Généralités sur les fonctions

I Vocabulaire sur les fonctions

Définition 1 : Soit $\mathscr{D}$ une partie de $\R$. Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathscr{D}$ revient à associer à chacun des réels $x$ de $\mathscr{D}$ un unique réel $y$.
L’ensemble $\mathscr{D}$ est appelé ensemble de définition de la fonction $f$.
Le réel $y$ est l’image du nombre $x$ par la fonction $f$ et on note alors $y= f(x)$, qui se lit “$f$ de $x$”.

D’une manière plus synthétique la fonction est parfois définie de la façon suivante :
$$\begin{align*} f:& \mathscr{D} \to \R \\& x \mapsto f(x) \end{align*}$$

Exemple : L’ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x-7}$ est $D_f=[7;+\infty[$.
En effet, pour tout réel $x \in[7;+\infty[$ on a $x-7\pg 0$ et pour tout réel $x\in]-\infty;7[$ on a $x-7<0$.

Définition 2 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathscr{D}_f$ et $a$ un réel appartenant à $\mathscr{D}_f$. On appelle $b$ l’image de $a$ par la fonction $f$. On a donc $f(a) = b$.
On dit alors que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$.

Exemple : Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ telle que $h(x) = x^2 + 2x$.
L’image de $1$ est $h(1) = 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3$
L’image de $-3$ est $h(-3) = (-3)^2 + 2 \times (-3) = 9 – 6 = 3$
Les réels $1$ et $-3$ sont des antécédents du nombre $3$ par la fonction $h$.

Définition 3 : On considère une fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}_f$. Dans le plan muni d’un repère, on appelle courbe représentative de la fonction $f$, souvent notée $\mathscr{C}_f$ l’ensemble des points $M$ de coordonnées $\left(x;f(x)\right)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.

On dit alors qu’une équation de la courbe $\mathscr{C}_f$ est $y = f(x)$.

Sur cet exemple, le point $A(-4;0)$ appartient à la représentation graphique de $f$.

$\quad$

Définition 4 : Deux fonctions $f$ et $g$ sont dites égales si :

Elles sont le même ensemble de définition $\mathscr{D}$;
$\forall x\in \mathscr{D} f(x)=g(x)$.

Exemples :

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2-\dfrac{x}{x-7}$ et la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{x-14}{x-7}$
L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=\R/\lbrace 7\rbrace$ et l’ensemble de définition de la fonction $g$ est $\mathscr{D}_g=\R/\lbrace 7\rbrace$.
Ainsi $\mathscr{D}_f=\mathscr{D}_g$.
De plus, pour tout réel $x \in \R/\lbrace 7\rbrace$ on a :
$$\begin{align*} f(x)&=2-\dfrac{x}{x-7} \\
&=\dfrac{2(x-7)-x}{x-7} \\
&=\dfrac{2x-14-x}{x-7} \\
&=\dfrac{x-14}{x-7}\\
&=g(x)\end{align*}$$
Les fonctions $f$ et $g$ sont donc égales.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+1}$ et la fonction $g$ définie par $g(x)=x-1$
L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=\R/\lbrace -1\rbrace$ et l’ensemble de définition de la fonction $g$ est $\mathscr{D}_g=\R$.
Ainsi $\mathscr{D}_f \neq \mathscr{D}_g$
Les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas égales.
Cependant, pour tout réel $x \neq -1$ on a $f(x)=g(x)$ (factorisation par l’identité remarquable $a^2-b^2$).
$\quad$

$\quad$

II Variations

Dans cette partie on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ ainsi qu’un repère $(O;I,J)$.

Définition 5 : La fonction $f$ est dite croissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \le f(b)$.

Remarque : on constate donc que les images des nombres $a$ et $b$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$. Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre.

Définition 6 : La fonction $f$ est dite décroissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \ge f(b)$.

Remarque : La fonction $f$ change donc alors l’ordre.

Définition 7 : On fonction est dite constante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a $f(a) = f(b)$.

Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle $I$, les images de tous réels par la fonction $f$ sont égales.

Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle $I$. Cela signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ on a $f(a) < f(b)$ (respectivement $f(a) > f(b)$). On interdit donc que la fonction soit constante sur une partie de l’intervalle.

$\quad$

On synthétise les différentes variations d’une fonction sur son ensemble de définition à l’aide d’un tableau de variations.

Exemple :

Ce tableau nous fournit plusieurs informations :

L’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f = ]-\infty;+\infty[$ ou $\R$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;1[$
La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$
$f(1) = -4$

Par convention, on symbolisera la croissance d’une fonction sur un intervalle par une flèche “montante” et la décroissance par une flèche “descendante”. Dans la mesure du possible, on indique également les images des bornes des différents intervalles sur lesquels la fonction $f$ change de variations.

Définition 8 : On dit qu’une fonction $f$ est (strictement) monotone sur un intervalle $I$ si elle soit (strictement) croissante soit (strictement) décroissante sur l’intervalle $I$.

Définition 9 : On dit que la fonction $f$ admet un maximum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \le f(a)$.

Exemple :

La fonction $f$ admet pour maximum $3$; il est atteint pour $x = 2$.

Définition 10 : On dit que la fonction $f$ admet un minimum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \ge f(a)$.

Exemple :

La fonction $f$ admet pour minimum $-2$; il est atteint pour $x=4$.

Définition 11 : On dit que la fonction $f$ admet un extremum sur l’intervalle $I$, si elle possède un minimum ou un maximum sur cet intervalle.

$\quad$

III Fonctions de référence

Propriété 1 : On considère la fonction affine $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$.
Quel que soit les réels distincts $u$ et $v$, on a : $$a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}$$

Propriété 2 (fonctions affines) : Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur $a$.

Si $a > 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$
Si $a = 0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\R$
Si $a < 0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$

Proprité 3 (fonction carré): La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

Propriété 4 (fonction inverse) : La fonction inverse $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

Propriété 5 (fonction racine carrée) : La fonction racine carrée $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

Propriété 6 (fonction cube) : La fonction cube $f$ est strictement croissante sur $\R$.

On obtient ainsi le tableau de variations suivant.

Propriété 7 (fonction valeur absolue) : La fonction valeur absolue $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=|x|$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

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IV Fonctions paires et impaires

Définition 12 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $I$.

On dit que la fonction $f$ est paire si, pour tout $x\in I$ on a $-x\in I$ et $f(-x)=f(x)$.
On dit que la fonction $f$ est impaire si, pour tout $x\in I$ on a $-x\in I$ et $f(-x)=-f(x)$

Propriété 8 :

Si une fonction est paire alors l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour sa représentation graphique.
Si une fonction est impaire alors l’origine du repère est un centre de symétrie pour sa représentation graphique.

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Les fonctions polynômes du second degré et homographiques étaient au programme auparavant. Un cours sur ces fonctions est disponible ici.

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