'(x)\times f(-x)+f(x)\times \left(-f'(-x)\right) \\
&=f(x)\times f(-x)-f(x)\times f(-x) \\
&=0\end{align*}$
La fonction $g$ est donc constante.
Or :
$\begin{align*} g'(0)&=f(0)\times f(-0) \\
&=1\times 1\\
&=1\end{align*}$
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)\times f(-x)=1$ et la fonction $f$ ne s’annule donc pas sur $\R$.
$\quad$

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$\quad$

Théorème 1 : Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$.
Preuve Théorème 1

On admet l’existence d’une telle fonction.
On ne va montrer ici que son unicité.

On suppose qu’il existe deux fonctions $f$ et $g$ définies et dérivables sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$, $g(0)=1$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$ et $g'(x)=g(x)$.
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$. Cette fonction $h$ est bien définie sur $\R$ puisque, d’après la propriété 1, la fonction $g$ ne s’annule pas sur $\R$.
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{f'(x)\times g(x)-f(x)\times g'(x)}{g^2(x)} \\
&=\dfrac{f(x)\times g(x)-f(x)\times g(x)}{g^2(x)} \\
&=0\end{align*}$
La fonction $h$ est donc constante sur $\R$.
Or :
$\begin{align*} h(0)&=\dfrac{f(0)}{g(0)} \\
&=\dfrac{1}{1} \\
&=1\end{align*}$
Ainsi pour tout réel $x$ on a $f(x)=g(x)$.
La fonction $f$ est bien unique.
$\quad$

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$\quad$

Définition 1 :La fonction exponentielle, notée $\exp$, est la fonction définie et dérivable sur $\R$ qui vérifie $\exp(0)=1$ et, pour tout réel $x$, $\exp'(x)=\exp(x)$.

Remarque : D’après la propriété 1, la fonction exponentielle ne s’annule donc jamais.

$\quad$

II Propriétés de la fonction exponentielle

Propriété 2 : La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et, pour tous réels $x$, on $\exp'(x)=\exp(x)$.

Remarque : Cette propriété découle directement de la définition de la fonction exponentielle.

Propriété 3 : Pour tous réels $a$ et $b$ on a $\exp(a+b) = \exp(a) \times \exp(b)$.
Preuve Propriété 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \exp(a+b-x) \times \exp(x)$.
Cette fonction est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$$\begin{align*} f'(x) &= -\exp'(a+b-x) \times \exp(x) + \exp(a + b -x) \times \exp'(x) \\
&= -\exp(a+b-x) \times \exp(x) + \exp(a+b-x) \times \exp(x)\\
&= 0
\end{align*}$$
La fonction $f$ est donc constante.
Mais $f(0) = \exp(a+b) \times \exp(0) = \exp(a + b)$.
Ainsi Pour tous réels $x$, on a donc $f(x) = \exp(a+b-x) \times \exp(x) = \exp(a+b)$.
En particulier si $x=b$, $f(b) = \exp(a) \times \exp(b) = \exp(a+b)$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : $\exp(5)=\exp(2+3)=\exp(2) \times \exp(3)$

Propriété 4 : Pour tout réel $x$, on a $\exp(x) > 0$.
Preuve Propriété 4

Pour tout réel $x$, on a $x=\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}$.
On peut alors utiliser la propriété précédente :
$$\begin{align*} \exp(x) &= \exp \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} \right) \\
&= \exp \left( \dfrac{x}{2} \right) \times \exp \left( \dfrac{x}{2} \right) \\
& = \left( \exp \left(\dfrac{x}{2} \right) \right)^2 \\
& > 0 \end{align*}$$
En effet, d’après la propriété 1 la fonction exponentielle ne s’annule jamais.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 5 : La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
Preuve Propriété 5

On sait que pour tout réel $x$, $\exp'(x) = \exp(x)$.
D’après la propriété précédente $\exp(x) > 0$.
Donc $\exp'(x) > 0$.

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$\quad$

Propriété 6 : On considère deux réels $a$ et $b$ ainsi qu’un entier relatif $n$.

  1. $\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$
  2. $\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b)$
  3. $\exp(na) = \left( \exp(a) \right)^n$

Preuve Propriété 6

  1. On sait que $\exp(0) = 1$
    Mais on a aussi $\exp(0) = \exp(a+(-a)) = \exp(a) \times \exp(-a)$.
    Par conséquent $\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $$\begin{align*} \exp(a-b) &= \exp \left( a+(-b) \right)\\
    & = \exp(a) \times \exp(-b) \\
    & = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} \\
    & = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. On va tout d’abord montrer la propriété pour tout entier naturel $n$.
    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $_n=\exp(na)$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $$\begin{align*} u_{n+1}&=\exp\left((n+1)a\right) \\
    &=exp(na+a)\\
    &=exp(na)\times \exp(a)\end{align*}$$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\exp(a)$ et de premier terme $u_0=exp(0)=1$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\left(\exp(a)\right)^n$, c’est-à-dire $\exp(na)=\left(\exp(a)\right)^n$.
    $\quad$
    On considère maintenant un entier relatif $n$ strictement négatif.
    Il existe donc un entier naturel $m$ tel que $n=-m$.
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \exp(na) &= \dfrac{1}{\exp(-na)} \\
    &=\dfrac{1}{\exp(ma)} \\
    & = \dfrac{1}{\left( \exp(a) \right)^{m}} \\
    & = \left( \exp(a) \right)^{-m}\\
    & = \left(\exp(a)\right)^n
    \end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • $\exp(-10)=\dfrac{1}{\exp(10)}$
  • $\dfrac{\exp(12)}{\exp(2)} = \exp(12-2)=\exp(10)$
  • $\exp(30) = \exp(3 \times 10) = \left(\exp(10)\right)^3$

$\quad$


$\quad$

III Notation $\boldsymbol{\e^x}$

Notation : Par convention on note $\e=\exp(1)$ dont une valeur approchée est $2,7182$.

D’après la propriété 6.3, on peut écrire, pour tout entier relatif $n$ :

$$\begin{align*} \exp(n) &= \exp(1 \times n) \\
&= \left( \exp(1) \right)^n \\
&= \e^n
\end{align*}$$

Définition 2 : On généralise cette écriture valable pour les entiers relatifs à tous les réels $x$ : $\exp(x) = \e^x$.
On note $\e$ la fonction définie sur $\R$ qui à tout réel $x$ lui associe $\e^x$.
Propriété 7 :

  1. La fonction $\e : x \mapsto \e^x$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réelt $x$ $\e’^x=\e^x$.
  2. Pour tous réels $a$ et $b$, on a :
    $\quad$ $\e^{a+b} = \e^a \times \e^b$
    $\quad$ $\e^{-a}=\dfrac{1}{\e^a}$
    $\quad$ $\e^{a-b} = \dfrac{\e^a}{\e^b}$
  3. Pour tout réels $a$ et tous entier relatif $n$, $\e^{na} = \left(\e^a \right)^n$.
  4. $\e^0 = 1$ et pour tout réel $x$, $\e^x > 0$.

$\quad$

IV Équations et inéquations

Propriété 8 : On considère deux réels $a$ et $b$.

  1. $\e^a = \e^b \ssi a = b$
  2. $\e^a < \e^b \ssi a < b$

Preuve Propriété 8

  1. $\bullet$ Si $a=b$ alors $\e^a=\e^b$.
    $\bullet$ Réciproquement, on considère deux réels $a$ et $b$ tels que $\e^a=\e^b$ et on suppose que $a\neq b$.
    Deux cas se présentent : $a<b$ ou $b<a$.
    On suppose que $a<b$. Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante, on a alors $\e^a<\e^b$. Cela contredit l’hypothèse que $\e^a=\e^b$.
    On raisonne de la même manière pour montrer que l’hypothèse $b<a$ ne convient pas.
    Finalement on a $a=b$.
    $\quad$
  2. Cette propriété provient de la stricte croissance de la fonction exponentielle.
    $\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • On veut résoudre l’équation $\e^{2x+1} = \e^{x-1}$
    D’après la propriété précédente :
    $\begin{align*} \e^{2x+1} = \e^{x-1} &\ssi 2x+1=x-1 \\
    &\ssi x=-2
    \end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
    $\quad$
  • On veut résoudre l’inéquation $\e^{-3x+5} < \e^{x-3}$
    D’après la propriété précédente :
    $\begin{align*}
    \e^{-3x+5} < \e^{x+2} &\ssi -3x+5<x-3 \\
    &\ssi -4x<-8 \\
    &\ssi x>2
    \end{align*}$
    L’ensemble solution de l’inéquation est donc l’intervalle $]2;+\infty[$.

$\quad$

IV Complément sur la fonction exponentielle

Voici la courbe représentant la fonction exponentielle :

ts-cours-exponentielle-fig2

Propriété 9 : Pour tous réels $a$ et $b$ la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{ax+b}$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=a\e^{ax+b}$.
Preuve Propriété 9

Pour tout réel $x$, le nombre $ax+b \in \R$ et la fonction exponentielle est dérivable sur $\R$.
Par conséquent (voir la propriété sur la composition du cours sur la fonction dérivée) la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
De plus cette propriété nous dit que pour tout réel $x$ on a $f(x)=a\e^{ax+b}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemples :

  • On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{5x-3}$
    La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=5\e^{5x-3}$.
  • On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{-2x+7}$
    La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=-2\e^{-2x+7}$

$\quad$

Propriété 10 : On considère un réel $k$ et la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{kx}$.

  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ si, et seulement si, $k>0$;
  • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$ si, et seulement si, $k<0$.

Preuve Propriété 10

D’après la propriété précédente, la fonction $f$ est dérivable et, pour tout réel $x$ on a $f'(x)=k\e^{kx}$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $f'(x)$ est du signe de $k$ pour tout réel $x$.

  • La fonction $f$ est strictement croissante
    $\ssi f'(x)>0$
    $\ssi k>0$
  • La fonction $f$ est strictement décroissante
    $\ssi f'(x)<0$
    $\ssi k<0$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$