1ère – Cours – Produit scalaire

Produit scalaire

I Définition

Définition 1 (norme d’un vecteur) : On considère un vecteur $\vec{u}$ et deux points $A$ et $B$ tels que $\vect{AB}=\vec{u}$.
On appelle norme du vecteur $\boldsymbol{u}$ le nombre $\norme{\vec{u}}=AB$.

Définition 2 (produit scalaire) : On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.
On appelle produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le réel, noté $\vec{u}.\vec{v}$ défini par :
$$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}\times \cos \widehat{BAC}\\
&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}\end{align*}$$

Remarque : Par convention, si $\vec{u}=\vec{0}$ ou si $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=0$.

Exemple : On considère trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $AB=4$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$ rad. Alors :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}\\
&=4\times 3 \times \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \\
&=12\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=6\sqrt{2}\end{align*}$

Propriété 1 : On considère deux vecteurs colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens alors $\vec{u}.\vec{v}=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}$;
  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de sens contraire alors $\vec{u}.\vec{v}=-\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}$.

Preuve Propriété 1

On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.
$\vec{u}.\vec{v}=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}\times \cos \widehat{BAC}$

  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens alors $\widehat{BAC}=0$ rad.
    Par conséquent $\cos \widehat{BAC}=1$
    Ainsi $\vec{u}.\vec{v}=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}$.
  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens alors $\widehat{BAC}=\pi$ rad.
    Par conséquent $\cos \widehat{BAC}=-1$
    Ainsi $\vec{u}.\vec{v}=-\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}$.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 2 (projeté orthogonal) : On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ et on appelle $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
On a alors :
$$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\vect{AH} \\
&=\begin{cases} AB\times AH & \text{Si $\vec{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de même sens}\\-AB\times AH & \text{Si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de sens contraire} \end{cases}\end{align*}$$

Preuve Propriété 2

On a $\vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}$

  • Si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de même sens, c’est-à-dire $0\pp \widehat{BAC} <\dfrac{\pi}{2}$
    D’une part $\vect{AB}.\vect{AH}=AB\times AH$
    D’autre part, dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a $AC\times \cos \widehat{HAC}=AH$
    Or $\widehat{HAC}=\widehat{BAC}$
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\vect{AH} \\
    &=AB\times AH\end{align*}$$
    $\quad$
  • Si $\vect{AB}$ et $\vect{AH}$ sont de sens contraire, c’est-à-dire $\dfrac{\pi}{2}< \widehat{BAC} \pp \pi$
    D’une part $\vect{AB}.\vect{AH}=-AB\times AH$
    D’autre part, dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a $AC\times \cos \widehat{HAC}=AH$
    Or $\widehat{BAC}=\pi-\widehat{HAC}$
    Ainsi :
    $$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB \times AC\times \cos\left(\pi-\widehat{HAC}\right) \\
    &=AB \times AC \times \left(-\cos \widehat{HAC}\right) \\
    &=-AB \times AH\\
    &=\vect{AB}\times \vect{AH}\end{align*}$$
    $\quad$
  • Si $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$ rad
    Les points $A$ et $H$ sont confondus donc $\vect{AH}=\vec{0}$ donc $\vect{AB}.\vect{AH}=0$.
    $$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB \times AC\times \cos\widehat{HAC}) \\
    &=AB \times AC \times 0 \\
    &=0\\
    &=\vect{AB}\times \vect{AH}\end{align*}$$
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=5$ et $AC=2$.

Le point $B$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\vect{AB}.\times \vect{AB} \\
&=AB\times AB\\
&=25\end{align*}$

Définition 3 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ on note $\vec{u}^2=\vec{u}.\vec{u}$.
Propriété 3 : On considère deux points $A$ et $B$ du plan.
On a alors $\vect{AB}^2=\norme{\vect{AB}}^2=AB^2$.
Preuve Propriété 3

$\vect{AB}$ et $\vect{AB}$ sont deux vecteurs colinéaires.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AB}^2&=\vect{AB}.\vect{AB} \\
&=\norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AB}} \\
&=AB\times AB\\
&=AB^2\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

II Propriétés

Propriété 4 (symétrie) : On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
On a : $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$.
Preuve Propriété 4

On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}\times \cos \widehat{BAC}\\
&=\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{BAC}\\
&=\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{CAB}\\
&=\norme{\vect{AC}}\times \norme{\vect{AB}}\times \cos \widehat{CAB}\\
&=\vec{v}.\vec{u}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Propriété 5 (bilinéarité) : On considère trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ainsi qu’un réel $k$.

  1. $\vec{u}.\left(\vec{v}.\vec{w}\right)=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$
  2. $\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=\vec{u}.\left(k\vec{v}\right)=k\vec{u}.\vec{v}$

Preuve Propriété 5

  1. La propriété est admise.
    $\quad$
  2. On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$, $\vec{v}=\vect{AC}$, $k\vec{u}=\vect{AD}$ et $k\vec{v}=\vect{AE}$.
    – Si $k>0$ alors $\vec{u}=\vect{AB}$ et $k\vec{u}=\vect{AD}$ sont de même sens tout comme $\vec{v}=\vect{AC}$ et $k\vec{v}=\vect{AE}$, $\norme{\vect{AD}}=k\times \norme{\vect{AB}}$ et $\norme{\vect{AE}}=k\times \norme{\vect{AC}}$.
    Ainsi $\cos\widehat{BAC}=\cos \widehat{DAC}$ et $\cos\widehat{BAC}=\cos \widehat{BAE}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}\left(k\vec{u}\right).\vec{v}&=\vect{AD}.\vect{AC} \\
    &=\norme{\vect{AD}} \times \norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{DAC} \\
    &=k\times \norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{BAC} \quad (*)\\
    &=\norme{\vect{AB}} \times k\times\norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{BAC} \\
    &=\norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AE}}\times \cos\widehat{BAE} \\
    &=\vect{AB}.\vect{AE} \\
    &=\vec{u}.\left(k\vec{v}\right)\end{align*}$
    De plus $(*)$ nous donne également $\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k\vec{u}.\vec{v}$
    $\quad$
    – Si $k<0$ alors $\vec{u}=\vect{AB}$ et $k\vec{u}=\vect{AD}$ sont de sens contraire tout comme $\vec{v}=\vect{AC}$ et $k\vec{v}=\vect{AE}$, $\norme{\vect{AD}}=-k\times \norme{\vect{AB}}$ et $\norme{\vect{AE}}=-k\times \norme{\vect{AC}}$ (car $-k>0$).
    Ainsi $\cos\widehat{BAC}=-\cos \widehat{DAC}$ et $\cos\widehat{BAC}=-\cos \widehat{BAE}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*}\left(k\vec{u}\right).\vec{v}&=\vect{AD}.\vect{AC} \\
    &=\norme{\vect{AD}} \times \norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{DAC} \\
    &=-k\times \norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AC}}\times \left(-\cos\widehat{BAC} \right)\\
    &=k\times \norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AC}}\times \cos\widehat{BAC} \quad (*)\\
    &=\norme{\vect{AB}} \times \left(- k\times\norme{\vect{AC}}\right)\times \left(-\cos\widehat{BAC}\right) \\
    &=\norme{\vect{AB}} \times \norme{\vect{AE}}\times \cos\widehat{BAE} \\
    &=\vect{AB}.\vect{AE} \\
    &=\vec{u}.\left(k\vec{v}\right)\end{align*}$
    De plus $(*)$ nous donne également $\left(k\vec{u}\right).\vec{v}=k\vec{u}.\vec{v}$
    $\quad$
    – Si $k=0$ alors $\left(k\vec{u}\right).\vec{v}$, $\vec{u}.\left(k\vec{v}\right)$ et $k\vec{u}.\vec{v}$ sont tous les trois nuls donc égaux.
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 6 : On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

  1. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\right)$
  2. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2\right)$
  3. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2\right)$

Preuve Propriété 6

  1. On a :
    $\begin{align*} \norme{\vec{u}+\vec{v}}^2&=\left(\vec{u}+\vec{v}\right).\left(\vec{u}+\vec{v}\right) \\
    &=\vec{u}.\vec{u}+\vec{u}.\vect{v}+\vec{v}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{v}\\
    &=\norme{\vec{u}}^2+\vec{u}.\vect{v}+\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\\
    &=\norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\end{align*}$
    Par conséquent $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\right)$
  2. On a :
    $\begin{align*} \norme{\vec{u}-\vec{v}}^2&=\left(\vec{u}-\vec{v}\right).\left(\vec{u}-\vec{v}\right) \\
    &=\vec{u}.\vec{u}-\vec{u}.\vect{v}-\vec{v}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{v}\\
    &=\norme{\vec{u}}^2-\vec{u}.\vect{v}-\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\\
    &=\norme{\vec{u}}^2-2\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\end{align*}$
    Par conséquent $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2\right)$
  3. On a, d’après les preuves précédentes :
    $\begin{align*} \norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2&=\norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2-\left(\norme{\vec{u}}^2-2\vec{u}.\vect{v}+\norme{\vec{v}}^2\right) \\
    &=4\vec{u}.\vec{v}\end{align*}$
    Par conséquent $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}-\vec{v}}^2\right)$
    $\quad$

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$\quad$

Propriété 7 (conséquence) : On considère un triangle $ABC$.
On a alors $\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)$
Preuve Propriété 7

On a :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vect{AB}}^2+\norme{\vect{AC}}^2-\norme{\vect{AB}-\vect{AC}}^2\right)
&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-\norme{\vect{AB}+\vect{CA}}^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-\norme{\vect{CB}}^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC=6$ et $BC=8$.
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}(25+36-64)\\
&=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$

$\quad$

III Orthogonalité

Définition 4 : Deux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont dits orthogonaux si, et seulement si, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.

Remarque : Par convention, le vecteur $\vec{0}$ est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Propriété 8 : On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vec{u}.\vec{v}=0$.
Preuve Propriété 8

  • Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou si $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux et $\vec{u}.\vec{v}=0$
  • Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tous les deux différents du vecteur nul.
    On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$ et $\vec{v}=\vect{AC}$.
    Ainsi $AB\neq 0$ et $AC\neq 0$.
    On a $ \vec{u}.\vec{v}=\norme{\vec{u}}\times \norme{\vec{v}}\times \cos \widehat{BAC}$
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
    $\ssi$ $\vec{AB}$ et $\vect{AC}$s sont orthogonaux
    $\ssi$ $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires
    $\ssi$ $\widehat{BAC}$ est un angle droit
    $\ssi$ $\cos \widehat{BAC}=0$
    $\ssi$ $AB\times AC \times \cos \widehat{BAC}=0$
    $\ssi$ $\vec{u}.\vec{v}=0$
    $\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère un carré $ABCD$ et les points $E$ et $F$ milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[BC]$.
On veut montrer que les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.

Ainsi $\vect{EB}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}$, $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}$.
$ABCD$ est carré donc $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ sont orthogonaux et par conséquent $\vect{AB}.\vect{BC}=0$ et $\vect{AB}.\vect{AD}=0$. De plus $\vect{AD}=\vect{BC}$ et $AB=BC$.

$\begin{align*} \vect{BD}.\vect{EF}&=\left(\vect{BA}+\vect{AD}\right).\left(\vect{EB}+\vect{BF}\right) \\
&=\vect{BA}.\vect{EB}+\vect{BA}.\vect{BF}+\vect{AD}.\vect{EB}+\vect{AD}.\vect{BF} \\
&=\vect{BA}.\left(\dfrac{1}{2}\vect{AB}\right)+\vect{BA}.\left(\dfrac{1}{2}\vect{BC}\right)+\vect{AD}.\left(\dfrac{1}{2}\vect{AB}\right)+\vect{AD}.\left(\dfrac{1}{2}\vect{BC}\right) \\
&=-\dfrac{1}{2}AB^2+0+0+\dfrac{1}{2}BC^2 \\
&=0\end{align*}$
Par conséquent, les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.
$\quad$

III Dans un repère orthonormé

Dans cette partie le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

Propriété 9 (dans un repère) : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}\left(x’;y’\right)$.
On a alors $\vec{u}.\vec{v}=xx’+yy’$.
Preuve Propriété 9

On a $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ et $\vec{v}=x’\vec{i}+y’\vec{j}$.
Le repère est orthonormé donc $\vec{i}.\vec{j}=0$, $\norme{\vec{i}}=1$ et $\norme{\vec{j}}=1$.

Par conséquent :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right).\left(x’\vec{i}+y’\vec{j}\right) \\
&=x\vec{i}.\left(x’\vec{i}\right)+x\vec{i}.\left(y’\vec{j}\right)+y\vec{j}.\left(x’\vec{i}\right)+y\vec{j}.\left(y’\vec{j}\right) \\
&=xx’\norme{\vec{j}}^2+0+0+yy’\norme{\vect{j}}^2 \\
&=xx’+yy’\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère les vecteurs $\vec{u}(2;5)$ et $\vec{v}(3;-4)$.
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=2\times 3+5\times (-4) \\
&=6-20\\
&=-14\end{align*}$

Propriété 10 : On considère un vecteur $\vec{u}(x;y)$. On a alors $\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2}$.
Preuve Propriété 10

On a :
$\begin{align*} \norme{\vec{u}}^2&=\vec{u}.\vec{u} \\
&=x^2+y^2\end{align*}$
Donc $\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2}$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère le vecteur $\vec{u}(2;5)$
On a alors :
$\begin{align*} \norme{\vec{u}}&=\sqrt{2^2+5^2} \\
&=\sqrt{4+25}\\
&=\sqrt{29}\end{align*}$

Propriété 11 : On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}\left(x’;y’\right)$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $xx’+yy’=0$.
Preuve Propriété 11

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{u}.\vec{v}=0$
$\ssi xx’+yy’=0$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère les vecteurs $\vec{u}(3;2)$ et $\vec{v}(-6;9)$.
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=3\times (-6)+2\times 9 \\
&=-18+18\\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc orthogonaux.

$\quad$

IV Applications du produit scalaire

Propriété 12 (Formule d’Al Kashi) : On considère un triangle $ABC$.

  • $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}$
  • $AB^2=BC^2+AC^2-2\times BC\times AC\times \cos\widehat{ACB}$
  • $AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times \cos\widehat{ABC}$

Remarque : Avec les notations de la figure, on écrit souvent les formules ainsi :$$\begin{align*} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{A} \\
b^2&=a^2+c^2-2ac\cos \widehat{B}\\
c^2&=a^2+b^2-2ab\cos \widehat{C}\end{align*}$$

Preuve Propriété 12

On ne prouvera que la formule $BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}$

$\begin{align*} BC^2&=\vect{BC}^2 \\
&=\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right)^2 \\
&=\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right).\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right) \\
&=\vect{BA}^2+\vect{BA}.\vect{AC}+\vect{AC}.\vect{BA}+\vect{AC}^2\\
&=AB^2+2\vect{-AB}.\vect{AC}+AC^2 \\
&=AB^2-2\vect{AB}.\vect{AC} +AC^2\\
&=AB^2-2AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}+AC^2 \end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Remarque : Si le triangle $ABC$ est rectangle on retrouve le théorème de Pythagore.

Exemple : On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC=4$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{6}$ rad
D’après la formule d’Al-Kashi on a :
$\begin{align*} BC^2&=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=5^2+4^2-2\times 5\times 4\times \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \\
&=25+16-40\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
&=41-20\sqrt{3}\end{align*}$
Ainsi $BC=\sqrt{41-20\sqrt{3}}$

Propriété 13 : On considère deux points $A$ et $B$ et le point $I$ milieu du segment $[AB]$.
Pour tout point $M$ du plan on a $\vect{MA}.\vect{MB}=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2$.
Preuve Propriété 13

Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ donc $\vect{IB}=-\vect{IA}$ et $IA=\dfrac{AB}{2}$

$\begin{align*} \vect{MA}.\vect{MB}&=\left(\vect{MI}+\vect{IA}\right).\left(\vect{MI}+\vect{IB}\right)\\
&=\vect{MI}^2+\vect{IA}.\vect{MI}+\vect{MI}.\vect{IB}+\vect{IA}.\vect{IB} \\
&=MI^2+\vect{IA}.\vect{MI}+\vect{MI}.\left(-\vect{IA}\right)+\vect{IA}.\left(-\vect{IA}\right) \\
&=MI^2+\vect{IA}.\vect{MI}-\vect{IA}.\vect{MI}-IA^2 \\
&=MI^2+0-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 \\
&=MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exemple : On considère deux points $A$ et $B$ tels que $AB=4$.
On veut déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $\vect{MA}.\vect{MB}=3$
$\begin{align*} \vect{MA}.\vect{MB}=3&\ssi MI^2-\dfrac{4^2}{4} =3\\
&\ssi MI^2-4=3 \\
&\ssi MI^2=7\end{align*}$
L’ensemble des points cherché est donc le cercle de centre $I$, milieu du segment $[AB]$ et de rayon $\sqrt{7}$.

Propriété 14 : On considère deux points $A$ et $B$.
L’ensemble des points $M$ du plan vérifiant $\vect{MA}.\vect{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.
Preuve Propriété 14

On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$. Ainsi $AB=2AI$
D’après la propriété précédente on a :
$\begin{align*} \vect{MA}.\vect{MB}=0 &\ssi MI^2-\dfrac{1}{4}AB^2=0 \\
&\ssi MI^2=\dfrac{AB^2}{4} \\
&\ssi MI^2=\dfrac{(2AI)^2}{4}\\
&\ssi MI^2=AI^2\\
&\ssi MI=AI\end{align*}$
L’ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $I$ et de rayon $[IA]$, c’est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$.
$\quad$

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$\quad$

Propriété 15 : On considère deux points $A$ et $B$ et un point $M$ distinct de $A$ et $B$.
Le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si, et seulement si, le triangle $ABM$ est rectangle en $M$.
Preuve Propriété 15

Le point $M$ est distinct des points $A$ et $B$.
$ABM$ est rectangle en $M$
$\ssi \vect{MA}.\vect{MB}=0$
$\ssi$ $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$
$\quad$

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$\quad$