Probabilités conditionnelles

I Rappels

On considère deux événements $A$ et $B$ d’un même univers $\Omega$.

Définition 1 : On appelle événement contraire de $A$, l’événement constitué des issues n’appartenant pas à $A$. On le note $\overline{A}$.

Exemple : Dans un lancer de dé, on considère l’événement $A$ “Obtenir un $1$ ou un $2$”.

L’événement contraire est $\overline{A}$ “Obtenir un $3$, $4$, $5$ ou $6$”.

Définition 2 : L’événement “$A$ ou $B$”, noté $A \cup B$ et se lit “$A$ union $B$”, contient les issues appartenant à $A$ ou à $B$.

Remarque : Les éléments de $A \cup B$ peuvent appartenir à la fois à $A$ et à $B$.

Exemple : Dans un lancer de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.

L’événement $A \cup B$ est “Obtenir $1$, $2$, $3$ ou $5$”.

Définition 3 : L’événement “$A$ et $B$”, noté $A \cap B$ et se lit “$A$ inter $B$”, contient les issues communes à $A$ et $B$.

Exemple : Dans un lancer de dé, on appelle $A$ l’événement “Obtenir $1$,$2$ ou $3$” et $B$ l’événement “Obtenir $3$ ou $5$”.

L’événement $A \cap B$ est “Obtenir $3$”.

Définition 4 : Les événements $A$ et $B$ sont dits disjoints ou incompatibles si l’événement $A \cap B$ est impossible.

Exemple : Dans un lancer de dé, les événements “Obtenir $1$ ou $2$” et “Obtenir $4$ ou $5$” sont incompatibles.

Remarques :

Lorsque deux événements $A$ et $B$ sont disjoints on note $A \cap B = \varnothing$ où $\varnothing$ signifie “ensemble vide”.
Pour tout événement $A$, les événements $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints.

Propriété 1 : Dans une situation d’équiprobabilité on a :
$$p(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues de }A}{\text{nombre total d’issues}}$$

Exemple : Dans un jeu de $32$ cartes, on considère l’événement $A$ “tirer un roi”, on a $p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

Propriété 2 : Soit $A$ un événement d’une expérience aléatoire d’univers $\Omega$.

$0 \le p(A) \le 1$
$p\left(\Omega\right) = 1$
$p\left(\varnothing\right) = 0$
$p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A)$

$\quad$

Propriété 3 : On considère deux événements $A$ et $B$ d’un univers $\Omega$.
$$p\left(A \cup B\right) = p(A)+p(B)-p\left(A \cap B\right)$$

$\quad$

II Probabilités conditionnelles

Définition 5 : On considère deux événements $A$, tel que $p(A)\neq 0$, et $B$.
On appelle probabilité conditionnelle de $\boldsymbol{B}$ sachant $\boldsymbol{A}$ le nombre $$p_A(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$$

Exemple : On tire une carte noire d’un jeu de $32$ cartes. On veut déterminer la probabilité que cette carte soit un roi.
On considère alors les événements :

$N$ : “la carte tirée est noire”;
$R$ : “la carte tirée est un roi”.

On veut donc calculer $p_N(R) = \dfrac{p(N\cap R)}{p(N)}$
Or $p(N)=\dfrac{1}{2}$ et
$\begin{align*} p(N \cap R)&=\dfrac{2}{32}\\
&=\dfrac{1}{16}\end{align*}$
Donc
$\begin{align*}p_N(R)&=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{\dfrac{1}{2}}\\
&= \dfrac{1}{16} \times 2 \\
&= \dfrac{1}{8}\end{align*}$.

Les probabilités conditionnelles suivent les mêmes règles que les probabilités en général, c’est-à-dire :

Propriété 4 : On considère deux événements $A$, tel que $p(A)\neq 0$, et $B$.

$0 \pp p_A(B) \pp 1$
$p_A(\emptyset)=0$
$p_A(A)=1$
$p_A(B)+p_A\left(\overline{B}\right)=1$

Preuve Propriété 4

$p(A\cap B) \pg 0$ et $p(A)\pg 0$ donc $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \pg 0$.
De plus $A\cap B$ est inclus dans $A$. Par conséquent $p(A\cap B) \pp p(A)$ et $p_A(B) \pp 1$.
$\quad$
$p(A\cap \emptyset)=0$ donc $p_A(\emptyset)=0$
$\quad$
On a
$\begin{align*}p_A(A)&=\dfrac{p(A\cap A)}{p(A)}\\
&= \dfrac{p(A)}{p(A)}\\
&= 1\end{align*}$
$\quad$
On a
$\begin{align*}p_A(B)+p_A\left(\overline{B}\right) &= \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}+\dfrac{p\left(A\cap \overline{B}\right)}{p(A)} \\
&= \dfrac{p(A\cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)}{p(A)} \\
&= \dfrac{p(A)}{p(A)} \\
&=1
\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 5 : On considère deux événements $A$ et $B$ de probabilités tous les deux non nulles.
$$p(A\cap B)=p_A(B)\times p(A)=p_B(A) \times p(B)$$

Preuve Propriété 5

Par définition $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ donc $p(A\cap B)=p_A(B) \times p(A)$.
De même $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ donc $p(A\cap B)=p_B(A) \times p(B)$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $p(A)=0,7$ et $p_A(B)=0,4$
On a alors :
$\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B) \\
&=0,7\times 0,4\\
&=0,28\end{align*}$
$\quad$

III Du côté des arbres pondérés

On considère deux événements $A$, tel que $p(A)\neq 0$, et $B$.
On a alors un arbre pondéré de ce type qui se généralise aux situations dans lesquelles il y a plus de deux événements :

Propriété 6 : Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$.

Remarque : On retrouve en effet la propriété $p_A(B)+p_A\left(\overline{B}\right)=1$

Propriété 7 : Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui le composent.

Remarque : On retrouve ainsi la propriété $p(A\cap B)=p_A(B) \times p(A)$

Exemple : En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intention de vote de futurs électeurs.
Parmi les $1~200$ personnes qui ont répondu au sondage, $47\%$ affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.
Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que $10\%$ des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que $20\%$ des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

$A$ l’événement “La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A”;
$B$ l’événement “La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B”;
$V$ l’événement “La personne interrogée dit la vérité”.

On veut construire un arbre de probabilité traduisant la situation.

On sait que $p(A)=0,47$ donc $p(B)=1-p(A)=0,53$.
De plus $p_A\left(\overline{V}\right)=0,1$ donc $p_A(V)=0,9$ et $p_B\left(\overline{V}\right)=0,2$ donc $p_B(V)=0,8$
Ce qui nous donne l’arbre pondéré suivant :

D’après l’arbre pondéré, on peut dire que :
$\begin{align*} p(A\cap V) &= p(A)\times p_A(V) \\
&=0,47 \times 0,9\\
&= 0,423\end{align*}$

$\quad$

IV Formule des probabilités totales

Définition 6 : On considère un entier naturel $n$ non nul.
Les événements $A_1,A_2,\ldots,A_n$ forment un système complet d’événements fini ou une partition de l’univers $\Omega$ si :

Pour tout $i\in\left\{1,2,\ldots,n\right\}$, $p\left(A_i\right)\neq 0$;
Les événements $A_i$ sont disjoints deux à deux;
$A_1\cup A_2 \cup \ldots \cup A_n=\Omega$

Exemple :

Remarque : On parle également parfois de partition de l’unité.

Propriété 8 : (Probabilités totales – cas général)

On considère les événements $A_1,A_2,\ldots,A_n$ formant un système complet d’événements fini et un événement B.
$$\begin{align*}
p(B)&=p\left(A_1\cap B\right)+p\left(A_2\cap B\right)+\ldots+p\left(A_n\cap B\right) \\
&=p_{A_1}(B)p\left(A_1\right)+p_{A_2}(B)p\left(A_2\right)+\ldots+p_{A_n}(B)p\left(A_n\right)
\end{align*}$$

Très souvent dans les exercices on utilisera cette propriété dans les cas suivants :

Si $n=2$ : $A$ et $\overline{A}$ forment un système complet d’événements fini. Par conséquent $0<p(A)<1$ et
$$\begin{align*}
p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\overline{A}\cap B\right) \\
&=p_A(B)p(A)+p_{\overline{A}}(B)p\left(\overline{A}\right)
\end{align*}$$
$\quad$
Si $n=3$ : On considère que les événements $A_1$, $A_2$ et $A_3$ forment un système complet d’événements fini.
$$\begin{align*}
p(B)&=p\left(A_1\cap B\right)+p\left(A_2\cap B\right)+p\left(A_3\cap B\right) \\
&=p_{A_1}(B)p\left(A_1\right)+p_{A_2}(B)p\left(A_2\right)+p_{A_3}(B)p\left(A_n\right)
\end{align*}$$

Exemple : On reprend l’exemple de la partie III sur les arbres pondérés.
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a donc :
$$\begin{align*}
p(V)&=p(A \cap V)+p(B \cap V) \\
&=p(A)\times p_A(V)+p(B)\times p_B(V)\\
&= 0,47 \times 0,9+0,53 \times 0,8 \\
&=0,847
\end{align*}$$

Ainsi $84,7\%$ des personnes interrogées disent la vérité.

$\quad$

V Indépendance

Définition 7 : On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $p(A\cap B)=p(A) \times p(B)$.
Cela signifie que les deux événements peuvent se produire indépendamment l’un de l’autre.

Exemple : On tire au hasard une carte d’un jeu de $32$ cartes.
On considère les événements suivants :

$A$ “la carte tirée est un as”;
$C$ “la carte tirée est un cœur”.

$p(A)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$ et $p(C)=\dfrac{1}{4}$ donc $p(A)\times p(C)=\dfrac{1}{32}$
Il n’y a qu’un seul as de cœur donc $p(A\cap C)=\dfrac{1}{32}$
Par conséquent $p(A)\times p(C)=p(A\cap C)$ et les événements $A$ et $C$ sont indépendants.

Attention :

Ne pas confondre indépendant et incompatible;
$p(A\cap B)=p(A) \times p(B)$ que dans le cas des événements indépendants.
$\qquad$ Dans les autres cas on a $p(A\cap B)=p(A) \times p_A(B)$.

Propriété 9 : On considère deux événements indépendants $A$ et $B$ alors $A$ et $\overline{B}$ sont également indépendants.

Preuve Propriété 9

On suppose que $0<p(B)<1$.
$A$ et $B$ sont indépendants donc $p(A\cap B)=p(A) \times p(B)$.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*}
p(A)&= p(A\cap B)+p\left(A\cap \overline{B}\right) \\
&=p(A) \times p(B) + p\left(A\cap \overline{B}\right)
\end{align*}$$

Par conséquent :
$$\begin{align*}
p\left(A\cap \overline{B}\right) &= p(A)-p(A)\times p(B) \\
&=\left(1-p(B)\right) \times p(A) \\
&=p\left(\overline{B}\right) \times p(A)
\end{align*}$$
$A$ et $\overline{B}$ sont donc indépendants.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 10 : On considère deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles.
$$\begin{align*} A \text{ et } B \text{ sont indépendants } &\ssi p_A(B)=p(B) \\
& \ssi p_B(A)=p(A)
\end{align*}$$

Preuve Propriété 10

$$\begin{align*} A \text{ et } B \text{ sont indépendants } &\ssi p(A\cap B)=p(A) \times p(B) \\
&\ssi p_A(B) \times p(A)=p(A) \times p(B) \quad (*)\\
&\ssi p_A(B) = p(B)
\end{align*}$$

$(*)$ on peut diviser les deux membres par $p(A)$ puisque, par définition de $p_A(B)$, on a $p(A)\neq 0$.

On procède de même pour montrer que $p_B(A)=p(A)$.
$\quad$

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$\quad$