Nombre dérivé

Dans tout ce chapitre $f$ désignera une fonction définie sur un intervalle $I$ et on notera $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de cette fonction $f$ dans un repère du plan.

I Nombre dérivé

Définition 1 : On considère deux réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$.
On appelle taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ le nombre $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Remarque : Le taux de variation est donc le coefficient directeur de la droite $(AB)$ où $A$ et $B$ sont les points de coordonnées $\left(a;f(a)\right)$ et $\left(b;f(b)\right)$.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+1}$.
Le taux de variation de la fonction $f$ entre $1 et 5$ est :
$\begin{align*} \dfrac{f(5)-f(1)}{5-1}&=\dfrac{\dfrac{7}{26}-\dfrac{3}{2}}{4} \\
&=\dfrac{~-\dfrac{16}{13}~}{4} \\
&=-\dfrac{4}{13}\end{align*}$

Définition 2 : On considère un réel $a$ de l’intervalle $I$ et un réel $h$ non nul tel que $a+h$ appartienne également à l’intervalle $I$.
Si le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ tend vers un nombre réel quand $h$ tend vers $0$ on dit alors que la fonction $f$ est dérivable en $\boldsymbol{a}$.
Dans ce cas, la limite du taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ est appelé le nombre dérivé de $\boldsymbol{f}$ en $\boldsymbol{a}$. On le note $\boldsymbol{f'(a)}$.

Remarques :

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
On note également $f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Le point $M$ d’abscisse $a+h$ est donc infiniment proche du point $A$ d’abscisse $a$.

Exemples :

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=3x^2-x-4$.
On veut calculer, s’il existe, $f'(2)$.
On considère un réel $h$ non nul.
Le taux de variation de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$ est :
$$\begin{align*} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}&=\dfrac{3(2+h)^2-(2+h)-4-\left(3\times 2^2-2-4\right)}{h} \\
&=\dfrac{3\left(4+4h+h^2\right)-2-h-4-(12-6)}{h}\\
&=\dfrac{12+12h+3h^2-2-h-4-6}{h} \\
&=\dfrac{11h+3h^2}{h}\\
&=11+3h\end{align*}$$
Quand $h$ tend vers $0$ le nombre $3h$ tend également vers $0$.
Par conséquent :
$$\begin{align*} f'(2)&=\lim\limits_{h\to 0} (11+3h) \\
&=11\end{align*}$$
Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $2$ est $f'(2)=11$
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\sqrt{x}$
On veut calculer, s’il existe, $g'(0)$.
On considère un réel $h$ strictement positif.
Le taux de variation de la fonction $g$ entre $0$ et $0+h$ est :
$$\begin{align*} \dfrac{g(h)-g(0)}{h}&=\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h} \\
&=\dfrac{\sqrt{h}}{h}\\
&=\dfrac{\sqrt{h}}{\left(\sqrt{h}\right)^2}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{h}}\end{align*}$$
Quand $h$ se rapproche de $0$, le nombre $\sqrt{h}$ se rapproche également $0$ et $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ prend des valeurs de plus en plus grandes.
En effet $\dfrac{1}{\sqrt{0,01}}=10$, $\dfrac{1}{\sqrt{0,000~1}}=100$, $\dfrac{1}{\sqrt{10^{-50}}}=10^{25}$
Le taux de variation de la fonction $g$ entre $0$ et $h$ ne tend donc pas vers un réel.
La fonction $g$ n’est, par conséquent, pas dérivable en $0$.
$\quad$

$\quad$

II Tangente à une courbe

Définition 3 : On considère un réel $a$ de l’intervalle $I$.
Si la fonction $f$ est dérivable en $a$, on appelle tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A\left(a;f(a)\right)$ la droite $T$ passant par le point $A$ dont le coefficient directeur est $f'(a)$.

Propriété 1 : La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ en un point d’abscisse $a$ est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, $f'(a)=0$.

Preuve Propriété 1

Si la tangente au point d’abscisse $a$ est parallèle à l’axe des abscisses cela signifie que son coefficient directeur est nul.
Or, par définition, le coefficient directeur de cette tangente est $f'(a)$.
Par conséquent $f'(a)=0$.
$\quad$

Réciproquement, si $f'(a)=0$ alors une équation de la tangente est alors de la forme $y=k$. Elle est donc parallèle à l’axe des abscisses.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Lecture graphique du nombre $\boldsymbol{f'(a)}$
Sur le graphique ci-dessous est représentée une fonction $f$ et sa tangente $T$ au point d’abscisse $1$.

Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $m=\dfrac{2}{1}$ soit $m=2$.
Par conséquent $f'(1)=2$.
$\quad$

Théorème 1 : Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Preuve Théorème 1

Le coefficient directeur de la tangente est $f'(a)$. Ainsi une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(a)x+p$.
Le point $A\left(a;f(a)\right)$ appartient à la tangente.
Par conséquent $f(a)=f'(a)a+p \ssi p=f(a)-f'(a)a$.
On a donc $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a$ soit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2+3$ et on cherche à déterminer une équation de la tangente $T$ au point d’abscisse $1$.
Pour tout réel $h$ non nul, le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $1+h$ est :
$$\begin{align*} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^2+3-\left(1^2+3\right)}{h} \\
&=\dfrac{1+2h+h^2+3-4}{h} \\
&=\dfrac{2h+h^2}{h}\\
&=2+h\end{align*}$$
Par conséquent :
$$\begin{align*} f'(1)&=\lim\limits_{h\to 0} (2+h) \\
&=2\end{align*}$$
De plus $f(1)=4$.
Une équation de la droite $T$ est donc $y=2(x-1)+4$ soit $y=2x+2$.

Remarque : L’expression $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ est une approximation affine de la fonction $f$ au voisinage du réel $a$.
Pour tout réel $x$, appartenant à l’intervalle $I$, très proche du réel $a$ on a alors $f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$.

$\quad$