1ère – Cours – Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques

I Définitions

Définition 1 : On appelle fonction cosinus la fonction, notée $\cos$, qui, à tout réel $x$, lui associe le nombre $\cos(x)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}&\dfrac{2\pi}{3}&\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{5\pi}{6}&\pi\\
\hline
\cos(x)&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-1\\
\hline
\end{array}$$

Définition 2 : On appelle fonction sinus la fonction, notée $\sin$, qui, à tout réel $x$, lui associe le nombre $\sin(x)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-\dfrac{\pi}{2}&-\dfrac{\pi}{3}&-\dfrac{\pi}{4}&-\dfrac{\pi}{6}&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\
\hline
\cos(x)&-1&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

II Propriétés

Propriété 1 (parité) :

  1. La fonction cosinus est paire.
  2. La fonction sinus est impaire.

Preuve Propriété 1

  1. Pour tout réel $x$, le point $M$ du cercle trigonométrique associé au réel $x$ et le point $M’$ du cercle trigonométrique associé au réel $-x$ sont symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Ils ont donc la même abscisse.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $\cos(-x)=\cos(x)$. La fonction cosinus est par conséquent paire.
  2. Pour tout réel $x$, le point $M$ du cercle trigonométrique associé au réel $x$ et le point $M’$ du cercle trigonométrique associé au réel $-x$ sont symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Ils ont donc des ordonnées opposées.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $\sin(-x)=-\sin(x)$. La fonction sinus est par conséquent impaire.
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Remarque : Cela signifie donc que la courbe représentant la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et que la courbe représentant la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Définition 2 : On dit qu’une fonction $f$, dont l’ensemble de définition est $\mathscr{D}_f$, est périodique de période $T$ si :

  • Pour tout réel $x \in \mathscr{D}_f$ on a $(x+T)\in\mathscr{D}_f$;
  • Pour tout réel $x$ on a $f(x+T)=f(x)$.

Propriété 2 (périodicité) : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. Cela signifie que, pour tout réel $x$, on a $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$.
Preuve Propriété 2

Pour tout réel $x$, les points du cercle trigonométrique associés aux réels $x$ et $x+2\pi$ sont confondus. Ils ont donc la même abscisse et la même ordonnée.
Par conséquent $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$.
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III Représentations graphiques

Les courbes représentant les fonctions cosinus et sinus sont appelées des sinusoïdes.

  • Fonction cosinus
    La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (parité) et deux points dont les abscisses sont séparées de $2\pi$ ont la même ordonnée (périodicité).
  • Fonction sinus

    La courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère (parité) et deux points dont les abscisses sont séparées de $2\pi$ ont la même ordonnée (périodicité). 

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