1ère – Cours – Géométrie repérée

Géométrie repérée

Dans ce chapitre, le plan sera muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

I Équation cartésienne d’une droite

Définition 1 : Toute droite $d$ du plan possède une équation de la forme $ax+by+c=0$ où $(a;b)\neq (0;0)$ appelée équation cartésienne.
Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-b;a)$

Remarque : Une droite possède une infinité d’équations cartésiennes. Il suffit de multiplier une équation cartésienne par un réel non nul pour en obtenir une nouvelle.

Exemples :

  • $d$ est la droite passant par le point $A(4;-2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;1)$.
    On considère un point $M(x;y)$ du plan. Le vecteur $\vect{AM}$ a donc pour coordonnées $(x-4;y+2)$.
    $\begin{align*}M\in d&\ssi \text{det}\left(\vect{AM},\vec{u}\right)=0 \\
    &\ssi \begin{array}{|cc|}
    x-4&3\\
    y+2&1\end{array}=0\\
    &\ssi 1\times (x-4)-3(y+2)=0\\
    &\ssi x-4-3y-6=0\\
    &\ssi x-3y-10=0\end{align*}$
    Une équation cartésienne de $d$ est $x-3y-10=0$.
    $\quad$
  • On considère une droite $d$ dont une équation cartésienne est $4x+5y+1=0$.
    Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-5;4)$.
Définition 2 (vecteur normal) : Un vecteur $\vec{n}$, différent du vecteur nul, est normal à une droite s’il est orthogonal à tout vecteur directeur $\vec{u}$ de cette droite.

Remarques :

  • Cela signifie donc que, pour tout vecteur directeur $\vec{u}$ d’une droite, un vecteur normal $\vec{n}$ à cette droite vérifie $\vec{u}.\vec{n}=0$.
  • Il existe une infinité de vecteur normal à une droite.

 

Exemple : On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne est $2x-3y+4=0$.
Un vecteur directeur à cette droite $d$ est $\vec{u}(3;2)$. Le vecteur $\vec{n}(2;-3)$ est normal à cette droite $d$.
En effet :
$\begin{align*}\vec{u}.\vec{n}&=3\times 2+2\times (-3) \\
&=6-6\\
&=0\end{align*}$

Propriété 1 : Si un vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à un vecteur directeur $\vec{u}$ d’une droite $d$ alors il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de cette droite.
Preuve Propriété 1

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux. Donc $\vec{u}.\vec{n}=0$.
Pour tout vecteur directeur $\vec{v}$ il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.
$\begin{align*} \vec{v}.\vec{n}&=\left(k\vec{u}\right).\vec{n} \\
&=k\left(\vec{u}.\vec{n}\right)\\
&=0\end{align*}$
Ainsi les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{n}$ sont également orthogonaux.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 2 : On considère une droite $d$ dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$.
Le vecteur $\vec{n}(a;b)$ est alors normal à cette droite.
Preuve Propriété 2

Un vecteur directeur à la droite $d$ est $\vec{u}(-b;a)$.
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{n}&=-ba+ab\\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
D’après la propriété précédente, le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à tous les vecteurs directeurs de la droite $d$.
Par conséquent $\vec{n}$ est normal à la droite $d$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère une droite $d$ dont une équation cartésienne est $4x+7y-1=0$.
Un vecteur normal à la droite $d$ est donc $\vec{n}(4;7)$.

Propriété 3 : Si un vecteur $\vec{n}(a;b)$ est normal à une droite $d$ alors cette droite a une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$.
Propriété 3

On considère un point $A\left(x_A;y_A\right)$ appartenant à la droite $d$ et un point $M(x;y)$ du plan. Le vecteur $\vect{AM}$ a pour coordonnées $\left(x-x_A;y-y_A\right)$.
$\begin{align*} M\in s &\ssi \vec{n}.\vect{AM}=0 \\
&\ssi a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)=0\\
&\ssi ax-ax_A+by-by_A=0\\
&\ssi ax+by+\left(-ax_A-by_A\right)=0\end{align*}$
En notant $c=-ax_A-by_A$ la droite $d$ a une équation de la forme $ax+by+c=0$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On veut déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A(4;2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(-3;5)$.
Une équation de la droite $d$ est donc de la forme $-3x+5y+c=0$
$\begin{align*} A\in d&\ssi -3\times 4+5\times 2+c=0\\
&\ssi-12+10+c=0\\
&\ssi c=2\end{align*}$
Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $-3x+5y+2=0$.
$\quad$

$\quad$

II Équation d’un cercle

Propriété 4 : Une équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}$ de centre $A\left(x_A;y_A\right)$ et de rayon $r$ est $$\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2$$
Preuve Propriété 4

Le cercle $\mathscr{C}$ est l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $AM=r$.
Or
$\begin{align*} AM=r&\ssi \sqrt{\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2}=r\\
&\ssi \left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2\end{align*}$

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$\quad$

Remarque : La preuve de la propriété nous assure donc que l’équation $\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2$ est celle d’un cercle de centre $A\left(x_A;y_A\right)$ et de rayon $r$.

Exemples : 

  • Une équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}$ de centre $A(4;-3)$ et de rayon $5$ est $(x-4)^2+\left(y-(-3)\right)^2=5^2$ soit $(x-4)^2+(y+3)^2=25$.
  • On veut déterminer l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan vérifiant $x^2+4x+y^2-6y-8=0$
    $\begin{align*} &x^2+4x+y^2-6y-8=0\\
    &\ssi x^2+2\times 2\times x+y^2-2\times 3\times y-8=0\\
    &\ssi (x+2)^2-2^2+(y-3)^2-3^2-8=0 \quad (*)\\
    &\ssi (x+2)^2+(y-3)^2=21\\
    &\ssi \left(x-(-2)\right)^2+(y-3)^2=\sqrt{21}^2\end{align*}$
    $(*)$ On reconnaît en effet deux début d’identités remarquables de la forme $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$.
    L’ensemble cherché est donc le cercle de centre $A(-2;3)$ et de rayon $\sqrt{21}$.
    $\quad$